第一章 专题三 向量-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题三 ! 向 ! 量 !考试内容" ! 向量的概念!向量的表示法!向量的运算及运用 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" ( ( ( ( ( ( ( 全国卷!乙卷" ( ( $# ( ( ( ( 新高考全国 ! 卷 ( ( 新高考全国 " 卷 ( ( 一#平面向量 !一"向量的概念 $! 向量#既有大小又有方向的量 ! 向量不能比较大小$但向量的模可以比较大小 ! "! 零向量#长度为 # 的向量$记为 %! 其方向是任意的$ % 与任意向量平行 ! +! 单位向量#模为 $ 个单位长度的向量 ! -! 平行向量!共线向量"#方向相同或相反的非零向量 ! (! 相等向量#长度相等且方向相同的向量 ! !二"向量的表示 $! 几何表示#用一条有向线段表示向量 ! 如 9: "# $ 9: 6 或 ! $ " 等 ! "! 坐标表示#在平面直角坐标系中$设向量 9: 7" 的起点 7 为坐标原点$终点 " 坐标为! ' $ . "$ 则! ' $ . "称为 9: 7" 的坐标$记为 9: 7") ! ' $ . " ! 当向量起点不在原点时$向量 9: "# 坐标为终点坐标减去起点坐标$即若 " ! ' $ $ .$ "$ # ! ' " $ ." "$ 则 9: "#) ! ' " *' $ $ ." * .$ " ! 注#向量既有代数特征$又有几何特征$它是数形兼备的好工具 ! !三"向量的运算 $! 每一种运算都可以有三种表现形式#图形)符号)坐标语言 ! 主要内容列表如下# 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 9: 7", 9: 7#) 9: 7$ $ 9: 7#* 9: 7") 9: "# 记 9: 7") ! ' $ $ .$ "$ 9: 7#) ! ' " $ ." "$ 则 9: 7", 9: 7#) ! ' $ ,' " $ .$ , ." "$ 9: 7#* 9: 7") ! ' " *' $ $ ." * .$ " 9: 7", 9: "#) 9: 7# ( ' ( "续表# 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 实数与 向量的 乘积 9: "#) # ! $ #" $ 记 !) ! ' $ . "$ 则 # !) ! # ' $ # . " 两个向 量的数 量积 ! ( ") + ! + ( + " + @9: . ! $ " / 记 !) ! ' $ $ .$ "$ ") ! ' " $ ." " 则 ! ( ")' $ ' " , .$." !! "! 向量的运算律 加法# # !,")",! !交换律"% $ ! ," " ,#)!, ! ",# "!结合律" ! 实数与向量的乘积# ## ! ," " ) # !, # " % $ ! # , % " !) # !, % ! % %# ! % ! " ) ! # % " !! 两个向量的数量积# # ! ( ")" ( ! % $ ! # ! "( ")! (! # " " ) # !( " "% % ! ," "( #)! ( #," ( #! 注意#根据向量运算律可知$两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则$正 确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算$ 例如#! ?" " " )! " ?"! ( "," " ! +! 两个向量数量积的重要性质# # ! " ) + ! + "即 + ! + ) !槡"!求向量的长度"% $ 求向量的夹角#已知两个非零向量 ! 与 " $作 9: 7")! $ 9: 7#)" $ 则 ; "7#) $ ! #A 4$4 $&#A "叫做向量 ! 与 " 的夹角$ @9: $ )@9: . ! $ " / ) ! ( " + ! + ( + " + ) ' $ ' " , .$." ' $ " , .$槡 " ( ' " " , ."槡 " 特别注意#当且仅当两个非零向量 ! 与 " 同方向时$ )#A %当且仅当 ! 与 " 反方向时$ $ )$&#A! 同时 % 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ! !四"向量的应用 $! 两个向量平行的充要条件 符号语言# ! < " , !) # " ! " 8 % " ! 坐标语言为#设非零向量 !) ! ' $ $ .$ "$ ") ! ' " $ ." "$ 则 ! < " , ! ' $ $ .$ " ) # ! ' " $ ." " , ' $." *' ".$ )#! "! 两个向量垂直的充要条件 符号语言# ! = " , ! ( ")#! 坐标语言#设非零向量 !) ! ' $ $ .$ "$ ") ! ' " $ ." "$则 ! = " , ' $ ' " , .$." )#! 二#空间向量 !一"空间向量及其运算 $! 空间向量的有关概念 ! $ "空间向量#在空间中$具有大小和方向的量 ! ! " "相等向量#方向相同且模相等的向量 ! ! + "共线向量#表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 ! ! - "共面向量#平行于同一平面的向量 ! ( #$ ( "! 空间向量中的有关定理 ! $ "共线向量定理#对空间任意两个向量 ! $ " ! " 8 % "$ ! < " , 存在 #" $ $使 !) # "! ! " "共面向量定理#若两个向量 ! $ " 不共线$则向量 $ 与向量 ! $ " 共面 , 存在唯一的有序实 数对! ' $ . "使 $ )'!, . "! ! + "空间向量基本定理#如果三个向量 ! $ " $ # 不共面$那么对空间任一向量 $ $存在一个唯一 的有序实数组& ' $ . $ 3 '使得 $ )'!, . ",3# $其中& ! $ " $ # '叫做空间的一个基底 ! +! 两个向量的数量积 ! $ "非零向量 ! $ " 的数量积 ! ( ") + ! ++ " + @9: . ! $ " / ! ! " "空间向量数量积的运算律 # 结合律#! # ! "( ") # !( " "% $ 交换律# ! ( ")" ( ! % % 分配律# ! (! ",# " )! ( ",! ( #! -! 空间向量的坐标表示及其应用 设向量 !) ! ' $ $ .$ $ 3 $ "$ ") ! ' " $ ." $ 3 " "$则 ! $ " !,") ! ' $ ,' " $ .$ , ." $ 3 $ ,3 " " ! ! " " !*") ! ' $ *' " $ .$ * ." $ 3 $ *3 " " ! ! + " # !) ! # ' $ $ # .$ $ # 3 $ " ! ! - " ! ( ")' $ ' " , .$." ,3 $ 3 " ! ! ( "若 ! $ " 为非零向量$且 ! = " , ! ( ")# , ' $ ' " , .$." ,3 $ 3 " )#! ! % "若 " 8 % $且 ! < " , !) # " , ' $ ) # ' " $ .$ ) # ." $ 3 $ ) # 3 " ! !" + ! + ) ! (槡 !) '$ " , .$ " ,3 $槡 " ! ! & " @9: . ! $ " / ) ! ( " + ! ++ " + ) ' $ ' " , .$." ,3 $ 3 " ' $ " , .$ " ,3 $槡 " ( ' " " , ." " ,3 "槡 " ! ! ' "点 ") ! ' $ $ .$ $ 3 $ "$ #) ! ' " $ ." $ 3 " "$ 则 4 "# ) + 9: "# + ) ! ' " *' $ " " , ! ." * .$ " " , ! 3 " *3 $ "槡 " ! ! $# "共面向量定理# $ $ ! $ " 共面 , $ )'!, . " ! ' $ . " $ " ! / $ " $ # $ 四点共面 , 9: $/) 9: '$", . 9: $# , 9: 7/) 9: 7$, 9: '$", . 9: $# , 9: 7/) 9: '7", . 9: 7#, 9: 37$ !其中 ', . ,3)$ " ! $$ "空间向量基本定理 $ )'!, . ",3# ! ' $ . $ 3 " $ "!不共面的三个向量 ! $ " $ # 构成一组基 底$任意两个向量都共面" ! !二"立体几何中的向量方法 $! 设直线 8 $ 5 的方向向量分别为 ! $ " $平面 ! $ " 的法向量分别为 % $ & $则 ! $ "平行# 线线平行# 5 < 8 , ! < " , !)9" ! 9 " $ 且 9 8 # "% 线面平行# 8 <!, ! = % , ! ( %)# % 面面平行# !< " , % < & , %)9& ! 9 " $ 且 9 8 # " ! ! " "垂直# 线线垂直# 8 = 5 , ! = " , ! ( ")# % 线面垂直# 8 =!, ! < % , %)9! ! 9 " $ 且 9 8 # "% 面面垂直# != " , % = & , % ( &)#! ( $$ ( "! 空间角的求法 ! $ "异面直线所成的角 设 ! $ " 分别是两异面直线 8 $ $ 8 " 的方向向量$则 ! 与 " 的夹角 " 8 $ 与 8 " 所成的角 $ 范围 ! # $ ' " # $ ' ! , " 求法 @9: " ) ! ( " + ! ++ " + @9: $ ) + @9: " + ) + ! ( " + + ! ++ " + !! ! " "求直线与平面所成的角 设直线 8 的方向向量为 ! $平面 ! 的法向量为 ' $直线 8 与平面 ! 所成的角为 $ $则 :;4 $ ) + @9: . ! $ ' / + ) + ! ( ' + + ! ++ ' + ! ! + "求二面角的大小 # 如图! = "$ "# $ 6 分别是二面角 ! :8: " 的两个面内与棱 8 垂直的直线$则二面角的大小 $ ) . 9: "# $ 9: 6 / ! 图" = # !!!!! 图" B # !!!!! 图" @ # $ 如图! B "! @ "$ ' $ $ ' " 分别是二面角 ! :8: " 的两个半平面 ! $ " 的法向量$则二面角的大小 $ 满 足 + @9: $+ ) + @9: . ' $ $ ' " / + $二面角的平面角大小是向量 ' $ 与 ' " 的夹角!或其补角" ! +! 用向量法求空间距离 ! $ "点到直线的距离 已知直线 8 的单位方向向量为 ! $ " 是直线 8 上的定点$ / 是直线 8 外一点 ! 设 9: "/)! $则向 量 9: "/ 在直线 8 上的投影向量 9: ";) !( ! " ! ! 点 / 到直线 8 的距离为 /;) ! " * !( ! "槡 "! ! " "点到平面的距离 已知平面 ! 的法向量为 ' $ " 是平面 ! 内的定点$ / 是平面 ! 外一点 ! 过点 / 作平面 ! 的垂线 8 $交平面 ! 于点 ; $则点 / 到平面 ! 的距离为 /;) + 9: "/ ( ' + + ' + ! $! 已知点 " ! # $"$ # ! + $ " "$向量 9: "$) ! *- $ *+ "$则向量 9: #$) ! !! " .5 ! *! $ *- " /5 !$ - " 05 ! *$ $ - " 15 ! $ $ - " "! 若向量 ! $ " 满足 + ! + ) + " + )$ $ ! 与 " 的夹角为 %#A $则 ! ( !,! ( ") ! !! " .5 $ " /5 + " 05$, 槡+ " 15" ( "$ ( +! 若向量 !) ! $ $"$ ") ! " $ ( "$ #) ! + $ ' "满足条件! &!*" "( #)+# $则 ') ! !! " .5% /5( 05- 15+ -! 如图$设 / 是 > "#$ 所在平面内的一点$9: #$, 9: #")" 9: #/ $则 ! !! " .5 9: /", 9: /#)% /5 9: /$, 9: /")% 05 9: /#, 9: /$)% 15 9: /", 9: /#, 9: /$)% !!!!! " - 题图# !!!!!!!!!!!! " ( 题图# (! 如图$ > "#$ 中$ "# 边的高为 $6 $若 9: $#)! $ 9: ")" $ ! ( ")# $ + ! + )$ $ + " + )" $则 9: "6) ! !! " .5 $ + !* $ + " /5 " + !* " + " 05 + ( !* + ( " 15 - ( !* - ( " %! 已知向量 !) ! $ $ # "$ ") ! # $"$ #)9!," ! 9 " $ "$ ()!*" $如果 # < ( $那么 ! !! " .!9)$ 且 # 与 ( 同向 /!9)$ 且 # 与 ( 反向 0!9)*$ 且 # 与 ( 同向 1!9)*$ 且 # 与 ( 反向 !! 设 ' " $ $向量 !) ! ' $"$ ") ! $ $ *" "$且 ! = " $则 + !," + ) ! !! " 槡 槡 槡.5( /5$# 05" ( 15$# &! 若向量 ! $ " 满足 + ! + )$ $ + " + )" $且 ! 与 " 的夹角为' + $则 + !," + ) ! '! 已知向量 + ! + )+ $ + " + )"! 若 ! ( ")*+ $则 ! 与 " 夹角的大小为 ! $#! 已知向量 !) ! " $"$ ! ( ")$# $ + !," + 槡)( "$则+"+) !!!" .!槡( /!槡$# 0!( 1!"( $$! 平面向量 ! 与 " 的夹角为 %#A $ !) ! " $ # "$ + " + )$ $则 + !,"" + ) ! !! " 槡 槡.5+ /5" + 05- 15$" $"! 已知向量 !) ! $ $ " "$ ") ! *" $ 5 "$且 ! < " $则 "!,+") ! !! " .5 ! *( $ *$# " /5 ! *- $ *& " 05 ! *+ $ *% " 15 ! *" $ *- " $+! 已知向量 9: #") $ " $ 槡+? @ A B " $ 9: #$) 槡+ " $ ? @ A B $ " $则 ; "#$) ! !! " .5+#A /5-(A 05%#A 15$"#A $-! 已知向量 !) ! $ $ " "$ ") ! $ $ # "$ #) ! + $ - " ! 若 # 为实数$! , # " " < # 则 # ) ! !! " .5 $ - /5 $ " 05$ 15" $(! 已知向量 !) ! $ $ # "$ ") ! $ $"$则与 "!," 同向的单位向量的坐标表示为 ! $%! 设 ! $ " 都是非零向量$下列四个条件中$使 ! + ! + ) " + " + 成立的充分条件是 ! !! " .5 + ! + ) + " + 且 ! < "/5!)*" 05! < " 15!)"" $!! 已知向量 !) ! $ $ " "$ ") ! " $ *+ " ! 若向量 # 满足! #,! " < " $ # = ! ," "$则 #) ! !! " .5 ! ' $ ! " ! + /5* ! + $ * ! " ! ' 05 ! + $ ! " ! ' 15* ! ' $ * ! " ! + ( +$ ( $&! 已知平面向量 !) ! $ $ *+ "$ ") ! - $ *" "$ # !," 与 ! 垂直$则 # ) ! !! " .5*$ /5$ 05*" 15" $'! 设向量 !) ! $ $ @9: $ "与 ") ! *$ $ "@9: $ "垂直$则 @9:" $ 等于 ! !! " .5 槡" " /5 $ " 05# 15*$ "#! 已知 > "#$ 是边长为 $ 的等边三角形$点 6 $ < 分别是边 "# $ #$ 的中点$连接 6< 并延 长到点 = $使得 6<)"<= $则 9: "= ( 9: #$ 的值为 ! !! " .5* ( & /5 $ & 05 $ - 15 $$ & "$! 空间直角坐标系中$已知点 / ! + $ *" $ *( "$点 ; 与点 / 关于平面 '73 对称$则点 ; 的坐 标是 ! !! " .5 ! *+ $ " $ ( " /5 ! + $ *" $ ( " 05 ! + $ " $ *( " 15 ! *+ $ *" $ *( " ""! 已知直线 8 的一个方向向量 )) ! " $ *$ $ + "$且直线 8 过 " ! # $ . $ + "和 # ! *$ $ " $ 3 "两点$ 则 . *3) ! !! " .5# /5$ 05 + " 15+ "+! 已知向量 !) ! # ,$ $ # $ " "$ ") ! % $ " % *$ $ " # " ! 若 ! < " $则 # 与 % 的值可以是 ! !! " .5" $ $ " /5* $ + $ $ " 05*+ $ " 15" $ " "-! 在三棱锥 /:"#$ 中$ * 为 /" 的中点$ - 在 #$ 上$且 #-)"-$ $则 ! !! " .5 9: *-)* $ " 9: /", $ + 9: /#, " + 9: /$ /5 9: *-)* $ " 9: /"* $ + 9: /#, - + 9: /$ 05 9: *-) $ " 9: /"* $ + 9: /#, " + 9: /$ 15 9: *-)* $ " 9: /", $ + 9: /#* " + 9: /$ "(! 若向量 !) ! " $ *+ $"和 ") ! $ $ ' $ - "满足条件 ! ( ")# $则 ' 的值是 ! !! " .5*$ /5# 05$ 15" "%! 在下列条件中$使点 * 与 " $ # $ 一定共面的是 ! !! " .5 9: 7*) 9: 7"* 9: 7#* 9: 7$ /5 9: 7*) $ ( 9: 7", $ + 9: 7#, $ " 9: 7$ 05 9: *", 9: *#, 9: *$)% 15 9: 7*, 9: 7", 9: 7#, 9: 7$)% "!! 在四面体 7"#$ 中$空间的一点 * 满足 9: 7*) $ - 9: 7", $ % 9: 7#, # 9: 7$ $若 9: *" $ 9: *# $ 9: *$ 共 面$则 # ) ! !! " .5 $ " /5 $ + 05 ( $" 15 ! $" "&! 已知空间三点 " ! # $$ " "$ # ! $ $ + $ ( "$! " $ ( $ -*9 "在一条直线上$则实数 9 的值是 ! !! " .5" /5- 05*- 15*" "'! 已知向量 !) ! # $ + $ + "和 ") ! *$ $$ # "分别是直线 8 和 5 的方向向量$则直线 8 与 5 所 成的角为 ! !! " .5 ' % /5 ' - 05 ' + 15 ' " +#! 若向量 !) ! $ $ *$ $ " "$ ") ! " $$ *+ "$则 + !," + ) ! !! " 槡 槡 槡.5! /5" " 05+ 15$# ( -$ ( +$! 长方体 "#$6:" $ # $ $ $ 6 $ 的底面是边长为 $ 的正方形$高为 " $ * $ - 分别是四边形 ## $ $ $ $ 和正方形 " $ # $ $ $ 6 $ 的中心$则向量 9: #* 与 9: 6- 的夹角的余弦值是 ! !! " .5 槡+ $# $# /5 槡! $# +# 05 槡( +- +- 15 槡$# % +"! 若直线 8 的方向向量 )) ! ' $ *$ $ " "$平面 ! 的法向量 ') ! *" $ *" $ - "$且直线 8 = 平面 ! $ 则实数 ' 的值是 ! !! " .5$ /5( 05*$ 15*( ++! 已知向量 !) ! *" $$ + "$ ") ! *$ $ " $"若 ! = ! * # " "$则实数 # 的值为 ! !! " .5*" /5 $- ( 05* $- + 15" +-! 已知向量 !) ! # $ " $"$ ") ! *$ $$ 5 "$若 ! $ " 分别是平面 ! $ " 的法向量$且 != " $则 5) ! !! " .5*$ /5$ 05*" 15" +(! 在长方体 "#$6:" $ # $ $ $ 6 $ 中$ "#)#$)" $ "" $ )$ $则直线 #$ $ 与平面 ## $ 6 $ 6 所成 角的正弦值为 ! !! " .5 槡% + /5 槡$# " 05 槡$( ( 15 槡$# ( +%! 0九章算术1中$将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖$如下图$在鳖 /:"#$ 中$ /" = 平面 "#$ $ "# = #$ $且 /")"#)#$)$ $则二面角 ":/$:# 的大小是 ! !! " " +% 题图# .5+#A /5-(A 05%#A 15'#A +!! !多选题"在 > "#$ 中$ "#)"$ $ #$)- $ 6 为 #$ 的中点$则以下结论正确的是 ! !! " .5 9: #6* 9: "6) 9: "# /5 9: "6) $ " ! 9: "#, 9: "$ " 05 9: #" ( 9: #$)& 15 + 9: "#, 9: "$ + ) + 9: "#* 9: "$ + +&! !多选题"已知向量 !) ! " $ *$ "$ ") ! *+ $ " "$ #) ! $ $"$则 ! !! " .5! < " /5 ! ," " = # 05!,")# 15#)(!,+" +'! !多选题"已知正方形 "#$6 的边长为 " $向量 ! $ " 满足 9: "#)"! $ 9: "6)"!," $则 ! !! " .5 + " + 槡)" " /5!=" 05!(")" 15!-!,""=" -#! !多选题"已知向量 9: 7") ! $ $ *+ "$ 9: 7#) ! *" $"$ 9: 7$) ! >,+ $ >*& "$若点 " $ # $ 能构成 三角形$则实数 > 可以为 ! !! " .5*" /5 $ " 05$ 15*$ ( ($ ( -$! !多选题"若向量 !) ! *$ $ # $ *" "$ ") ! " $ *$ $"$ ! 与 " 的夹角为 $"#A $则 # 的值为 ! !! " .5$! /5*$! 05*$ 15$ -"! !多选题"已知 & 为直线 8 的方向向量$ ' $ $ ' " 分别为平面 ! $ " 的法向量!$ " 不重合"$那么 下列选项中$正确的是 ! !! " .5' $ < ' " ,!< " /5' $ = ' " ,!= " 05& < ' $ , 8 <! 15& = ' $ , 8 <! -+! !多选题"正三棱柱 "#$:" $ # $ $ $ 中$ "" $ 槡) +"#$则 !!!" .5"$ $ 与底面 "#$ 所成角的正弦值为$ " /5"$ $ 与底面 "#$ 所成角的正弦值为槡+ " 05"$ $ 与侧面 "" $ # $ # 所成角的正弦值为槡+ - 15"$ $ 与侧面 "" $ # $ # 所成角的正弦值为槡$+ - --! "多选题#已知点 / 为 > "#$ 所在平面内一点$且 9: /"," 9: /#,+ 9: /$)% $若 < 为 "$ 的中 点$ = 为 #$ 的中点$则下列结论正确的是 ! !! " .5 向量 9: /" 与 9: /$ 可能平行 /5 向量 9: /" 与 9: /$ 可能垂直 05 点 / 在线段 <= 上 15/<C/=)$C" -(! "多选题#已知向量 * $ $ * " 是平面 ! 内的一组基向量$ 7 为 ! 内的定点$对于 ! 内任意一点 / $当 9: 7/)'* $ , . * " 时$则称有序实数对! ' $ . "为点 / 的广义坐标 ! 若点 " $ # 的广义坐标分别为 ! ' $ $ .$ "$! ' " $ ." "$关于下列命题正确的是 ! !! " .5 线段 "# 的中点的广义坐标为 '$,'" " $ .$ , ." ! " " /5" $ # 两点间的距离为 ! ' $ *' " " " , ! .$ * ." "槡 " 05 向量 9: 7" 平行于向量 9: 7# 的充要条件是 ' $." )' ".$ 15 向量 9: 7" 垂直于 9: 7# 的充要条件是 ' $ ' " , .$." )# -%! "多选题#在正三棱柱 "#$:" $ # $ $ $ 中$ "#)$ $ "" $ )" $ #$ $ 与 # $ $ 交于点 = $点 < 是线 段 " $ # $ 上的动点$则下列结论正确的是 ! !! " .5 9: "=) $ " 9: "#, $ " 9: "$, $ " "" 9: $ /5 存在点 < $使得 "= = #< 05 三棱锥 #:"<= 的体积为槡+ $" 15 直线 "= 与平面 #$$ $ # $ 所成角的余弦值为槡"$ ! ( %$ ( 2=,故B正确： -·=(号-)（专+）-++是-1，放C正确 z0=·=:,故D正确.故选BCD, 22.ABC【解析】z=3+i, -是-32画- ￥√3+i(3+i)(w3-i)(3)2+1 4 则在复平面内对应的点（合，一受）位于第因象限，故A正确： 11√（位）+（号）-1，故B正确： 的实部为，放C正确： 13的虚部为一号，故D错误故选AC 23.BC【解析】若z=0,则十=0，故A错误； 设-a+a,6eR.则-a千千eR 故。千=0，即6=0，放：∈R放B正确： 因为g=(a十bi)2=a+2abi-b≥0，则a2-b≥0，且2ab=0, 所以b=0,故∈R,故C正确： 若1=1，=i,则满足2十2=0，故D错误.故选BC. 24.BCD【解析】，e=cos140°+isin140°， .的虚部为sin140°故A错误： :在复平面上对应的点的坐标为(cos140°，sin140), :cos140°<0，sin140>0..点(cos140°，sin140)位于第二象限，故B正确： ”…-=co140+sim140-1=,放C正确： =a140十n140=os420+n420=as60+n60=号+号.放D正确赦选CD 25.BCD【解析】=1+cos20+isin20=2cos0(cos0+isin0), “-受<0K受 ,.os0>0,sin0∈(-1,1). 则复数：在复平面上对应的点不可能落在第二象限，故A错误： 当8=0时，则=2，即g可能为实数，故B正确： |x=2cos0,故C正确： 1 ”支=2cos9联c0s0+isim =四s0-之四.的实部为分故D正确，故选CD 2c0s0 2 专题三向量 1.A【解析】：AB=O亦-O才=(3,1)，∴BC=AC-AB=(-7,-4).故选A 2.B【解折】aa+ab=a+a·®cos60=1+号-是放选 3.C【解析】(8a-b)·c=30,8a·c-b·c=30,即8(1×3+r)-(2×3+5.x)=30,24+8r-6-5x=30,3.x=12,=4. 故选C. 4.B【解析】：武-B-B-Bi.∴P心-AP,P心-AP=0,即P心+P才=0.故选B. 5.D【解析】如图，：a·b=0, 函1试在直角三角形中，CB=1,CA=2,AB=5.则CD-后 aAD-vm-CD-舌-清 D 裙即市=市=a-b=放选D (5题图) 4 6.D【解析】，向量a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1), 显然，c与d不平行，排除A,B. 若k=一1，则c=一a十b=(一1,1)，d=a-b=(1,-1),即c∥d且c与d反向，排除C.故选D. 7.B【解析】因为a⊥b.所以有a·b=x-2=0,得x=2,则a+b=(3,-1),故a+b1=√3+(-1)=√10.故选B. 8.V7【解析】因为a+b=(a+b)=a+b2+2a·b=1+4+2×1×2×c0s苓=7，故a+b=√瓦 号【解们设a与的夹角为0，侧有ms0=回：。一灵是=一令又0<长所以0=经 3 10.C【解析】50=|a+b2=a2+2a·b+b2=5+20+|b2,.|b=5.故选C. 11.B【解析】因为a十2b=√(a+2b)F=√a+4a·b+4b=√22+4×2×1Xcos60+4X1下=2√5.故选B. 12.B【解析】因为向量a=(1,2),b=(一2，m),且a∥b,所以1×m一2×（一2）=0，所以m=一4， 于是2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).故选B. 13.A【解析】由题意得c0s∠ABC=B:BC 码武专×号+厚×生鸟，所以∠A-放店 1×1 2 14.B【解析】因为a+b=(1,2)+1,0)=(1+,2),又(a+b)∥c,于是3×2-4·(1+)=0，所以入=号.故选B 1(） 【解析】由向量a=(1,0),b=(1,1),得2a+b=(3,1).设与2a+b同向的单位向量为c=(x,y),则 r=30 1r+y=1, 10 13y-x=0, 且x,y>0,解得 10 放一(3，）即与2a+6同向的单位向量的坐标为(，) y= 10 16,D【解析】日·合分别是与a,b同向的单位向量，日-合成立的充要条件是a与6同向，故选D 1.D【解析】c+a=（+1.y+2),因为(c+a)∥b.所以1=①， 2 -3 a+b=(3,-1),因为c⊥(a十b),所以3.x-y=0②， 由①©得=一子9=-子放选D 18.A【解析】a=(A,-3入)，a十b=(X+4,-3x-2), 因为a+b与a垂直，所以(a+b)·a=0,即(a十4)·1+(-3x一2)·(-3)=0，解得A=-1.故选A. 19.C【解析】因为向量a=(1,cos0)与b=(-1,2cos0)垂直， 所以1×(-1)+cos0·2co80=0,2cos20-1=0,cos28=0.故选C. 20.B【解标】设贰=a,武=6.D成=号花-号b-a.D=号成=是(-a. -市+D-0+是be-吾a+26.武-马ab+子6-号+是-名放选 21.C【解析】空间直角坐标系中，点P(3.一2，一5)， 点Q与点P关于平面xO:对称，∴.Q点的坐标是(3,2，一5).故选C 22.A【解析】AB=(-1,2-y,之-3).∴.AB=m..-1=2k,2-y=-k,x-3=3k. 解得k=-==是y一=0故选A 23.A【解析】因为向量a=(a十1,0,2)，b=(6,2-1,2a),a∥b, 所以g一1=0，解得公一号号-员解得太=2或=-3 所以a与4的值可以是2.号或-3，故选A 24.A【解析】由M为PA的中点，N在BC上，且BN=2VC, M=++B=Pi++号武=Pi+(P成-P)+号(F心-P)=一P+P形+号武.故选A 25.D【解析】因为向量a=(2,一3,1)和b=(1,r,4)满足条件a·b=0,即2-3.x十4=0，解得x=2.故选D. 26.C【解析】对于A,由OM=O才-O亦-O心，得1-1一1=-1≠1，不能得出M,A,B,C四点共面： 对于B.由O=号O+O成+号O心，得号+号+2≠1.所以MA,B.C四点不共面： 对于C,由Mi+M亦+心=0，得Mi=-亦-MC,则Mi,M亦.M心为共面向量，即M,A,B,C四点共面： 对于D,由OM+O+O市+O心-0，得Oi-一(Oi+Oi+OC),其系数和不为1，所以M.A,B,C四点不共面.故选C 。5· 27,D【解析】由M..成共面知，+言+=1，解得X=是故选D 28.C【解析】A市=(1,2,3)，AC=(2,4,2-k), 空间三点A(0,1,2),B(1,3,5).C(2,5,4一k)在一条直线上.则存在实数m,使得AC=mAB, /2=m, )4=2m,解得m=2,k=-4.故选C. 2-k=3m, 29.C【解析】向量a=(0.3,3)和b=(一1,1,0)分别是直线1和m的方向向量， a·b 31 六cos(a,b=1a·b-√/18x22' 六a,b)=子直线1与m所成的角为行放选C 30.D【解析】向量a=(1,-1,2),b=(2.1,一3)，∴a+b=(3.0,-1), .|a十b=√3+0+(-1)下=10.故选D. 31.B【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD,为x轴建立空间直角坐标系， B11.0M(11)D00.0.N(222 脑=（号0,1）D=(分2) 设向量B府与DN的夹角为. BM.DN 则cos9=B·D 4 710 30 (31题图) 故向量矿与DN的夹角的余弦值为2C,放选B 32.C【解析】直线1的方向向量m=(x,一1,2)，平面a的法向量n=(一2，一2,4)，且直线1⊥平面a, 六气号导解得=1实数的值是-1散造C 33.D【解析】a一b=(-2+A.1-2以，3-1). a⊥(a-b),∴.a·(a-b)=-2(-2+)+(1-2x)+3(3-1)=0. 解得实数A=2.故选D. 34.C【解析】向量a=(0,2,1),b=(-1,1,m),a,b分别是平面a3的法向量，且a⊥B, ∴.a·b=2十m=0,解得m=一2.故选C. 2 35.D【解析】在长方体ABCD-A1B,CD中，AB=BC=2,AA=1,以D为原点，DA为x轴， DC为y轴，DD为2轴建立空间直角坐标系，B(2,2,0),C(0,2,1),D(0,0,0),D(0,0,1), BC=(-2,0,1),Di=(2,2,0),DD=(0,0,1), 设平面BBDD,的法向量n=(x,y,), 则0：亦2十y=0取=1，得=1，-1,0 {n·Dd=x=0, 设直线BC与平面BB,DD,所成角为O, (35题图) 调直装配与平餐路D加所成角的E滋值为血：。一品故喜D 36.C【解析】在鳘需P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1, .以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为x轴建立空间直角坐标系， 则A(0,1,0),C(1,0,0),B(0,0,0),P(0,1.1), PA=(0,0,-1).PB=(0,-1,-1).PC=(1,-1.-1), 设平面PAC的法向量n=(x,y,:), 则”…P时=-=0， n·pt=x-y-g=0, 取x=1,得n=(1,1,0), 设平面PBC的法向量m=(a,b,c), 则m·P市=-6-c=0, m·Pt=a-b-c=0, 取b=1,得m=(0,1,一1) (36题图) 设二面角APCB的大小为0， 6 则0品后分0-0 ∴.二面角APCB的大小为60°.故选C. 37.BC【解析】，在△ABC中，AB=AC,BC=4,D为BC的中点， :BD-AD-BD+DA=BA=-AB.故A错误： 市=之（市+A心.故B正确： B耐，C=(Bd+Di)·BC=号B.BC+Di,C-号BC=8,故C正确： :1AB+AC=2AD,AB-AC=1BC1,D不一定成立.故选BC 38.BD【解析】：向量a=(2,一1)，b=(-3,2),c=(1,1), (37题图) ∴.a,b不平行，放排除A: ,(a+b)·c=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,故(a+b)⊥c,故B正确； :a+b=(一1,1)，故C不正确：：5a+3b=(1,1),放D正确.故选BD. 39.AD【解析】由条件可得=A市-AB-B市，所以b1=Bi1=2V2,故A正确： a=号亦，与励不垂直，放B错误a·b=2本，动=-2，故C错误： 4a十b-AB+AD=AC,根据正方形的性质有AC⊥BD,所以(4a+b)⊥b,故D正确.故选AD. 40.ABD【解析】：向量OA=(1,-3),O求=(-2,1)，OC=(1十3.t-8), .AB=(-2,1)-(1,-3)=(-3,4),AC-(1+3,1-8)-(1,-3)=(1+2,1-5) :点A,B.C能构成三角形，∴.AB≠入AC,∴（一3,4）≠(a(1+2),A(1一5).解得≠1. 实数1可以为-2，，-1.故选ABD, 41.AC【解析】：向量a=(一1，A,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°， m1w。器m得=1支放落C 42.AB【解析】v为直线1的方向向量，m,:分别为平面a3的法向量(a,3不重合)， 则n∥ne=a∥B,m:⊥ne台a⊥3，r∥n=l⊥a,v⊥n台l∥a或lCa. 因此AB正确.故选AB. 43.BC【解析】如图，取AC中点为E,AC中点为F,并连接EF,则EB:,EC,EF三条直线两两垂直， 则分别以这三条直线为x轴，y轴，：轴建立如图所示空间直角坐标系. 设AB=2,则AA=2V3. ∴.A1(0,-1.0),C(0,1,0),A(0,-1,23),C(0.1,23),B(w3,0,0), .AC=(0,2,-23). 底面ABC的其中一个法向量为m=(0.0,23), .AC与底面ABC所成角的正弦值为cos《m,AC)1 m·AC -12 m·A 4×23 2 故A错B对. 取AB中点为K,则点K的坐标为（受一立0小 (43题图) 六侧面AMBB的其中一个法向量为C-(号，号0） ∴.AC与侧面AA,BB所成角的正弦值为cos(AC,KC)1= :- AC·KC 故C对D错.故选BC, 44.BC【解析】：PA+2P5+3P式-0， ∴.PA+PC+2(PB+PC)=0. ,E为AC的中点，F为BC的中点， ∴.2PE+2×2P求=0，.PE=-2P ∴.P为FE的三等分点（靠近点F),即PE:PF=2:1,故C正确，D错误： .向量P才与P心不可能平行，故A错误： 当心=2=专E=号A1时向量P才与P元垂直，故B正确，故选C 。7· 45.AC【解析】根据题意得，由中点坐标公式知A正确： 只有在平面直角坐标系中，两点间的距离公式才如B项所表达的 当向量e与e的夹角不是受时， AB1=Oi-OA1=(x一x1)e+(边-)e1=√(x-1)+(-+2()(为)e,·e, 只有当向量e与e:的夹角是艺时，A,B两点间的距离才为√一)+(y一)了，故B错误： 由向量平行的充要条件得C正确： 当向量e,e是相互垂直的单位向量时，Oi与O庐垂直的充要条件为x1x2十yy=0,放D错误，故选AC. 46.AC【解析】由题意可画出正三棱柱ABC-A,B,C,如图所示. 向量-迹+=迹+2（成武+丽）=花+(C-市+A=市+花+A,故A正确： 假设存在点E,设A,E=AA1B,0≤A≤1， BE=AE-AB-AA+AE-AB-AA:+A:B-AB-AA+(-1)AB. 因为AF⊥BE 所以AF·能=(2B+2C+2AA)·[AA+(a-1)A] =a-1a迹+号A+a-1Dt.A =2a-0+7×2+号a-1Dx1x1x号-0： (46题图) 解得入=一号，与前设矛盾，故B错误： 因为正三棱柱ABC-A,B,C,所以AB∥A,B, 所以V与w=V=VeF=之y袋C国 所以VA=VEe-停放C正确： 设BC中点为O,所以AO⊥BC, 因为三棱柱ABC-A:BC是正三棱柱， 所以AO⊥平面BB,CC, 所以∠AFO即为AF与平面BB:CC所成的角， @∠A0--方=，故D错误故选口 2 专题四概率与统计 1.D【解析】设3个红球分别为A1.A2,A3,2个白球分别为B1,B2.则从袋中任取3个球的所有可能为：(A1,A2,A3), (A1,A2,B1),(A1,A3,B1),(A2,A3,B1),(A1,A2,B2),(A1,A3,B2),(A2,A3,B2),(A1,B1,B2),(A2,B1,B2),(A3,B1,B2)共 10种，设“所取3个球中至少有1个白球的事件"为M,则M含有基本事件(A1,A2,B1),(A1,A3,B1),(A2,A3,B1),(A1,A2,B2), (A1,A3.B2),(A2,A3,B2),(A1,B1.B2),(A2,B1,B2),(A3.B1.B2)共9种. 故PM=品故选D 2.A【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3，设甲、乙两位同学各自参加各个小组为（甲，乙），于是甲、乙两位同学各自参加 其中一个小组的所有可能有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9种，记“两位同学参加同一个兴趣 小组的事件”为M,则M含有基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)共3种. 散PM=号-寸放选A 3.B【解析】设3个黑球分别为A1,A2,A3,2个白球分别为B1,B2,1个红球为C,则从袋中任取两个球的所有可能为： (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2.A3),(A2,B).(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2), (B1,C),(B2,C)共15种，设“从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑”为事件M,则M含有基本事件(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1), (A2,B2).(A3,B1),(A3,B2)共6. 故PA0--号：放选 *8·