精品解析：福建省三明市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷

三明市2023—2024学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（非选择题 共92分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 2. 某校高一、高二、高三年级学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ） A. 32 B. 40 C. 64 D. 72 3. 如图，是水平放置的 在斜二测画法下的直观图. 若 ，，则 的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ） A. 都是蓝球 B. 都是黄球 C. 恰有一个蓝球 D. 至少有一个蓝球 5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 6. 福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量 ，若 ，则 B. 已知非零向量，“”是“ ”的充要条件 C. 若 是直线 上不同三点，点在直线 外，，那么 D. 已知非零向量，“”是“夹角为锐角”必要不充分条件 10. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 11. 如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ） A B. 的内切圆的半径为 C. 与夹角的余弦值为 D. 过点作直线交线段和于点，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，且 与 互相垂直. 则向量在向量上的投影向量的坐标为_________________. 13. 从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为_________________. 14. 某校高一年段成立了两个数学培优班，班10人，班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，班的平均成绩为135分，方差为105，班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 16. 5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求 和 的值； （2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . （1）求 和 的值； （2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 ，其中 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面 ，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. ”已知在直四棱柱中，底面为菱形.. （角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （2）若四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面的夹角的正弦值； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明市2023—2024学年第二学期普通高中期末质量检测 高一数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（非选择题 共92分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 ，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】先进行化简，后根据实部虚部概念，模长公式，共轭复数概念解题即可. 【详解】,则的实部为 ，虚部为，，. 故选：C． 2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ） A. 32 B. 40 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意得从高三年级抽取的学生人数为 . 故选：B 3. 如图，是水平放置的 在斜二测画法下的直观图. 若 ，，则 的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法作图规则，将直观图还原为，即可求解. 【详解】由题意，在斜二测画法下的直观图中, 则在平面直角坐标系下，, 所以的面积为. 故选：B. 4. 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（ ） A. 都是蓝球 B. 都是黄球 C. 恰有一个蓝球 D. 至少有一个蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可. 【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”， 所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”. 故选：A 5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 6. 福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以 故选：D. 7. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体. 如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． 在中，余弦定理知道，, 则直线 与 所成角的余弦值为. 故选：C． 8. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球， 所以摸到白球和红球的概率都为， 所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为， 因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为， 所以问题1回答为是的人数约为人， 所以问题2回答为是的人数约为人， 所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量 ，若 ，则 B. 已知非零向量，“”是“ ”的充要条件 C. 若 是直线 上不同的三点，点在直线 外，，那么 D. 已知非零向量，“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，由由数量积的定义分析判断，对于C，将用表示，然后由三点共线可求出，对于D，由数量积的定义结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，而与不一定平行，所以A错误， 对于B，当时，，而当时，， 因为为非零向量，所以， 因为，所以，所以， 所以“”是“ ”充要条件，所以B正确， 对于C，由，得 ， 所以， 若，则，则在直线上，不合题意，所以， 所以， 因为是直线 上不同的三点，点在直线外， 所以，即，得，所以C错误， 对于D，为非零向量，若夹角为锐角，则， 而当时，则，所以， 因为，所以或为锐角， 所以“”是“夹角为锐角”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：BD 10. 如图，在棱长为4的正方体 中，为 的中点，为 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥 外接球的体积为 D. 二面角 的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可以判断A，线面平行的判断定理可以判断A，构造长方体，求出外接球半径，从而可判断C，作出所求二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，从而可以判断D. 【详解】对于A，在正方体 中，，所以四点共面，所以直线 与 不是异面直线，故A错误； 对于B，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，又为 的中点，为 的中点，所以，又，所以，故B正确； 对于C，在正方体 中，分别在上取中点，并依次连接，易知四棱柱为长方体，三棱锥 的外接球就是长方体的外接球，且外接球的直径为长方体体对角线的长， 又长方体体对角线长度为：， 所以外接球的半径为3，所以三棱锥 的外接球的体积为，故C正确； 对于D，连接，交于点O，在正方体 中，易知点O为的中点，连接EO，FO，因为都是等腰三角形，所以，所以为二面角 的平面角， 又， 所以由余弦定理可得，,故D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为、相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的内切圆的半径为 C. 与夹角的余弦值为 D. 过点作直线交线段和于点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理求解即可；对于B，运用等面积法可解；对于C，建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可；对于D，设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可. 【详解】对于A，在中，且，， 由余弦定理得，解得，(负根舍去)，则A正确； 对于B，设的内切圆的半径为， 则，即， 即，解得，故B错误； 对于C，如图所示， 以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，设， 由两点间距离公式得，， 解得，，(负根舍去)， 故，由中点坐标公式得，， 故，，设与的夹角为， 故，故C正确； 对于D，易知由于边上的中点为，边上的中点为， 而是两条中线的交点，故是的重心，所以， 设，，， 由于在直线上，所以，即， 而，所以，， 故得，， 所以，， 故得， 则 ， 由于， 则，则D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，求出范围，进而求出数量积的范围即可， 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 ，且 与 互相垂直. 则向量在向量上的投影向量的坐标为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量的意义求解即得. 【详解】由，与 互相垂直，得，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 13. 从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为_________________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】取到线段为1时，，无法构成三角形，其他情况利用最大角的余弦值判断出三角形的形状，得到概率. 【详解】当取到线段为1时，，无法构成三角形， 当取到线段为3时，最大角的余弦值为，此时三角形为钝角三角形， 当取到线段为6时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 当取到线段为9时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 当取到线段为10时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 故能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为. 故答案为： 14. 某校高一年段成立了两个数学培优班，班10人，班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，班的平均成绩为135分，方差为105，班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为_____________________. 【答案】270 【解析】 【分析】求出全体学生的平均数，利用方程公式计算可得答案. 【详解】全体学生的平均数为， 则在这次测试中两个培优班全体学生方差 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若 为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量加减，数量积的坐标运算计算即可； （2）运用模长公式两边平方，结合数量积转化为对任意的实数 恒成立，再用二次函数中根的判别式来解决恒成立问题，转化为．最后借助余弦函数的性质得到角度范围即可. 【小问1详解】 因为 所以 ，，； 【小问2详解】 是单位向量，设的夹角为 ， 由 得：， 所以 ，即， 即 对任意的实数 恒成立， 则 ，解得：， 又因为 ，函数 在 上单调递减， 因此 ． 所以向量 的夹角的取值范围是 . 16. 5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求 和 值； （2）估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 【答案】（1）， （2） （3）84分 【解析】 【分析】（1）第三、四、五组频率之和为0.7，求，根据总频率之和为1，求出b； （2）运用中点值代表该组数据，运用平均值求法求出即可； （3）找出频率0.93对应分数，或者93%分位数即可. 【小问1详解】 由题图可知组距为10，因为第三、四、五组频率之和为0.7， 所以 ，所以 ， 所以 ，解得. 【小问2详解】 面试成绩平均数估计为 . 【小问3详解】 因为前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 所以频率0.93对应分数落在区间 内， 那么， 解得 ， 所以面试选拔录取率为，至少需要84分. 17. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 18. 目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . （1）求 和 的值； （2）三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由事件的相互独立性及互斥事件的概率公式列方程组求解； (2)根据独立事件乘法公式及互斥事件的求和公式结合条件即得． 【小问1详解】 解：设事件 “雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”， “雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”， 由于每场比赛结果互不影响，所以 ， ， 由题意可得 ，即，解得或， 因为 ，所以 ． 【小问2详解】 设事件 “‘雅思组合’胜‘肉丁组合’ 场”， 事件 “‘凤凰组合’胜‘肉丁组合’ 场”，， 事件 “‘雅思组合’比‘凤凰组合’战胜‘肉丁组合’的次数多” 所以 ， ， 所以 ， 所以“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率 ． 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 ，其中 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面 ，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. ”已知在直四棱柱中，底面为菱形.. （角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （2）若四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面的夹角的正弦值； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得到菱形为正方形，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （2）根据四棱柱在顶点处的离散曲率为，求得，结合立体几何知识，求得与平面的夹角为，在中求解即可； （3）根据四面体在点处的离散曲率为求得，再结合立体几何知识，证得平面，用等体积法求三棱锥的体积，求得，即可得证. 【小问1详解】 若，则菱形为正方形，即， 因为平面平面，所以， 所以直四棱柱，在顶点处的离散曲率为. 【小问2详解】 因为平面平面，所以， 直四棱柱在顶点处的离散曲率为， 则，即是等边三角形， 为菱形，又直四棱柱， 平面平面，， 又平面，平面， 设，则即为与平面所成的角， 在中，， ，所以与平面的夹角的正弦值为. 【小问3详解】 在四面体中， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以，所以为等边三角形，所以， 又在中，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面 平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 平面平面，， 又平面，平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 是三棱锥的高，设正方体的棱长为， ， ， ， . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分理解离散曲率的定义，从而结合立体几何的知识求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$