精品解析：四川省成都市龙泉驿区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度（下）期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 （ ）． A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 6. 如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为亩地，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：_____ 10. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 11. 当 x =__________时，分式的值是 0． 12. 如图，在中，为对角线的中垂线，交，于，．已知的周长为5，则的周长为______． 13. 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解下列各题 （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题： （1）将向左平移7个单位，得到，画出图形； （2）将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； （3）直接写出的长度． 17. 如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，求的周长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； （3）在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，，则的值为___________． 20. 若方程有增根，则______． 21. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为______． 22. 如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______． 23. 如图，中，，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，则______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． （1）求每个足球和每个篮球的价格； （2）学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 25. 某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： （1）劳动菜园的面积为______； （2）如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； （3）数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 26. 轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系． 【初步感知】 （1）如图1，四边形中，，平分，求证：． ①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接； ②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）期末考试 八年级数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上，并检查条形码信息．考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、∴，故不符合题意； B、∴，故不符合题意； C、∴，故不符合题意； D、∴，故符合题意； 故选：D． 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个多项式化为几个整式积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：是单项式，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 符合因式分解的定义，则C符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判定即可． 本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据平行四边形的判定定理，得 A. ，，是平行四边形，不符合题意； B. ，，是平行四边形，不符合题意； C. ，，不是平行四边形，符合题意； D. ，，是平行四边形，不符合题意； 故选C． 5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 （ ）． A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，若， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分． 6. 如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移问题．根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得：的长表示平移的距离， ∵，， ∴平移的距离是． 故选：D 7. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数与一元一次不等式的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，找出直线在直线下方时的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以不等式的解集是：． 故选：A 8. 某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植的面积为亩地，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前2天完成任务”，列出分式方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 由题意得：， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 10. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 11. 当 x =__________时，分式的值是 0． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式的值等于零的条件，列出方程和不等式，即可得到答案． 【详解】∵=0， ∴，且， ∴x=-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要考查分式等于零的条件，掌握分式的值等于零，则分子等于零，分母不等于零，是解题的关键． 12. 如图，在中，为对角线的中垂线，交，于，．已知的周长为5，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出的周长，即可得出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 的垂直平分线分别交、于点、， ， 的周长， 的周长， 故答案为：10． 13. 如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由图可得到点的纵坐标是如何变化的，让的纵坐标也做相应变化即可得到的值；看点的横坐标是如何变化的，让的横坐标也做相应变化即可得到的值，相加即可得到所求． 【详解】解：由题意可知：；； ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解下列各题 （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2）原分式方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出答案． 【小问1详解】 解： 解不等式得：； 解不等式得：． 所以，原不等式组的解集为． 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 经检验，为原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，，按要求解答问题： （1）将向左平移7个单位，得到，画出图形； （2）将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出图形； （3）直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，勾股定理，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作， ； 【小问2详解】 解：如图：即为所作， ； 【小问3详解】 解：由勾股定理得：． 17. 如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点为在第一象限上的动点，且满足，求点横坐标的取值范围； （3）在平面内，是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出草图，并直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，点坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意得，点坐标为，其中，先求出点坐标，得到，即可得，得到，又可得，最后根据即可求解； （）设，分三种情况：①为平行四边形对角线；②为平行四边形对角线；③为平行四边形对角线；画出图形，结合平行四边形的性质及中点坐标公式解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 将点，代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，点坐标为，其中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，如图所示， 设， ①当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ②当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； ③当为平行四边形对角线时， ， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可. 【详解】解： ，， 可得：原式． 20. 若方程有增根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先解分式方程得出，再由原分式方程有增根得出，从而得出，计算即可得解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵方程有增根， ∴，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 21. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了跟一元一次不等式组的解的情况求参数，分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组无解即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 22. 如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 23. 如图，中，，，，点是边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，含30度的直角三角形的三边关系，勾股定理，全等三角形的性质与判定等相关知识，得出三角形全等是解题关键．取的中点，连接，，在中，，，，可得，，由点是的中点，可得三角形是等边三角形，，所以，；设，则，，在中，利用勾股定理可得，，解之即可得出结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 在中，，，， ，， 点是的中点， ， 是等边三角形， ， 由旋转可知，，， ， ， ， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买篮球和足球用于“特色球类”活动．已知一个足球比一个篮球少元，且用元购买足球的数量和用元购买篮球的数量相等． （1）求每个足球和每个篮球的价格； （2）学校计划采购足球和篮球共个，且足球的数量不超过篮球数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买足球多少个？资金总额最少为多少元？ 【答案】（1）每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元 （2）最多购买足球个，资金总额最少为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和分式方程的应用，熟练掌握分式方程、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为元，写出关于的函数，根据该函数的增减性，确定当取何值时取最小值，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格是元，则每个篮球的价格是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的根，且满足题意， ， ∴每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元； 【小问2详解】 解：设购买足球个，则购买篮球个， 根据题意，得， 解得， 设花费的资金总额为元，则， ， 随的增大而减小， 且为整数， 当时，取最小值，， 要想花费的资金总额最少，则最多购买足球个，资金总额最少为元． 25. 某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： （1）劳动菜园的面积为______； （2）如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积； （3）数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，适当添加辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，在中，过点B作于点H，求出，得到，即可得到答案； （2）连接，证明，由得到，即可得到答案； （3）构造平行四边形，连接，过E作于F．证明四边形为平行四边形，证明，则点D到的距离等于点B到的距离，，由（1）可知，点D到的距离等于8，则，在中，，则，当A，M，E三点共线时，，此时取最小值．进一步利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，过点B作于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴公园的面积为； 【小问2详解】 连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴种植草莓区域的面积为． 【小问3详解】 构造平行四边形，连接，过E作于F． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离等于点B到的距离， 由（1）可知，点D到的距离等于8， ∵， ∴， 在中，， ∴， 当A，M，E三点共线时，，此时取最小值． ∴在中，， 由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 26. 轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系． 【初步感知】 （1）如图1，四边形中，，平分，求证：． ①如图2，小明同学想到了翻折，给出如下解题思路：在上截取，连接； ②如图3，小丽同学想到了翻折，给出了如下解题思路：延长线段到点，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 （2）如图4，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，若平分，，请求出线段的长度． 【答案】（1）证明： 小丽方法： 如图，延长线段到点，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 小明方法： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）线段的长度是 【解析】 【分析】（1）小丽方法：延长线段到点，使，连接，证明，得出，进而即可解决问题；小明方法：在上截取，连接，证明，得出，，进而即可解决问题； （2）作交的延长线于点，证明，得出，然后根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （3）延长交于，过作于．证明，得出，再结合（2）中的结论即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：线段的长度是， 理由：延长交于，过作于． ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， 在中，，， ∴， 根据（2）中的结论可得： ． ∴线段的长度是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解决本题的关键是准确地作出辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $