第一章 专题六 函数与导数-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题六 ! 函数与导数 !考试内容" ! 函数及其表示!函数的图象!函数的性质!指数函数!对数函数!幂函数!函数的 零点!导数的应用 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" $# $# $( $# $# $( $# 全国卷!乙卷" $( $( $( $( $# $( $# 新高考全国 ! 卷 $( "# 新高考全国 " 卷 $( $# 一#函数的基本性质 $! 函数的单调性# ! $ " L ! ' "在区间 * 上是增函数 ,2 ' $ $ ' " " * $当 ' $ 5 ' " 时$有 L ! ' $ " 5 L ! ' " " ! ! " " L ! ' "在区间 * 上是减函数 ,2 ' $ $ ' " " * $当 ' $ 5 ' " 时$有 L ! ' $ " 6 L ! ' " " ! !记忆方法#不等号相同为增$不同为减$即同增异减" "! 函数的奇偶性# ! $ "奇函数)偶函数的定义# 如果对于函数 L ! ' "的定义域内的任意一个 ' $都有 L ! *' " ) L ! ' "$则称函数 . ) L ! ' "是偶 函数% 如果对于函数 L ! ' "的定义域内的任意一个 ' $都有 L ! *' " )* L ! ' "$则称函数 . ) L ! ' "是 奇函数 ! ! " "奇)偶函数的性质# # 偶函数的图象关于 . 轴对称%奇函数的图象关于原点对称% $ 奇函数 L ! ' "的定义域中若含有 # $则必有 L ! # " )#! ! + "常见的奇函数与偶函数# # 常见的奇函数# 正比例函数# L ! ' " )9' ! ' " $ "% 反比例函数# L ! ' " ) 9 ' ! ' " ! * 6 $ # " ( ! # $ , 6 ""% 正弦函数# L ! ' " ):;4' ! ' " $ "% 正切函数# L ! ' " )<=4'' " $' 8 9 ' , ' " $ 9 " & ' " % 幂函数# L ! ' " )' % ! ' " $ "$当 % 为奇数时 L ! ' " )' % 为奇函数 ! 几种特殊的奇函数# L ! ' " ) 0 ' *$ 0 ' ,$ % L ! ' " ) $ " ' ,$ * $ " % L ! ' " ) + ',$ + * + '*$ + ! ( '+ ( $ 常见的偶函数# 余弦函数# L ! ' " )@9:' ! ' " $ "% 幂函数# L ! ' " )' % ! ' " $ "$当 % 为偶数时 L ! ' " )' % 为偶函数 ! 几种特殊的偶函数# L ! ' " )1 ! 1 为常数"% L ! ' " ) + ' + % L ! ' " ) ' "槡 ,$%L!'")+',$+,+'*$+! % 在定义域符合要求的前提下# 奇函数与奇函数的和是奇函数%偶函数与偶函数的和是偶函数% 奇函数与奇函数的积是偶函数%偶函数与偶函数的积是偶函数% 奇函数与偶函数的积是奇函数%奇函数与偶函数的和是非奇非偶函数 ! 如# L ! ' " )0' + ,2' $ L ! ' " )0', 2 ' 是奇函数% L ! ' " )0' " ,1 $ L ! ' " )0' - ,2' " ,1 $ L ! ' " ) 0 ' *$ 0 ' ,$ ( ' 是偶函数% L ! ' " )' " *',$ 是非奇非偶函数 ! +! 函数的周期性# ! $ "定义#对定义域内的任意 ' $若有 L ! ',, " ) L ! ' "!其中 , 为非零常数"$则称函数 L ! ' "为 周期函数$ , 为它的一个周期 ! 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期 ! 如没有特别说明$文中 所指的周期都指最小正周期 ! ! " "三角函数的最小正周期# # . ):;4' # ,)" ' % $ . )@9:' # ,)" ' % % . )<=4' # ,) ' % & . )":;4 ! + ', ' "$ . )"@9: ! + ', ' "# ,) " ' +++ % ) . )<=4 + ' # ,) ' +++ ! -! 函数定义域的求法#列出使函数有意义的自变量的不等关系式$求解即可求得函数的定义 域 ! 常涉及的依据为# # 分母不为 # % $ 偶次根式中被开方数不小于 # % % 对数的真数大于 # $底数大于 # 且不等于 $ % & 零指数幂的底数不等于 # % ) 实际问题要考虑实际意义 ! 二#基本初等函数 指数)对数的运算性质# ! $ "幂的运算性质# 0 5 0 % )0 5,% %! 0 5 " % )0 5% %! 02 " 5 )0 5 2 5 % 0 # )$ ! 0 8 # "% 0 * 5 % ) $ % 0槡5 ! 0 8 # " ! ! " "对数的概念#一般地$如果 0 ' )- ! 0 6 # $且 0 8 $ "$那么数 ' 叫做以 0 为底 - 的对数$记 作# 79 8 0 -! 其中 0 叫做对数的底数$ - 叫做对数的真数 ! 以 $# 为底的对数叫做常用对数%记作# 7 8 ! 以 3 为底的对数叫做自然对数%记作# 74! ! + "对数的简单性质# # 负数和零没有对数% $ 底的对数是 $ $即 79 8 0 )$ % % $ 的对数是零$即 79 8 0 $)#! ( #- ( ! - "对数的运算法则#如果 0 6 # $且 0 8 $ $ * 6 # $ - 6 # $那么# # 79 8 0 ! *- " )79 8 0 *,79 8 0 - % $ 79 8 0 * ! " - )79 8 0 **79 8 0 - % % 79 8 0 * % )%79 8 0 * ! % " $ "% & 79 8 0 2) 79 8 1 2 79 8 1 0 ! 0 6 # $且 0 8 $ $ 1 6 # $且 1 8 $ $ 2 6 # "!对数换底公式"% ) 对数恒等式# 0 79 8 0 - )-! ! ( "幂函数#一般地$函数 . )' 0 叫做幂函数 ! 其中 ' 是自变量$ 0 是常数 ! 要求#掌握 0)$ $ " $ + $ $ " $ *$ 时的幂函数图象 ! . )' . )' " . )' + . )' $ " . )' *$ 定义域 $ $ $ - # $ , 6 " ! * 6 $ # " ( ! # $ , 6 " 值域 $ - # $ , 6 " $ - # $ , 6 " ! * 6 $ # " ( ! # $ , 6 " 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 ! * 6 $ # "减 ! # $ , 6 "增 增 增 ! * 6 $ # "减 ! # $ , 6 "减 公共点 ! $ $" !! 图象# ! % "指数函数# . )0 ' ! 0 6 # $ 0 8 $ " ! 图象恒过点! # $"$函数单调性与 0 的值有关$在解题中$往往要对 0 分 0 6 $ 和 # 5 0 5 $ 两 种情况进行讨论$要能够画出函数图象的简图 ! !"对数函数# . )79 8 0 ' ! 0 6 # $ 0 8 $ " ! 图象恒过点! $ $ # "$函数单调性与 0 的值有关$在解题中$往往要对 0 分 0 6 $ 和 # 5 0 5 $ 两 种情况进行讨论$要能够画出函数图象的简图 ! 名称 指数函数 对数函数 一般形式 . )0 ' ! 0 6 # $ 0 8 $ " . )79 8 0 ' ! 0 6 # $ 0 8 $ " 定义域 $ ! # $ , 6 " ( $- ( "续表# 名称 指数函数 对数函数 值域 ! # $ , 6 " $ 单调性 0 6 $ 单调递增 0 6 $ 单调递增 # 5 0 5 $ 单调递减 # 5 0 5 $ 单调递减 特殊点 ! # $" ! $ $ # " 图象 !! ! & "注意的几个问题# # . )0 ' 与 . )79 8 0 ' 的图象关系是关于直线 . )' 对称%这两个函数互为反函数 ! $ 比较两个指数式或对数式的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数$若底数不相 同时转化为同底数的指数或对数$还要注意与 $ 或 # 比较 ! 三#导数 $! 意义#函数 L ! ' "在点 / 处的导数就是函数 L ! ' "的图象在点 / 处的切线的斜率 ! 即# 9) L H ! ' # "表示过曲线 . ) L ! ' "上的点 / ! ' # $ L ! ' # ""的切线的斜率 ! "! 几种常见的函数导数# ! $ " $H)# ! $ 为常数" ! ! " "! ' % " H)%' %*$ ! % " $ " ! ! + "! :;4' " H)@9:'! ! - "! @9:' " H)*:;4'! ! ( "! 74' " H) $ ' ! ! % "! 79 8 0 ' " H) $ '740 ! !"! 3 ' " H)3 ' ! ! & "! 0 ' " H)0 ' 740! +! 求导数的四则运算法则# ! $ "- L ! ' " ? M ! ' ", H) L H ! ' " ? M H ! ' " ! ! " "- L ! ' " M ! ' ", H) L H ! ' " M ! ' " , L ! ' " M H ! ' " ! ! + " L ! ' " M ! ' - , " H) L H ! ' " M ! ' " * L ! ' " M H ! ' " M " ! ' " ! -! 导数的应用# ! $ "求切线的斜率$以及求切线方程 ! ! " "利用导数判断函数的单调性# 若 L H ! ' " 6 # $ ' " ! 0 $ 2 "$则 L ! ' "在! 0 $ 2 "上为增函数% 若 L H ! ' " 5 # $ ' " ! 0 $ 2 "$则 L ! ' "在! 0 $ 2 "上为减函数 ! ! + "单调区间的求解过程$已知 . ) L ! ' " ! # 分析 . ) L ! ' "的定义域% $ 求导数 . H) L H ! ' "% % 解不等式 L H ! ' " 6 # $解集在定义域内的部分为增区间% & 解不等式 L H ! ' " 5 # $解集在定义域内的部分为减区间 ! ( "- ( ! - "求极值)求最值 ! # 求函数 . ) L ! ' "的极值的方法# 先解方程 L H ! ' " )# $当 L H ! ' # " )# 时# ! ! "如果在 ' # 附近的左侧 L H ! ' " 6 # $右侧 L H ! ' " 5 # $那么 L ! ' # "是极大值% ! " "如果在 ' # 附近的左侧 L H ! ' " 5 # $右侧 L H ! ' " 6 # $那么 L ! ' # "是极小值 ! $ 求函数 . ) L ! ' "在- 0 $ 2 ,上的最值的步骤# ! ! "求函数 . ) L ! ' "在! 0 $ 2 "内的极值% ! " "将函数 . ) L ! ' "的各极值与端点处的函数值 L ! 0 "$ L ! 2 "比较$其中最大的一个是最大 值$最小的一个是最小值 ! 注意# # 若当 ')' # 时函数 L ! ' "有极值$必有 L H ! ' # " )#! 但反之不成立% $ 若函数 L ! ' "在- 0 $ 2 ,上单调递增$则 L ! 0 "为函数的最小值$ L ! 2 "为函数的最大值% 函数 L ! ' "在- 0 $ 2 ,上单调递减$则 L ! 0 "为函数的最大值$ L ! 2 "为函数的最小值 ! 四#函数的零点及二分法 $! 对于函数 . ) L ! ' "$我们把使 L ! ' " )# 的实数 ' 叫做函数 . ) L ! ' "的零点 ! 函数 . ) L ! ' " 的零点就是方程 L ! ' " )# 的实数根$也就是函数 . ) L ! ' "的图象与 ' 轴的交点的横坐标 ! 即# 方程 L ! ' " )# 有实数根 , 函数 . ) L ! ' "的图象与 ' 轴有交点 , 函数 . ) L ! ' "有零点 ! "! 定理#如果函数 . ) L ! ' "在区间- 0 $ 2 ,上的图象是连续不断的一条曲线$并且有# L ! 0 " L ! 2 " 5 # $那么函数 . ) L ! ' "在区间! 0 $ 2 "内有零点$即存在 1 " ! 0 $ 2 "$使得 L ! 1 " )# $这 个 1 也就是方程 L ! ' " )# 的根 ! +! 二分法的定义#对于在区间- 0 $ 2 ,上连续不断且有 L ! 0 " L ! 2 " 5 # 的函数 . ) L ! ' "$通过不 断地把函数 L ! ' "所在的区间一分为二$使区间的两个端点逐步逼近零点$进而得到零点近似值 的方法叫做二分法 ! -! 二分法的步骤# ! $ "确定区间- 0 $ 2 ,$验证 L ! 0 " L ! 2 " 5 # $给定精确度 , % ! " "求区间的中点 ' $ % ! + "计算 L ! ' $ "# # 若 L ! ' $ " )# $则 ' $ 就是函数的零点% $ 若 L ! 0 " L ! ' $ " 5 # $则令 2)' $ !此时零点 ' # " ! 0 $ ' $ ""% % 若 L ! 0 " L ! ' $ " 6 # $则令 0)' $ !此时零点 ' # " ! ' $ $ 2 "" ! ! - "判断是否达到精确度 , $即 + 0*2 +5, $则得到零点的近似值 0 或 2 %否则重复步骤! " ")! + ")! - " ! $! 函数 L ! ' " ) +' " $*槡 ' ,7 8 ! +',$ "的定义域是 ! !! " .5* $ + $ , 6 ! " /5* $ + $ ! " 05* $ + $ ! " $ + 15* 6 $ * ! " $ + "! 已知函数 L ! ' " ) " '*$ *" $ ' 4 $ $ *79 8 " ! ',$ "$ ' 6 $ D ? @ $ 且 L ! 0 " )*+ $则 L ! %*0 " ) ! !! " .5* ! - /5* ( - 05* + - 15* $ - ( +- ( +! 若奇函数 . ) L ! ' "的图象关于直线 ')" 对称$且 L ! + " )+ $则 L ! *$ " ) ! -! 函数 L ! ' " ) $ 74 ! ',$ " , -*'槡 "的定义域为 !!!" .5 - *" $ # " ( ! # $ " , /5 ! *$ $ # " ( ! # $ " , 05 - *" $ " , 15 ! *$ $ " , (! 设集合 ") & ' + *+ 4 "'*$ 4 + '$集合 # 是函数 . )7 8 ! '*$ "的定义域$则 " ) #) ! !! " .5 ! $ $ " " /5 - $ $ " , 05 - $ $ " " 15 ! $ $ " , %! 若函数 L ! ' " )9'*74' 在区间! $ $ , 6 "单调递增$则 9 的取值范围是 ! !! " .5 ! * 6 $ *" , /5 ! * 6 $ *$ , 05 - " $ , 6 " 15 - $ $ , 6 " !! 下列函数中$既是奇函数又是增函数的是 ! !! " .5 . )',$ /5 . )*' " 05 . ) $ ' 15 . )' + ' + &! 下列函数中$在区间! # $ , 6 "上为增函数的是 ! !! " .5 . )74 ! '," " /5 . )* '槡 ,$ 05.) ! " $ " ' 15 . )', $ ' '! 下列函数为偶函数的是 ! !! " .5 . ):;4' /5 . )' + 05 . )3 ' 15 . )74 ' "槡 ,$ $#! 若函数 L ! ' " )+ ' ,+ *'与 M ! ' " )+ ' *+ *'的定义域均为 $ $则 ! !! " .! L ! ' "与 M ! ' "均为偶函数 /! L ! ' "为奇函数$ M ! ' "为偶函数 0! L ! ' "与 M ! ' "均为奇函数 1! L ! ' "为偶函数$ M ! ' "为奇函数 $$! 若函数 L ! ' " ) ' ! "',$ "! '*0 " 为奇函数$则 0) ! !! " .5 $ " /5 " + 05 + - 15$ $"! 设 L ! ' "是周期为 " 的奇函数$当 # 4 ' 4 $ 时$ L ! ' " )"' ! $*' "$则 L * ! " ( " ) ! !! " .5* $ " /5* $ - 05 $ - 15 $ " $+! 已知幂函数 . ) L ! ' "的图象过点 $ " $ 槡"? @ A B " $则 79 8 -L ! " "的值为 ! !! " .5 $ - /5* $ - 05" 15*" $-! 若函数 . ) L ! ' "是函数 . )0 ' ! 0 6 # $且 0 8 $ "的反函数$且 L ! " " )$ $则 L ! ' " ) ! !! " .579 8 " ' /5 $ " ' 0579 8 $ " ' 15" '*" $(! 设函数 L ! ' "是定义在 $ 上的周期为 " 的偶函数$当 ' " - # $,时$ L ! ' " )',$ $则 L ! " + " ) ! $%! 若 0 6 2 6 # $ # 5 1 5 $ $则 ! !! " .!79 8 0 1 5 79 8 2 1 /!79 8 1 0 5 79 8 1 2 0!0 1 5 2 1 1!1 0 6 1 2 $!! 已知 . ) L ! ' "是奇函数 ! 若 M ! ' " ) L ! ' " ," $且 M ! $ " )$ $则 M ! *$ " ) ! $&! 设 0)79 8 ( - $ 2) ! 79 8 ( + " " $ 1)79 8 - ( $则 0 $ 2 $ 1 的大小关系是 ! !! " .!0 5 1 5 2 /!2 5 1 5 0 0!0 5 2 5 1 152 5 0 5 1 ( -- ( $'! 设 0) ! " + ( " ( $ 2) ! " " ( + ( $ 1) ! " " ( " ( $则 0 $ 2 $ 1 的大小关系是 ! !! " .!0 6 1 6 2 /!0 6 2 6 1 0!1 6 0 6 2 152 6 1 6 0 "#! 若 " 0 ,79 8 " 0)- 2 ,"79 8 - 2 $则 ! !! " .!0 6 "2 /!0 5 "2 0!0 6 2 " 1!0 5 2 " "$! 若 0 6 # $ 2 6 # $且函数 L ! ' " )-' + *0' " *"2'," 在 ')$ 处有极值$则 02 的最大值等于 ! !! " .5" /5+ 05% 15' ""! 函数 L ! ' " )3 ' ,'*" 的零点所在的一个区间是 ! !! " .5 ! *" $ *$ " /5 ! *$ $ # " 05 ! # $" 15 ! $ $ " " "+! 函数 . ) $ " ' " *74' 的单调递减区间为 ! !! " .5 ! *$ $, /5 ! # $, 0! - $ $ , 6 " 15 ! # $ , 6 " "-! 设函数 L ! ' " ) 3 '*$ $ ' 5 $ $ ' $ + $ ' 7 $ D ? @ $ 则使得 L ! ' " 4 " 成立的 ' 的取值范围是 ! "(! 设函数 L ! ' " ) ' " ,$ $ ' 4 $ $ " ' $ ' 6 $ D ? @ $ 则 L ! L ! + "" ) ! !! " .5 $ ( /5+ 05 " + 15 $+ ' "%! 已知实数 0 8 # $函数 L ! ' " ) "',0 $ ' 5 $ $ *'*"0 $ ' 7 $ D ? @ $ 若 L ! $*0 " ) L ! $,0 "$则 0 的值为 ! "!! 若曲线 . )' " ,0',2 在点! # $ 2 "处的切线方程是 '* . ,$)# $则 ! !! " .50)$ $ 2)$ /50)*$ $ 2)$ 050)$ $ 2)*$ 150)*$ $ 2)*$ "&! 曲线 . )' ! +74',$ "在点! $ $"处的切线方程为 ! "'! 若函数 L ! ' " )0' + ,',$ 的图象在点! $ $ L ! $ ""处的切线过点! " $ ! "$则 0) ! +#! 若过点! 0 $ 2 "可以作曲线 . )3 ' 的两条切线$则 ! !! " .53 2 5 0 /53 0 5 2 0!# 5 0 5 3 2 1!# 5 2 5 3 0 +$! 设函数 L ! ' " ) " *' $ ' 4 # $ $ $ ' 6 # D ? @ $ 则满足 L ! ',$ " 5 L ! "' "的 ' 的取值范围是 ! !! " .! ! * 6 $ *$ , /! ! # $ , 6 " 0! ! *$ $ # " 1! ! * 6 $ # " +"! 设 0 8 # $若 ')0 为函数 L ! ' " )0 ! '*0 " " ! '*2 "的极大值点$则 ! !! " .!0 5 2 /!0 6 2 0!02 5 0 " 1!02 6 0 " ++! 已知函数 L ! ' " ) "槡'$#4'4$$ $ ' $ ' 6 $ D ? @ ! 若关于 ' 的方程 L ! ' " )* $ - ',0 ! 0 " $ "恰有两个互 异的实数解$则 0 的取值范围为 ! !! " .! ( - $ - , ' - /! ( - $ ! , ' - 0! ( - $ ! , ' - ( & $ ' 1! ( - $ - , ' - ( & $ ' ( (- ( +-! 已知函数 L ! ' " ) 3 ' $ ' 4 # $ 74' $ ' 6 # D ? @ $ M ! ' " ) L ! ' " ,',0! 若 M ! ' "存在 " 个零点$则 0 的取值范 围是 ! !! " .! - *$ $ # " /! - # $ , 6 " 0! - *$ $ , 6 " 1! - $ $ , 6 " +(! 设 0 $ 2 " $ $函数 L ! ' " ) ' $ ' 5 # $ $ + ' + * $ " ! 0,$ " ' " ,0' $ ' 7 # D ? @ ! 若函数 . ) L ! ' " *0'*2 恰有 + 个零点$则 ! !! " .!0 5 *$ $ 2 5 # /!0 5 *$ $ 2 6 # 0!0 6 *$ $ 2 5 # 1!0 6 *$ $ 2 6 # +%! 设函数 L ! ' " )' + @9:',$! 若 L ! 0 " )$$ $则 L ! *0 " ) ! +!! 函数 L ! ' " )' + *+' " ,$ 在 ') 处取得极小值 ! +&! 若函数 . )' + *0' " ,- 在区间! # $ " "内单调递减$则实数 0 的取值范围是 ! +'! 函数 L ! ' " )"' + *+' " *$"',( 在区间- # $ + ,上的最大值和最小值分别是 ! !! " .5( $ *$( /5( $ *- 05*- $ *$( 15*( $ *$( -#! 如图$ . ) L ! ' "是可导函数$直线 8 # . )9'," 是曲线 . ) L ! ' "在 ')+ 处的切线$令 M ! ' " )' L ! ' "$其中 M H ! ' "是 M ! ' "的导函数$则 M H ! + " ) ! " -# 题图# -$! 设函数 . ) L ! ' "的图象与 . )" ',0的图象关于直线 . )*' 对称$且 L ! *" " , L ! *- " )$ $ 则 0) ! !! " .5*$ /5$ 05" 15- -"! 已知函数 L ! ' " ) + 3 ' *$ + $ ' $ 5 # $ ' " 6 # $函数 L ! ' "的图象在点 " ! ' $ $ L ! ' $ ""和点 # ! ' " $ L ! ' " "" 的两条切线互相垂直$且分别交 . 轴于 * $ - 两点$则+"*+ + #- + 的取值范围是 ! -+! !多选题"若函数 . ) L ! ' "的图象上存在两点$使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直$则称函数 . ) L ! ' "具有 , 性质$下列函数中具有 , 性质的是 ! !! " .5 . )@9:' /5 . )74' 05 . )3 ' 15 . )' " --! !多选题"已知函数 L ! ' " )3 ' * L ! # " ', $ " ' " $则 ! !! " .5 L ! # " )$ /5 函数 L ! ' "的极小值点为 # 05 函数 L ! ' "的单调递减区间是! # $ , 6 " 15 2 ' " $ $不等式 L ! ' " 7 3 恒成立 ( %- ( -(! !多选题"关于函数 L ! ' " ) $ ' ,74' $下列说法正确的是 ! !! " .5 L ! $ "是 L ! ' "的极小值 /5 函数 . ) L ! ' " *' 有且只有 $ 个零点 05 L ! ' "在! * 6 $"上单调递减 15 设 M ! ' " )' L ! ' "$则 M $ ! " 3 5 M !槡3" -%! !多选题"已知函数 L ! ' " )3 ' ,0:;4' $则 ! !! " .5 当 0)*$ 时$ L ! ' "在区间! # $ , 6 "上单调递增 /5 当 0)*$ 时$ L ! ' "在区间! # $ L ! # ""处的切线为 ' 轴 05 当 0)$ 时$ L ! ' "在区间! * ' $ # "上存在唯一极小值点 ' # $且 *$ 5 L ! ' # " 5 # 15 对任意 0 6 # $ L ! ' "在区间! * ' $ , 6 "上均存在零点 -!! "多选题#已知过点 " ! 0 $ # "作曲线 $ # . ) ' 3 ' 的切线有且仅有两条$则实数 0 的值可以是 ! !! " .5*" /5- 05# 15% -&! "多选题#已知函数 L ! ' " )'74 ! " ' ," *' "$则以下结论正确的是 ! !! " .5 L ! ' "为奇函数 /5 L ! ' "在区间! # $ , 6 "上单调递增 05 曲线 . ) L ! ' "在! # $ L ! # ""处的切线的斜率为 74" 15 函数 L ! ' "有三个零点 -'! "多选题#已知 0 6 # $ 2 6 # 且 3 0 ,742 6 0,2 $则下列结论一定正确的是 ! !! " .50 6 2 /53 0 6 2 053 0 ,2 6 " 150,742 6 # ( !- ( 39.ACD 【解析】如图,M.G.H,I.J分别是BC.CC.C D.DA.AA的中点,易证E与M.G.H.I.J共面. 由EM/AC,ACC平面ACD,EMC平面ACD,则EM//平面ACD. 同理EJ/平面ACD.,而EM,EJ是平面EMGHIJ内相交直线, 则得平面EMGHII/平面ACD.因为EF/平面ACD ,所以点FE平面MGHII 观察各选项,ACD满足. 故选ACD. 40.AC【解析】对于A.由直四校柱ABCD-A.B.CD,AB/CD, 所以平面ABBA/平面DCCD. 又因为平面APQRO平面ABBA.一AP,平面APQRO平面DCCD=QR. 所以AP/QR.故A正确; 对于B,若四边形APQR为平行四边形,则AR/QP 而AD与BC不平行,即平面ADDA:与平面BCCB.不平行。 所以平面APQRO平面BCCB=PQ,平面APQRO平面ADD.A.=AR. 直线PQ与直线AR不平行,与AR/QP矛盾。 所以四边形APOR不可能是平行四边形,故B错误 对于C.如图所示,延长CD至M.使得DM一CD,连接AM.MR,则四边形ABCM为矩形,所以BC//AM 当R,Q,M三点共线时,AM二平面APQR,此时BC/平面APQR.故C正确; 对于D,假设存在点P,使得△APR为等腰直角三角形, 令BP-r. ,1 由AP-AB+BP-4+BP-AR- AD+DR-4+DR, 2 所以BP-DR一x.且由BP/DR,可知四边形BPDR为平行四边BPDR. 所以RP-BD- BC+CD. 过点D作DE1AB,则DE-BC-③ 所以AE-1,即CD-BE-1. (40题图) 所以RP- BC+CD-2-v2AP- 8十2BP-8十2,无解.故D错误. 故选AC. 专题六 函数与导数 1-0. 1.B【解析】由题意得 3十1>0. 2.A【解析】当a1,f(a)-2*--2--3.显然不成立; 当a1,f(a)=-log。(a十1)=-3,解得a-7,满足条件. 7.故选A. 故当a-7,/(6-a)-/(-1)-2-:-2-- 3.-3【解析】y-f(x)的图象关于直线x-2对称,则/(3)-f(1)-3. y-f(x)为奇函数,则/(-1)-一f(1)--3. (r10. 4.B 【解析】 由题意得 ln(r+1):0,解不等式组得-1<x<0或0<x<2.故选B 4-二0. 5.D【解析】 由题意得x-10,解得x>1,则集合B-xx1. 而集合A-r-1x2),于是A0B-(xl1<x2.故选D 6.D【解析】由函数/(x)一kx-lnx在区间(1,十oo)单调递增 则当x>1时,f(c)-k->o,即当x>1,k-桓成立, 7.D【解析】选项A是增函数,但不是奇函数;选项B是偶函数;选项C是反比例函数,在第一象限和第三象限分别是单调 递减的;选项D既是奇函数又是增函数,故选D. 8.A 【解析】在区间(0,十oo)上为增函数的是y-ln(x十2);选项B和选项C是减函数; 而选项D.y=x十一在区间(0.1)上是减函数,在区间(1,十co)上是增函数,故选A. 9.D【解析】观察可得,四个选项的定义域均为R,且只有函数y一lnc十I是偶函数,故选D. 20. 10.D【解析】任意xEB有,/(一x)一3十3一f(x),故f(x)为偶函数; g(-x)-3-3=-(3-3)=-g(x),故g(x)为奇函数,故选D. 11.A【解析】由/(x)为奇函数知,对于定义域内任意工有 一 f(-x)-(-2r+1)(-x-a) )r (2x十1)(r-) 一一f(x). 即(-2x十1)(-x-a)-(2x十1)(x-a)在定义域内恒成立. 化简得2(2a-1)x-0,由于此式在定义域内恒成立,所以a-.故选A. 12.A【解析】由/(x)周期为2可知;/(-)-/(-+2)-f(-). 由/()为奇函数知/(-)=-f()=-2×x(11-)-故选A. 13.A【解析】设幕函数/(x)-x”,因为寡函数y=f(2)的图象过点(,). 所以有/()一()#一#于是有一# 即/(x)-+t,从而有log/(2)-=logt2-log 2--1.故选A.$ 14.A【解析】由函数y-f(r)是函数y-a'(a0,且a1)的反函数可知/(x)-logr, 所以有f(2)-log.2-1,于是a-2.故f(x)-log:x.故选A. 【解析】由函数/(s)是定义在R上的周期为2的函数可知,/()=/(-2)=/() 由()为偶函数知/(-)-/()-+1-3. 16.B【解析】.o<c<1.'y=logr为单调递减函数..a>bo..'.log.a<log.b.故选B. 17.3【解析】由条件可知g(1)-f(1)+2-1,所以f(1)=-1. 又知y-f(x)是奇函数,故g(-1)-f(-1)+2--/(1)+2-1+2-3. 18.D【解析】由对数的性质可知, a-log:4<log5-1-log4<log5-c,即a<; 0 log3<log:4<1. 所以(log:3)?<log3,即ba. 综上有/a<c.故选D. 19.A【解析】根据指数函数性质, 因为一<<1,所以(){{#(){},即#>## 根据寡函数性质,因为}→0,所以(){}→一(2){,即a>.故选A. 20.B【解析】因为2+log:a=4+2log b-2+log $ 且2*+log-b<2+log-2b-2-+log:b+1. 所以2“+log:a<2②+log2b. 令f(x)一2+logx,由指、对数函数的单调性可得/(x)在(0,十oo)内单调递增 则由f(a) f(2),可得a2b.故选B. 21.D【解析】/()-12-2ax-2b 由/(1)-12x1-2ax1-2-0,得a+b-6. 4 22.C 【解析】f(0)=e+0-2<0.f(1)=e+1-2>0.f(0)·f(1) 0.故选C 23.B【解析】y=-1-1,其中x>0, 当y<0时,原函数单调递减,解得0<x<1.故选B. 24.(-,8]【解析】当x1时,由e<2可得x-1<ln2,即xln2+1,故x 1; 当x1时,由x<2可得x<8,故1<x<8.综上可得x<8. 26.-3 【解析】若1-a<1,那么a0,则1+a1, .21. f(1-a)-2(1-a)+a=-a+2,f1+a)--(a+1)-2a--3a-1. 3与假设前提矛盾; 所以由-a十2--3a-1,得a-- 由以上可知,f(1+a)=2(l+a)+a=3a+2,/(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1 所以由3a+2--a-1,得4a=-3,即a-- 27.A【解析】对曲线y=-+ax十求导得y-2x十a,斜率-2x十a,切线方程x-y+1-0, 2xo十a-1.解得a=1.b=1.故选A. 斜率为1,将点(0,b)分别代入得方程组为 0-十1-0. $ 8.y=4x-3【解析】.由y=x(3lnx+1)求导,得y=3lnx+4.把x=1代入得y=4 .切线方程为y-4x-3. 29.1 【解析】令函数图象在点(1,f(1))处的切线斜率为k,由题得/(x)一3ax*+1. 可得-/(1)-3a+1.又/(1)=a+2,故切点为(1,a+2). 30.D【解析】方法一:函数y一e是增函数,y一e0恒成立, 函数的图象如图所示,y0,即切点坐标在x轴上方. 如果点(a,b)在x轴下方,连线的斜率小于0,不成立 如果点(a,b)在x轴或下方时,只有一条切线; 如果点(,)在曲线上,只有一条切线 (.b) 如果点(a,)在曲线上侧,没有切线; 由图象可知(a,b)在图象的下方,并且在x轴上方时,有两条切线,可知0<b. 故选D. 方法二:设过点(a,b)的切线横坐标为1. 则切线方程为y-e(r-)十e,可得b-e(a十1一t). 设f(t)=e(a+1-t),可得/(1)-e(a-t),(-c0,a) (30题图) r'(t)0.f(t)是增函数;zE(a,十o),f(t)<0,f(7)是减函数 因此当且仅当0e时,上述关于的方程有两个实数解,对应两条切线 故选D. 2二0. 31.D【解析】函数/(x)一 的图象如图所示。 1.0 满足f(x+1)/(2x),可得2x<0 x+1或2x<x+1<0,解得x<0. 故选D. #) (31题图) (32题图1) (32题图2) 32.D【解析】令/(x)-0,解得x-a或x-b,即x-a及x-b是/(r)的两个零点, 当a0时,由三次函数的性质可知,要使x一a是/(x)的极大值点,则函数/(x)的大致图象如下图1所示,则0<a<b; 当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x一a是/(x)的极大值点,则函数/(x)的大致图象如下图2所示,则ba<0; 综上可得a>a*.故选D. (2G,0<1. 33.D【解析】作出函数/(x)一 关于:的方程/(c)-_1. .22. 平移直线y=一 考虑直线与y--在x>1相切,可得ax--1. 由△-a-1-0,解得a-1(-1舍去). (33题图) 综上可得a的范围是[]□(1),故选D. 34.C 【解析】由g(x)=o得f(x)=-x-a, 作出函数/(x)和y一一x一a的图象(如图所示). 当直线y=一x-a的截距一a<1,即a-1时,两个函数的图象都有2个交点,即函数g(x)存在2个零点 故实数a的取值范围是[一1,十oo),故选C -#_#_ _1 (34题图) (35题图) 35.C【解析】 个零点; 当a+1<0,即a<-1时,y>0,y=f(x)-ar-b在[0,+)上递增,y=f(x)-ax-b最多有一个零点,不合题意; 当a+10,即a-1时,令y0得x(a十1,+o),函数递增;令y<0得x[0,a十1),函数递减,函数最多有2个零点; 根据题意函数y=(x)一ax-b恰有3个零点一函数y=f(x)一ax-b在(-oo,0)上有一个零点,在[0,十oo)上有2个零点. 如上图所示. (-b>0. ). 解得b<0,1-a0,b- 36.-9 【解析】.f(a)-acosa+1-11..acosa-10. ./(-a)--acosa+1--10+1--9. 37.2【解析】./(x)-3.x-6:-3x(x-2). ../(x)的单调递增区间为(-co,0),(2,十o),递减区间为(0,2). 'f(x)在x一2处取得极小值. 38.[3.+)【解析】-3r-2ax,由题意知3x-2ax<0在区间(0,2)内恒成立, 即a>在区间(0,2)上恒成立,.a>3.答案为[3,+oo). 39.A【解析】令/(x)'-6r-6x-12-0,解得x-2或x--1. .f(0)-5.f(2)--15.f(3)--4. .最大值为5,最小值为一15.故选A 40.0 【解析】.直线/:y一kx十2是曲线y一f(x)在x一3处的切线. 'f(3)-1.又点(3,1)在直线/上..3+2-1,从而-- .一/(③)一 .23. 41.C【解析】设(x,y)是函数y=/(x)的图象上任意一点,它关于直线y三一x对称的点为(一y,一x) 由题可知(一y,一x)在函数y一2“的图象上. '由一x-2,解得y--log(-x)+a,即f(x)=-log(-x)+a. '.由f(-2)+f(-4)=-log2+a-log4+a-1,解得a-2.故选C. 42.(0,1)【解析】当x<0时,f(x)-1一,导数为/(x)=一. 可得在点A(r,1-e1)处的斜率为h一-e, 切线AM的方程为y-(1-e't)--e(x-x.). 令r=0,可得y=1-e!+xe,即M(0,1-e1+xet): 当x>0时,/(x)一e一1.导数为/(c)一. 可得在点B(r,e-1)处的斜率为一e?, 切线BN的方程为y-(e:-1)-e(r-xo). 令r=0,可得y=e-1-r:e,即N(0.e}-1-r.e?). 由f(x)的图象在点A,B处的切线相互垂直,可得三一eì·e一-1. 即为r十r.-0,且x<0,x>0. +e·r 1+ 故答案为(0,1). 43.AD【解析】由题意函数y一/(x)具有T性质,则存在x:,x:,使得/(x。)/(x。)=-1. 对于A,y=cosr的导数为y'=-sinx,存在x=,x:=-,使得/(x)/(r。)=-1; 对于C,y=e的导数y=e>0,不存在x,x,使得/(r)/(x)一-1; 对于D.y-r的导数为y-2x,存在x.-1,x:--1,使得/(x)/(c。)--1. 4 综上,具有性质T的函数为AD.故选AD. 44.AB【解析】在/(c)-e一/(0)x十1*中,取x-0,可得/(0)-e*-1.故A正确; ./()在(一,十o)上为增函数. ./(0)--1-0. 当x(-c0.0)时,f(x)<0:当x(0.十)时,f(x)>0. 则f(x)在(一oo,0)上单调递减,在(0,十co)上单调递增, '.f(x)的极小值为f(0)三e一1.故B正确;C.D错误,故选AB. 45.ABD【解析】对于C.函数f(x)的定义域为(0.十o),故C错误 对于A,/(r)_一 , 在(0,1)上7(x)0.f(x)单调递减; 在(1,十)上,/(r)0,/(ro)单调递增, 所以/(x)一f(1)-1,故A正确; 所以y一f(x)一:有且只有一个零点,故B正确; 所以在(e,十oo)上,g'(x)0,g(x)单调递增;在(0,e)上,g’(x)<0,g(x)单调递减 所以g(x)小-g(e)-g(). 所以g()<g(V),故D正确,故选ABD. .24. 46.AC【解析】对于A,当a=-1时,/(x)一一sinx./(r)一一cosx. 当r后(0.十)时,f(x)0恒成立,f(x)在(0,十oo)上单调递增,故A正确 对于B./(0)-e-cos 0-1-1-0,而f(0)-e-sin0-1. 则/(x)在(0./(0))处的切线为y-1,故B错误; 对于C,当a=l时,f(x)=e一sinx(一π<r 0),f(x)=e+cosx,f”(x)=e一sinx>0恒成立,则f(x)单调递增 又/(--)--{+cos(--)<0,/(-)--0. 故f()存在唯一极值点, 不妨设为xo(-.-),则/(xo)-0.即eo+cos.x。-0. f(x)-eo+sinxo=sinr。-cosxv-v2sin(x。-哥)(-1,0),故C正确; 对于D.f(x)=e十asinx,xé(一n,十),令f(r)-o,即e+asinz=0. 当一kn,一1且乙时,显然没有零点; .一一 sin) .x(一十2kar,- x(kr十+^ax)时,F(xc)单调递增:xce(x十hn.x十k)时,/(c)单调递减. F(x)有极大值/(x+hn)-一2e*<一2e十-,故D错误,故选AC. 47.AD【解析】设切点为(2).,~。-1. 1 - 把点A(a,o)代人,得--1_。(a-xo。),化简得r。}-ar。+a-0o. 过点A点作曲线C的切线有且仅有两条,即方程x。一ax。十a一0有两个解, 则由△-a?-4a>0,解得a~0或a>4. 结合选项可知,a的值可以是一2,6.故选AD 48.ABC【解析】对于A,函数f(x)的定义域为R,且有/(-x)-(一r)ln(2+2)=-xln(2十2一)一一f(x),则/(x) 为奇函数,故A正确; 对于B,当xE(0,+co)时,y-x为增函数,而y-2+2→2,则ln(2+2)>ln2>0. 当x(0.+)时,y-2十2为增函数,故函数f(x)一xln(2十2)在区间(0,十)上单调递增,故B正确; 对于C,设h(x)=ln(2+2),于是f(x)=xh(x),有/(r)=x'h(x)+xh'(x),得f(o)-h(0)=ln2,故C正确 对于D,由f(x)-0,可得x=0或ln(2+2)=0,由2+22,可得f(x)只有一个零点,故D错误.故选ABC. 49.BC【解析】取a-1,b-1,e+ln1-e,a+b-2. 满足a>0,0且e十ln6a十b,故选项A不一定成立 满足a>0.6>o且e+lnb>a十b,但a十lnb-1+ln1-0,故选项D不一定成立; 。 令f(x)=e一x.则/(x)-e-1. ,当x0时,f(x)0.f(x)在(0.十oo)上单调递增. 当x~0时,/(x)<0.f(r)在(-oo,0)上单调递减. '.f(x)t=f(x)小=f(0)-1. .ao,b>o且e+lna+b. 'e-a>b-lnbe-a>e-lnb→f(a)>f(lnb) 当an0,则-e-1, ._b. 当a0>lnb,此时0<b1,则e一b,故B正确; 先证明对任意的,x:R.且x:学x:ln-1n: 2 .25. 不妨设x对<,即证ln2(x) n1+】s +1 # 令-1,即证ln 2(1-1)0. t1 设M(t)-lnt- 1 故函数M(t)在(1,十oo)上为增函数,当1时,M(t)M(1)-0 .对任意的x,x:R且x≠x:'nx-ln丁” -r十r. 2 .+lnba+b. 'e-b>ne-lnb. '.e十b2,故C正确:故选BC. 专题七 三角函数与解三角形 1.C【解析】 2015*-5×360*-215*,sin215*<0,cos215*0.故选C. r+ V2 cosa 2tan即可. 【解析】由sin{a十cos{a=1且a为第二象限角,可得cosa=- 6.A【解析】1-2sin(+0)-cos(+20)--sin 20-,则sin 20-- 7.A【解析】1-2sin(-。)-co(-2a)-.cos(2+a)-co-2a)-.故选A. 8.B【解析】 2cos(+)-1-cos(+2a)--sin 2a--,可得cos(+a)-故选B. 9.A【解析】 2sina-cos 10.B【解析】由图象易知,当x-0时,y<0.经验证可排除A.C.因为点(.-3)在函数图象上,将点(,-3)代入 y--3sin(2x十),可知等式成立,而将点(,-3)代人y=-3sin(x十),可知等式不成立,故选B. 11.A【解析】函数/(sr)-cos(x一)-cos(2十哥)可化为 f$(x)=cos()-cos(-+)-cos(--sin(-)=cos2()=cos(2)-sin 2 于是可知原函数/(x)是周期为x的奇函数,故选A. 12.D【解析】由五点作图知 13.A【解析】因为y-2cos*(x-哥)-1-cos2(x-)-cos(2x-)-sin 2x. 所以函数(x)是奇函数,最小正周期为T-2-x-2-x.故选A. 14. 【解析】 ·26·