第一章 专题二 复数-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题二 ! 复 ! 数 !考试内容" ! 复数的概念!复数的四则运算!复数的几何意义 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" ( ( ( ( ( ( ( 全国卷!乙卷" ( ( ( ( ( ( ( 新高考全国 ! 卷 ( ( 新高考全国 " 卷 ( ( 一#复数的概念 $! 定义#形如 0,2; ! 0 $ 2 " $ "的数叫做复数$记作 3)0,2; $其中 ; 是虚数单位$ ; " )*$ % 0 与 2 分别叫做复数 3)0,2; 的实部和虚部 ! "! 分类#设复数 3)0,2; ! 0 $ 2 " $ " ! $ "当 2)# 时$ 3 为实数 ! ! " "当 2 8 # 时$ 3 为虚数 ! ! + "当 0)# $且 2 8 # 时$ 3 为纯虚数 ! +! 复数相等#如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等 ! -! 共轭复数#当两个复数实部相等$虚部互为相反数时$这两个复数互为共轭复数$也即 3)0,2; $则 3)0*2;! (!3)0,2; ! 0 $ 2 " $ "的模!或绝对值"# + 3 + ) + 0,2; + ) 0 " ,2槡 "! %! 复平面#建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面$ ' 轴叫做实轴$ . 轴!不包含原点" 叫做虚轴 ! 则复数 3)0,2; ! 0 $ 2 " $ "与复平面上的点! 0 $ 2 "建立了一一对应的关系 ! 二#复数的运算 设复数 3 $ )0,2; $ 3 " )1,4; ! 0 $ 2 $ 1 $ 4 " $ "$则 $! ! 0,2; " , ! 1,4; " ) ! 0,1 " , ! 2,4 " ;! "! ! 0,2; " * ! 1,4; " ) ! 0*1 " , ! 2*4 " ;! +! ! 0,2; "! 1,4; " ) ! 01*24 " , ! 21,04 " ;! -! ! 0,2; " > ! 1,4; " ) 01,24 1 " ,4 " , 21*04 1 " ,4 " ; ! 1,4; 8 # " ! $! 若复数! $,2; "! ",; "是纯虚数! ; 是虚数单位$ 2 是实数"$则 2) ! !! " .5*" /5* $ " 05 $ " 15" ( % ( "! 设! $,"; "! 0,; "的实部和虚部相等$其中 0 为实数$则 0) ! !! " .5*+ /5*" 05" 15+ +!; 是虚数单位$ ,; +等于 ! !! " .5; /5*; 05$,; 15$*; -!; 是虚数单位$若集合 +) & *$ $ # $'$则 ! !! " .5; " + /5; " " + 05; + " + 15 " ; " + (! 设 0 $ 2 " $ $则* 02)# +是*复数 0, 2 ; 为纯虚数+的 ! !! " .5 充分不必要条件 /5 必要不充分条件 05 充分必要条件 15 既不充分也不必要条件 %! 设 3 的共轭复数是 3 $若 3,3)- $ 3 ( 3)& $则3 3 等于 ! !! " .5; /5*; 05?$ 15?; !! 复数 3) *+,; ",; 的共轭复数是 ! !! " .5",; /5"*; 05*$,; 15*$*; &! 设 0 $ 2 " $ $ 0,2;) $$*!; $*"; ! ; 为虚数单位"$则 0,2 的值为 ! '!; 是虚数单位$在复平面内复数$*+; $*; 对应的点所在的象限为 ! !! " .! 第一象限 /! 第二象限 0! 第三象限 1! 第四象限 $#! 已知 # 5 0 5 " $复数 3)0,; ! ; 是虚数单位"$则 + 3 + 的取值范围是 ! !! " .5 ! $ $ ( " /5 ! $ $ + " 05 ! $ $槡(" 15!$$槡+" $$! 若复数 3 满足 3 ! "*; " )$$,!; ! ; 为虚数单位"$则 + 3 + 为 ! !! " 槡 槡.5- /5*- 05+- 15* +- $"! 在复平面内$复数$#; +,; 对应的点的坐标为 ! !! " .5 ! $ $ + " /5 ! + $" 05 ! *$ $ + " 15 ! + $ *$ " $+! 设复数 3 满足 ;3)$ $其中 ; 为虚数单位$则 3) ! !! " .5*; /5; 05*$ 15$ $-! 若 0 为实数$且",0; $,; )+,; $则 0) ! !! " .5*- /5*+ 05+ 15- $(! 复数;*" $,"; ) ! !! " .5; /5*; 05* - ( * + ( ; 15* - ( , + ( ; $%! 已知复数 3)$*; $则 3 " 3*$ ) ! !! " .5" /5*" 05"; 15*"; $!!; 是虚数单位$ ; ! $,; "等于 ! !! " .5$,; /5*$*; 05$*; 15*$,; ( ! ( $&! 设复数 3)$,; ! ; 是虚数单位"$则" 3 ,3 " ) ! !! " .5$,; /5*$,; 05$*; 15*$*; $'! 设复数 3) ! 5 " *&5,$( " , ! 5 " *(5,% " ; ! 5 " $ "$则当 3 表示实数时$ 5 的值为 ! !! " .5+ /5( 05+ 或 ( 15" 或 + "#! 复数 3) ! 0 " *"0 " , ! 0 " *0*" " ; ! 0 " $ "在复平面内对应的点在虚轴上$则实数 0 满足 ! !! " .50 8 " 或 0 8 $ /50 8 " 且 0 8 $ 050)" 或 0)# 150)# "$! "多选题#设复数 3)* $ " , 槡+ " ; $则以下结论正确的是 ! !! " .53 " 7 # /53 " )3 053 + )$ 153 "#"# )3 ""! "多选题#已知复数 3 槡) +,;!;为虚数单位"$3为3的共轭复数$若复数3#) 3 3 $则下列结 论正确的是 ! !! " .53 # 在复平面内对应的点位于第四象限 /5 + 3 # + )$ 053 # 的实部为$ " 153 # 的虚部为槡+ " "+! "多选题#下列结论正确的是 ! !! " .5 若复数 3 满足 3,3)# $则 3 为纯虚数 /5 若复数 3 满足$ 3 " $ $则 3 " $ 05 若复数 3 满足 3 " 7 # $则 3 " $ 15 若复数 3 $ $ 3 " 满足 3 $ " ,3 " " )# $则 3 $ )3 " )# "-! "多选题#已知复数 3)@9:$-#A,;:;4$-#A $ ; 为虚数单位$则下列说法正确的是 ! !! " .53 的虚部为 ;:;4$-#A /53 在复平面上对应的点位于第二象限 053) $ 3 153 + ) $ " , 槡+ " ; "(! "多选题#已知复数 3)$,@9:" $ ,;:;4" $ * ' " 5$5 ' ! " " !其中 ; 为虚数单位"$下列说法 正确的是 ! !! " .5 复数 3 在复平面上对应的点可能落在第二象限 /53 可能为实数 05 + 3 + )"@9: $ 15 $ 3 的实部为$ " ( & ( 即2x+士≥A对任意的r∈[2,2]恒成立，即(2x+)≥元 因为2x+子>≥2vE,当且仅当r=号时等号成立. 2 所以A≤2√2.故选AB. 35.BD【解析】，关于x的不等式x2一2a,x+a>0的解集为R, .函数f(r)=x2一2ax+a的图象始终在x轴上方，即方程r2-2a.r十a=0的△<0， ,.由(-2a)-4a<0.解得0<a<1. 又{a0<a<1}{a0≤a≤1}，{a0<a<1){aa≥01， .“0≤a≤I”和“a≥0”是“关于x的不等式x2一2ax十a>0的解集为R"的必要不充分条件.故选BD. 专题二复数 1.D【解析】，(1十i)(2十i)=(2一b)十(1十2b)i为纯虚数，.2一b=0,,b=2.故选D. 2.A【解析】(1十2i)(a十i)=(a-2)十(2a十1)i,∴.a-2=2a十1，∴.a=-3.故选A. 3.D【解析】序=一i,1十P=1一i故选D. 4.B【解析】=一1.故选B. 5.B【解析】因为复数a十名为纯虚数，推得a=0且b≠0，所以ab=0.所以ab=0是“复数Q+名为纯虚数"的必要条件。 面°ab=0”无法推得a=0,b-0”(可能a不为0,6为0或a,6同时为0，即无法推得“复数a+宁为纯虚数”，所以a6=0不是复 数a十台为纯虚数"的充分条件. 综上，“ab=0"是“复数a+乌为纯虚数“的必要不充分条件.故选B 2a=4, 6.D【解析】设=a十bi,则=a-bi,由条件可得 。解得a=2,b=±2， a2+6=8 于是有三-±2：=1±Q±D :2于21年1年)(1士=士i故选D, 1.D【解析】因为复数一2背-{包2 =-1十i,所以有=一1一i.故选D. 8.8【解析】因为复数4+i=-川-0十2=25+15i=5+3i,故a+=8. 1-2i(1-2i)(1+2i) 5 9.D【解析】 二西-书-4=2-i复数对应的点为2，-1，即在第四象限，故选D 1-i(1-i)(1+i) 2 10.C【解析】因为=√a+I,而0<a<2,于是1<√云+T<5.故选C 1.C【解析】由(2-）=1+7i.得x=+_+72=3+5i,于是1=√3+可=√.故选C 2-i (2-i)(2+i) 12.A【解折】由-9说。”)-1+3新得在复平面上对应的点的坐标为1.3.故选A 13,A【解析】由1=1得=}=-i放选A 14.D【解析】由题意可得2十ai=(1十i)(3+i)=2十i→a=4.故选D. 16A【解标】会-器-受=故选A 16.A【解析】 马兴=吾=2故选入 17.D【解析】i(1+i)=i计=-1+i.故选D. 18A【解】兰+2=品十1+=DD十1+2+)=1-0+2=1+i故选A 2(1-i) 19.D【解析】由题意得m一5m十6=0，解得m=2或m=3.故选D. 20.D【解析】由题意得0一2a=0, a2-a-2≠0， 解得a=0.故选D. 21.欧D【解标】“=一是+. d=(（合+)=子=号号放A销误： 。3· 2=,故B正确： -·=(号-)（专+）-++是-1，放C正确 z0=·=:,故D正确.故选BCD, 22.ABC【解析】z=3+i, -是-32画- ￥√3+i(3+i)(w3-i)(3)2+1 4 则在复平面内对应的点（合，一受）位于第因象限，故A正确： 11√（位）+（号）-1，故B正确： 的实部为，放C正确： 13的虚部为一号，故D错误故选AC 23.BC【解析】若z=0,则十=0，故A错误； 设-a+a,6eR.则-a千千eR 故。千=0，即6=0，放：∈R放B正确： 因为g=(a十bi)2=a+2abi-b≥0，则a2-b≥0，且2ab=0, 所以b=0,故∈R,故C正确： 若1=1，=i,则满足2十2=0，故D错误.故选BC. 24.BCD【解析】，e=cos140°+isin140°， .的虚部为sin140°故A错误： :在复平面上对应的点的坐标为(cos140°，sin140), :cos140°<0，sin140>0..点(cos140°，sin140)位于第二象限，故B正确： ”…-=co140+sim140-1=,放C正确： =a140十n140=os420+n420=as60+n60=号+号.放D正确赦选CD 25.BCD【解析】=1+cos20+isin20=2cos0(cos0+isin0), “-受<0K受 ,.os0>0,sin0∈(-1,1). 则复数：在复平面上对应的点不可能落在第二象限，故A错误： 当8=0时，则=2，即g可能为实数，故B正确： |x=2cos0,故C正确： 1 ”支=2cos9联c0s0+isim =四s0-之四.的实部为分故D正确，故选CD 2c0s0 2 专题三向量 1.A【解析】：AB=O亦-O才=(3,1)，∴BC=AC-AB=(-7,-4).故选A 2.B【解折】aa+ab=a+a·®cos60=1+号-是放选 3.C【解析】(8a-b)·c=30,8a·c-b·c=30,即8(1×3+r)-(2×3+5.x)=30,24+8r-6-5x=30,3.x=12,=4. 故选C. 4.B【解析】：武-B-B-Bi.∴P心-AP,P心-AP=0,即P心+P才=0.故选B. 5.D【解析】如图，：a·b=0, 函1试在直角三角形中，CB=1,CA=2,AB=5.则CD-后 aAD-vm-CD-舌-清 D 裙即市=市=a-b=放选D (5题图) 4