2.3.4绝对值与相反数：绝对值的非负性、绝对值的几何意义与最值问题（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

2.3.4 绝对值与相反数： 绝对值的非负性、 绝对值的几何意义与最值问题 题型一 绝对值的非负性 1．下列结论中，正确的是　　 A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非正数 D．一定是负数 2．若式子有最小值，则该最小值为　　． 3．当　　时，会有最小值，且最小值是　　． 4．已知，那么　　，　　． 5．已知有理数，，满足等式，则的值是　　． 题型二 绝对值的几何意义 1．符合的整数的值有　　 A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 2．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　　； （2）若，则　 　； （3）请你找出所有符合条件的整数，使得． 题型三 绝对值的最值问题 1．已知表示数轴上某一点到原点的距离，表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数的点的距离．设，则下面四个结论中正确的是　　 A．没有最小值 B．有限个（不止一个）使取最小值 C．只有一个使取最小值 D．有无穷个使取最小值 2．设，其中，则的最小值为　　． 3．设，，，则的最小值为　　． 4．的最小值　　． 5．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求　　； （2）找出所有符合条件的整数，使得； （3）对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 6．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　，数轴上表示15和的两点之间的距离是　　； （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是　　，如果，那么是　　； （3）式子的最小值是　　． 1．若、、均为整数，且，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2．若与互为相反数，则的值为　　． 3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题： （1）有理数、、在数轴上的位置如图，化简：； （2）请你找出所有符合条件的整数，使得； （3）若、为非负整数，且，求、的值． 4．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为　　； ②的最小值为　　． 5．综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，值为5．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离的值是　　，数轴上表示与的两点之间的距离可记作　　，如果这两点之间的距离为3，那么　　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.4 绝对值与相反数： 绝对值的非负性、 绝对值的几何意义与最值问题 题型一 绝对值的非负性 1．下列结论中，正确的是　　 A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是非正数 D．一定是负数 【详解】解：由非负数的性质可知：，， 一定是非正数． 故本题选：． 2．若式子有最小值，则该最小值为　　． 【详解】解：， ， 有最小值，最小值为． 故本题答案为：． 3．当　　时，会有最小值，且最小值是　　． 【详解】解：， 当时，会有最小值， 当时，会有最小值，且最小值是5． 故本题答案为：1，5． 4．已知，那么　　，　　． 【详解】解：由题意可得：，，解得：，． 故本题答案为：2，． 5．已知有理数，，满足等式，则的值是　　． 【详解】解：， ，，，解得：，，， ． 故本题答案为：2． 题型二 绝对值的几何意义 1．符合的整数的值有　　 A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【详解】解：表示到点和3的距离之和为8， ， 又为整数， 符合条件的的值有：，，，，，0，1，2，3，共9个． 故本题选：． 2．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求　　； （2）若，则　 　； （3）请你找出所有符合条件的整数，使得． 【详解】解：（1）由题意可知：表示4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6， 原式， 故本题答案为：6； （2）由题意可知：|-2|表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5， 或， 故本题答案为：7或； （3）由题意可知：表示数到1和的距离之和， ， 或或0或1． 题型三 绝对值的最值问题 1．已知表示数轴上某一点到原点的距离，表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数的点的距离．设，则下面四个结论中正确的是　　 A．没有最小值 B．有限个（不止一个）使取最小值 C．只有一个使取最小值 D．有无穷个使取最小值 【详解】解：由题意可知：表示数轴上某一点到表示数1与-1的点的距离之和， -1≤≤1时，都能取到最小值2， 有无穷个使取最小值． 故本题选：． 2．设，其中，则的最小值为　　． 【详解】解：，其中， ， 当时，的值最小，最小值为． 故本题答案为：20． 3．设，，，则的最小值为　　． 【详解】解：由题意可知：==(|+3|+|-1|)+(|+1|+|-1|)， 表示到与1、与1两部分距离之和， 当在和1之间时，这两部分距离之和最小，最小值为4+2=6． 故本题答案为：6． 4．的最小值　　． 【详解】解：， 表示到1与5、2与4、3三部分距离之和， 当时，这三部分距离之和最小，最小值为4+0+2=6． 故本题答案为6． 5．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求　　； （2）找出所有符合条件的整数，使得； （3）对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【详解】解：（1）， 故本题答案为：7； （2）可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 6．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　，数轴上表示15和的两点之间的距离是　　； （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是　　，如果，那么是　　； （3）式子的最小值是　　． 【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示15和的两点之间的距离是， 故本题答案为：3，15，45； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是， ， 为1或， 故本题答案为：，1或． （3）表示数轴上一点到，2与3距离之和， 当在和3之间的2时，距离之和最小，最小值是4． 故本题答案为：4． 1．若、、均为整数，且，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故本题选：． 2．若与互为相反数，则的值为　　． 【详解】解：与互为相反数， ， ，，解得：，， ． 故本题答案为：． 3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题： （1）有理数、、在数轴上的位置如图，化简：； （2）请你找出所有符合条件的整数，使得； （3）若、为非负整数，且，求、的值． 【详解】解：（1）由题意可得：， ； （2）①当时，， ，解得：， ②当时，， ，，不成立， ③当时，， ，，不成立， ④当时，， ，解得：， 综上，或时，； （3）， ，， 在2到6之间，在-2到1之间， 、为非负整数， 或8，或1． 4．对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）和5关于2的“美好关联数”为　　； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； （3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，，和关于41的“美好关联数”为1，． ①的最小值为　　； ②的最小值为　　． 【详解】解：（1）， 故本题答案为：8； （2）和2关于3的“美好关联数”为4， ， ，解得：或； （3）①和关于1的“美好关联数”为1， ， 在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 只有当，时，有最小值1， 故本题答案为：1； ②由题意可知： ，的最小值， ，的最小值， ，的最小值， ，的最小值， ， ，的最小值， 的最小值： ， 故本题答案为：820． 5．综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，值为5．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离的值是　　，数轴上表示与的两点之间的距离可记作　　，如果这两点之间的距离为3，那么　　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 【详解】解：（1）， ， 这两点之间的距离为3， 或1， 故本题答案为：5，，或1； （2）（2）可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为3， 符合条件的整数为，0，1，2， 故本题答案为：，，，，，0，1，2； （3）当时，取最小值， 最小值为1011+1010+1009+…+0+…+1009+1010+1011 =2×(1+2+3…1009+1010+1011) =2× =1023132． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$