精品解析：甘肃省武威市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2023-2024学年第二学期期末质量检测 高一数学 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解. 【详解】由， 所以虚部为， 故先：B. 2. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的线性运算计算即可. 【详解】因为是的中线，所以， ． 故选：B. 3. （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：A. 4. 有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念，即可对逐个选项的正误作出判断． 【详解】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 5. 某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 线段与所在的直线异面 B. 线段与所在的直线平行 C. 线段与所在的直线所成的角为 D. 线段与所在的直线相交 【答案】C 【解析】 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段与所在的直线相交，故A错误； 线段与所在的直线异面，故B错误； 如图连接，，由正方体的性质可知，为等边三角形， 所以为与所在的直线所成的角，故C正确； 如图连接，则，平面，平面，所以平面， 又平面，所以与不相交，故D错误. 故选：C 6. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A 若，，则‖ B. 若，，则‖ C. 若‖，‖，则‖ D. 若‖，‖，则‖ 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，举例分析判断，对于B，由线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于A，如图，，，则与相交，所以A错误， 对于B，因为，，所以由线面垂直的性质可得‖，所以B正确， 对于C，如图，‖，‖，则与相交，所以C错误， 对于D，如图，‖，‖，则与相交，所以D错误， 故选：B 7. 2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（ ） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解. 【详解】由题意，得事件，，为互斥事件， 所以，则. 故选：C． 8. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】对于A中，圆柱的侧面积为，所以A错误； 对于B中，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，所以B错误； 对于C中，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确； 对于D中，圆柱的体积，圆锥的体积， 球的体积，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为，故D正确. 故选：CD. 10. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 直线与所成的角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等积转化和体积公式计算三棱锥的体积后可判断A的正误，利用反例可判断B的正误，可证平面平面，结合面面平行的性质可判断C的正误，可证（或其补角）为直线与所成的角，求出的范围后可求判断D的正误. 【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当与重合时，， 所以的最小值不为，故B错误； 对于C，连接，， 由正方体可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故C正确： 对于D，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大为， 当与重合时，此时最小为0， 所以直线与所成的角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 设为随机事件，且，下列说法正确的是（ ） A. 事件相互独立与互斥不可能同时成立 B. 若三个事件两两独立，则 C. 若事件独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用相互独立性的性质，相互独立事件是可以同时发生的，而互斥事件是不可能同时发生的；三个事件两两独立，不能确定三个事件相互独立，即不能判断是否成立；利用概率公式求解. 【详解】若相互独立，则；若互斥，则， 而，，所以事件相互独立与互斥不可能同时成立，故A正确； 当三个事件两两独立时，一般不成立． 比如：设样本空间含有等可能的样本点，且， 则，， 所以， 即三个事件两两独立，但是，故B错误； 若相互独立，则也独立，故C正确； 由得，所以，故D正确； 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 【答案】 【解析】 【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解. 【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开， 把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形， 可矩形的对角线长为，即最短路线的长为. 故答案为：. 13. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由纯虚数得出的取值，即可求出复数是纯虚数的概率. 【详解】由题意， 在中，，， ∵复数为纯虚数 ∴， ∴复数是纯虚数的概率为：， 故答案为：. 14. 设和分别是先后投掷一枚骰子得到点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程有实根的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概率求解即可. 【详解】在所有两次出现的点数有 5 的情形中，所有的有： ，，，，，，，，，，，共 11个， 而满足判别式的有： ，，，，，，，共 7 种， 因此所求概率为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.） 15. 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出，由公式求出模长； （2）利用向量余弦夹角公式进行求解. 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 设与夹角为， ， 故与夹角的余弦值为 16. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值 （3）求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）根据两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 . 17. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求直线所成的角的大小； （3）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据异面直线所成角定义求解； （3）根据线面垂直的判定定理可证. 【小问1详解】 因为在正方体中，可知， 而平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图，连接，，在正方体中，可知，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以（或其补角）是直线与直线所成角，又，所以 ，所以直线与直线所成角为. 【小问3详解】 因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角线，因此， 又，且，平面， 所以平面. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明，即可证明； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，转化为求与所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理，即可求解；（ⅱ）根据线面角的定义，构造线面角，即可求解. 【小问1详解】 如图，因为点是正方形的对角线的中点，所以三点共线，连结， 点是对角线的交点，所以是的中点，是的中点， 所以， 平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 （ⅰ）连结， 若二面角的大小为， 则平面平面，且平面平面， ，且平面， 所以平面，平面， 所以， 又因为，所以，则， 又，， 异面直线与所成的角为与所成的角，为或其补角， 中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （ⅱ）取的中点，连结，因为，所以， 所以平面， 连结，为直线与底面所成的角， 因为底面边长为1，， 所以,， , 所以. 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 （1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【答案】（1），，． （2）（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【解析】 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【小问1详解】 设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． 【小问2详解】 （i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末质量检测 高一数学 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 线段与所在的直线异面 B. 线段与所在的直线平行 C. 线段与所在的直线所成的角为 D. 线段与所在的直线相交 6. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确为（ ） A. 若，，则‖ B. 若，，则‖ C. 若‖，‖，则‖ D. 若‖，‖，则‖ 7. 2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件：小明选大寨村，事件：小明选荆竹村，事件：小明选绿江村．已知，，则＝（ ） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.7 D. 0.9 8. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 10. 如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 平面 D. 直线与所成的角的取值范围是 11. 设为随机事件，且，下列说法正确的是（ ） A. 事件相互独立与互斥不可能同时成立 B. 若三个事件两两独立，则 C. 若事件独立，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 13. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数概率为__________. 14. 设和分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程有实根的概率是______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.） 15 已知平面向量，. （1）求的值； （2）求与夹角的余弦值. 16. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值 （3）求的值. 17. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求直线所成的角的大小； （3）求证：平面. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， （ⅰ）求与所成角的余弦值； （ⅱ）求直线与平面所成角的大小. 19. 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 （1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $