专题1.1 生活中的立体图形（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 生活中的立体图形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】常见的几何体及分类 1. 各部分不在同一平面内的几何图形，叫立体图形，也叫几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体及分类： （1）柱体； （2）锥体； （3）球. 【知识点二】柱体的相关概念及特征 1. 柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. 2. 棱柱的特征 （1） 棱柱所有的侧棱长都相等； （2） 棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形； （3） 侧面的形状都是平行四边形. 3. 棱柱的分类 （1） 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱. （2） 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 【知识点三】图形的构成及其关系 1.点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是几何体，几何体也简称体； 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种； 线：面和面相交得线，面有直线和曲线； 点：线和线相交得点. 2.点、线、面、体的关系 点动成线；线动成面；面动成体. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】常见的几何体及几何体的构成 【例1】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．   【变式1】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 【题型2】立体图形的分类 【例2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2021七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【题型3】几何体中的点、线、面、棱及其关系 【例3】（20-21七年级上·全国·单元测试）如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． （1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数（V） 边数（E） 区域数（F） （2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； （3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 【变式1】（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【题型4】平面图形的旋转所得到的几何体 【例4】（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，将此长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ．（结果保留） 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat  surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 【例2】（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【例2】（20-21七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 图2 图3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 生活中的立体图形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】常见的几何体及分类 1. 各部分不在同一平面内的几何图形，叫立体图形，也叫几何体，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是常见的几何体. 2. 常见的几何体及分类： （1）柱体； （2）锥体； （3）球. 【知识点二】柱体的相关概念及特征 1. 柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做邻，相邻的两侧面的交线叫做侧棱. 2. 棱柱的特征 （1） 棱柱所有的侧棱长都相等； （2） 棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形； （3） 侧面的形状都是平行四边形. 3. 棱柱的分类 （1） 人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱...,长方体、正方体都是棱柱. （2） 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形. 【知识点三】图形的构成及其关系 1.点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球都是几何体，几何体也简称体； 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种； 线：面和面相交得线，面有直线和曲线； 点：线和线相交得点. 2.点、线、面、体的关系 点动成线；线动成面；面动成体. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】常见的几何体及几何体的构成 【例1】（22-23七年级上·吉林·期末）如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．   【分析】根据图形形状逐个连接即可得到答案． 解： 【点拨】本题考查立体图形的判断，解题的关键是熟练掌握基础的立体图形． 【变式1】（2024·北京大兴·一模）下面几何体中，是圆锥的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了常见几何体的识别，观察所给几何体，可以直接得出答案． 解：A选项为正方体，不合题意； B选项为球，不符合题意； C选项为五棱锥，不合题意； D选项为圆锥，符合题意． 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择 ．（填序号即可） 【答案】①④/④① 【分析】根据组合后的几何体是长方体且有6个小正方体构成直接判断即可． 解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小立方块搭成，所以，应选择①④， 故答案为：①④． 【点拨】本题考查了立体图形的拼搭，根据题意发挥空间想象能力是解题的关键． 【题型2】立体图形的分类 【例2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．    柱体：___________________________ 锥体：___________________________ 球体：___________________________（填序号） 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 解：柱体为：①②⑤⑦⑧； 锥体为：④⑥； 球体为：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【点拨】本题主要考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，几何体的分类，棱柱的定义。有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 根据棱柱的定义判定即可． 解：从左到右依次是长方体，圆柱，四棱柱，棱锥，圆锥，三棱柱． 所以属于棱柱有长方体，四棱柱，三棱柱，共3个． 故选：C． 【变式2】（2021七年级上·全国·专题练习）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、 、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无 划分； （3）从顶点方面，按有无 划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点拨】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 【题型3】几何体中的点、线、面、棱及其关系 【例3】（20-21七年级上·全国·单元测试）如图①、②、③、④四个图形都是平面图形，观察图②和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． （1）数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少区域，将结果填入下表： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数（V） 边数（E） 区域数（F） （2）根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系； （3）如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数． 【答案】（1）见表格解析；（2）V＋F＝E＋1；（3）30. 【分析】（1）根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得出结果； （2）根据表（1）数据总结出归律； （3）根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数． 解：（1）结和图形我们可以得出： 图①有4个顶点、6条边、这些边围成3个区域； 图②有7个顶点、9条边、这些边围成3个区域； 图③有8个顶点、12条边、这些边围成5个区域； 图④有10个顶点、15条边、这些边围成6区域． （2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：V+F=E+1； （3）把V=20，F=11代入上式得：E=V+F﹣1=20+11﹣1=30．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30． 【点拨】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． 【变式1】（23-24七年级上·河南许昌·期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 解：（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 【题型4】平面图形的旋转所得到的几何体 【例4】（23-24七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球． 解：如图所示： 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是______立方厘米．（    ） A．37.68 B．50.24 C．78.5 D．628 【答案】B 【分析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式；通过观察图形可知，以直角三角形的一条直角边（3厘米）为轴旋转一周，得到圆锥的体积最大；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答； 解： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积最大是50.24立方厘米； 故选：B 【变式2】（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，将此长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查点、线、面、体 ，由平面图形旋转后所得的立体图形为圆柱，利用圆柱的侧面展开图为长方形求解即可． 解：根据题意，此长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体为圆柱，它的底面半径为，高为， ∵该圆柱的侧面展开图为长方形， ∴得到的几何体的侧面积是， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat  surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 【答案】（1）表格详见解析；（2） 【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）从特殊到一般探究规律即可． 解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：． 【点拨】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型． 【例2】（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·广东河源·期中）下面表述错误的一项是（　　） A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点 B．一个长方体可能有2个面是正方形 C．一个长方体只有4条高 D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等 【答案】C 【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答． 解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确； B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确； C.一个长方体有无数条高，C选项错误； D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键． 【例2】（20-21七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 图2 图3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2020 【分析】（1）根据图形数出即可．（2）根据（1）中结果得出．（3）代入求出即可． 解：（1） 面数（） 顶点数（） 棱数（） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 （2）猜想：； （3），， ， ， 即它的面数是2020． 【点拨】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$