专题10复数及其应用（4知识点+2重难点+6技巧+3易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题10 复数及其应用 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|， 即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点2 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 知识点3 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）． 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2) ． （2）·z＝|z|2＝||2． （3）若z为虚数，则|z|2≠z2． （4）(1±i)2＝±2i． （4）＝i；＝－i． （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i． 知识点4 复数的三角形式 1、复数的辅角 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角． （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的． 2、复数的三角形式及运算 （1）定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． （2）复数乘法运算的三角表示：已知，， 则． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和． （3）复数除法运算的三角表示：已知， 则． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差． 重难点01 与复数有关的最值问题 求复数模的范围与最值问题的解题策略 （1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决； （2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答； （3）利用三角函数解决． 【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 重难点02 共轭复数与复数运算的综合问题 共轭复数问题的求解技巧： 1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算． 2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解． 【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线 一、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（    ） A． B． C． D． 二、求复数标准代数式形式的两种方法 1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式； 2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部． 【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，，则（    ） A． B．2 C．-2 D． 三、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 四、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．i 【典例2】（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 五、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 六、复数的三角表示 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等． 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（    ） A．复数的三角形式为 B．当，时， C．当，时， D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件 点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0． 【典例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．1 D． 易错点2 错误的理解复数比大小 点拨：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于． 【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 . 易错点3 错误的惯性思维理解复数的模 点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用． 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知是虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 复数及其应用 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b． 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|， 即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点2 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量． 知识点3 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则 （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）． 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2) ． （2）·z＝|z|2＝||2． （3）若z为虚数，则|z|2≠z2． （4）(1±i)2＝±2i． （4）＝i；＝－i． （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i． 知识点4 复数的三角形式 1、复数的辅角 （1）辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角． （2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的． 2、复数的三角形式及运算 （1）定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． （2）复数乘法运算的三角表示：已知，， 则． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和． （3）复数除法运算的三角表示：已知， 则． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差． 重难点01 与复数有关的最值问题 求复数模的范围与最值问题的解题策略 （1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决； （2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答； （3）利用三角函数解决． 【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】若复数z满足， 则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中， 所以的最小值为.故选：B. 【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】设，而，所以，即， 所以， 等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为.故选：A. 重难点02 共轭复数与复数运算的综合问题 共轭复数问题的求解技巧： 1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算． 2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解． 【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设复数，可得 因为复数z满足，可得，则， 可得且， 由时，可得或， 当时，可得，此时；当时，方程，无解； 对于A中，当，可得，可得； 当，可得，可得，所以A正确； 对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确； 对于C中，当，可得，可得，所以C不正确； 对于D中，当，可得，可得，则； 当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD. 【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线 【答案】ACD 【解析】对于A，设，，故成立，故A正确， 对于B，设，，则满足，但，故B错误， 对于C，设，，则，， 故，， 解得，，则，故C正确， 对于D，设，因为，， ，所以， 化简得，故在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD. 一、复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设，根据题意，可得， 化简为， 根据复数相等，得，解得， 所以，即复数z的虚部是3.故选：C 【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A项中，，故A正确； B项中，，故B错误； C项中，，故C正确； D项中，，故D错误.故选：AC. 二、求复数标准代数式形式的两种方法 1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式； 2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部． 【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设且，则， 因为，所以,解得：，则的虚部为.故选：C 【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，，则（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】B 【解析】设复数，， 由，得，解得，， ∴，∴.故选：B． 三、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为复数，对应的向量分别是，， 所以，， 所以， 所以复数对应的点为，位于第四象限.故选：D 【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 因为， 则，解得或， 又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知， 可知，所以. 故答案为：. 四、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1． 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i． 【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以.故选：A 【典例2】（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 所以，所以， 所以，所以的共轭复数的虚部是.故选：D. 五、复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知是方程的根，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由题意，得，即， 所以，且，解得， 所以.故选：A. 【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】方程的两根分别为和，且，， 所以不妨设，， ，所以，故错误； ，故正确； ，故正确； ，， 所以，故错误.故选：. 六、复数的三角表示 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等． 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（    ） A．复数的三角形式为 B．当，时， C．当，时， D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】复数的三角形式为，故错误； 当，时，， 因为，， 所以，故正确； 当，时，， ，故正确； 当，时，， ， 若为纯虚数，则，则，所以，， 虽然，是偶数，但是偶数还有，的形式的数， 所以“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件，故错误.故选：. 【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取，故选：D 易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件 点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0． 【典例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【解析】由已知，复数为纯虚数， 所以得.故选：A. 【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】， 因为是纯虚数，所以，解得.故选：C. 易错点2 错误的理解复数比大小 点拨：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于． 【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（    ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】A 【解析】因为复数在复平面上对应的点为，所以， 因为， 因为为实数，得.故选：A. 【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】,, ,, 都是实数，且, ,解得, 即实数的取值范围为 故答案为： 易错点3 错误的惯性思维理解复数的模 点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用． 【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知是虚数单位，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，设，显然，但，故A错； 对于B，设，则， ， ，所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对.故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$