精品解析：湖南省汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题

2024年高一下学期期末数学考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案． 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 2. 在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 实轴上（除原点外） D. 坐标轴上（除原点外） 【答案】A 【解析】 【分析】设，分析可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设，则， 因为，则，可得， 可知复数z对应的点在直线上（原点除外）， 所以复数z对应的点在一、三象限. 故选：A. 3. 已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据构成空间基底的条件对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，无解. 所以，与构成一个基底. B.因为，所以，所以排除B； C.因为，所以，所以排除C； D.设，所以， 整理得，， 因为是空间的一个基底，所以，所以， 所以，与不构成一个基底，排除D. 故选：A 4. 已知的顶点坐标分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据距离公式可求出三角形三边的长，即可利用余弦定理以及同角三角函数关系求出结果. 【详解】的顶点坐标分别是，，， 由距离公式可得，，， 余弦定理得，又，则. 故选：A. 5. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将12名学生的成绩，从小到大排序：1.55, 1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70， 1.72， 1.74，1.758，1.78，又由，所以这组数据的第75%分位数是. 故选：B. 6. 在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得 ， 所以，即，是直角三角形， 又，所以点是的外心，且点是斜边的中点， 的等边三角形，且， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：C. 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解. 【详解】依题意，设半球的半径为， 连接交于点，连接，如图所示： 则有，易得， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：， 所以半球的体积为：. 故选：C. 8. 甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于，利用列举法分析判断，对于，利用反证法分析判断即可. 【详解】用表示甲第次抛掷的结果，那么甲抛掷两次的结果可以用表示，用1表示正面向上，0表示反面向上， 则样本空间，，，所以不是的子集，故错误； ，，又，，故错误； 设事件“甲得到的反面数比乙得到的反面数少”，则， 下面证明事件与事件对立. 若事件与事件同时发生，则甲的正面数和反面数都比乙的少，那么甲抛掷的次数比乙少两次，与题目矛盾； 若事件与事件都不发生，则甲的正面数和反面数都不比乙的少，那么甲抛掷的次数不比乙少，与题目矛盾，故事件与事件不对立. 所以，又因为,故错误，正确. 故选：. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 10. 已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，，根据模公式，共轭复数概念，复数除法计算即可. 【详解】设，则，故A正确； ， ，，则.故B正确； ，，，，故C错误； 由于，且由B的证明知道，两个复数的模性质，，则，，则.故D正确. 故选：BD. 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为60° D. 向量在上的投影向量为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据向量坐标线性运算得到，进而求出模长；B选项，根据向量数量积的坐标运算法则计算；C选项，利用向量夹角计算公式计算；D选项，代入公式求出投影向量. 【详解】，所以，A错误； ，B正确； ， 因为，故，所以向量与的夹角为60°，C正确； 向量在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 12. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. 的最大内角是最小内角的2倍 C. 若为中点，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意由正弦定理得，不妨设，则，故求出最大边所对的角即最大角即可判断A；由余弦定理以及二倍角公式即可判断B；求出中线即可判断C；借助求出角平分线即可判断D. 【详解】由题知内角所对的边分别为， 由正弦定理可知，不妨设，则， 对于A，由上知边为最大边，故为最大角， 由余弦定理知，故为锐角，所以为锐角三角形，故错误； 对于，由上知A为最小角，且， 又，知，即， 又均为锐角，则，故B正确； 对于，因为为中点，所以， 平方得， ，又，故，故C正确； 对于D，由，得，又， 所以，由，即， 故，故D正确， 故选：BCD. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出总体的均值，再根据分层抽样的性质可求出总体的方差. 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为. 故答案为：0.76. 14. 在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为______． 【答案】##． 【解析】 【分析】分别为的中点，异面直线AP与BC所成角即直线与所成角，求中各边长，可求直线与所成角的余弦值. 【详解】连接，连接， 又为中点，则，，异面直线AP与BC所成角即直线与所成角， 圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，， 则，， 为等边三角形，直线与所成角为， 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 故答案为：. 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 【答案】 【解析】 【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解. 【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开， 把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形， 可矩形的对角线长为，即最短路线的长为. 故答案为：. 16. 已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则______；______． 【答案】 ①. ②. 2． 【解析】 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求. 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故. 又，有， 则. 故答案为：；2． 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合三点共线有，得，根据已知列方程求参数即可； （2）根据已知得，结合的坐标表示求点坐标. 【小问1详解】 由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． 【小问2详解】 ， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如下图，连接交于点O，连接OD， 因为四边形为矩形，所以O为的中点， 因为D为BC的中点，所以， 因为平面平面，平面， 所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，根据线面平行的判定定理可得答案； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，为直线与平面所成角，在中求出正弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，因为，所以， 所以，得， 因为D为BC的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为在中，，， 所以． 【点睛】 19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 【答案】（1）0.15 （2）2400元 （3）25人 【解析】 【分析】（1）根据图中所对应的频率/组距的值，乘上组距，即可得到月收入在的频率. （2）通过比较几个区间的频率之和与0.5的关系，判断出中位数所在区间，进而求出样本数据的中位数. （3）根据表格先居民月收入在的频率，接着计算10000人中月收入在的人数，再根据分层抽样抽出100人，计算得出月收入在的这段应抽取的人数. 【小问1详解】 月收入在的频率为： ∴居民月收入在的频率为0.15. 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴样本数据的中位数为 ∴样本数据的中位数为2400元. 【小问3详解】 居民月收入在的频率为： ， ∴10000人中月收入在的人数为： ， 再从10000人中分层抽样方法抽出100人， 则月收入在的这段应抽取： ， ∴月收入在的这段应抽25人. 20. 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 （1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 【答案】（1），，． （2）（i）；（ii）此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【解析】 【分析】（1）运用列举法，结合古典概型求解概率即可； （2）（i）运用对立事件概率性质求解即可；（ii）求出各自的概率再比较即可． 【小问1详解】 设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则，，， 设事件，，，，，，，，， 故，，． 【小问2详解】 （i）记三次抽取至少有一次成功为事件B， 则． （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大． 若按①②③的顺序，， 同理，求出①③②、②①③、②③①、③①②、③②①顺序下的概率分别为，，，，， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 21. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可得； （2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由可得，再结合余弦定理可求出可得周长； （3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用对勾函数性质即可得解. 【小问1详解】 由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以. 【小问2详解】 设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. 【小问3详解】 设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以．即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一下学期期末数学考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在复平面内，非零复数z满足（i为虚数单位），则复数z对应的点在（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 实轴上（除原点外） D. 坐标轴上（除原点外） 3. 已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的顶点坐标分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 6. 在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人各有一枚质地均匀的硬币，甲抛掷2次，乙抛掷3次，事件“甲抛掷的两次中第一次正面朝上”，事件“甲抛掷的两次硬币朝上的面相同”，事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 10. 已知复数z，w均不为0，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为60° D. 向量在上的投影向量为2 12. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. 的最大内角是最小内角的2倍 C. 若为中点，则 D. 若，则 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 14. 在如图所示的圆锥中，AB为底面圆O的直径，C为的中点，，则异面直线AP与BC所成角的余弦值为______． 15. 如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为______________. 16. 已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则______；______． 四．解答题（共5小题，共70分） 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． （1）求实数的值； （2）已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 18. 如图，在直三棱柱中，，D为BC的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱柱的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在. （1）求居民月收入在的频率； （2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； （3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？ 20. 龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 （1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； （2）若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明． 21. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $