1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

1.1.3 空间向量的坐标 与空间直角坐标系(1) 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 尝试与发现 如果是空间中的任意 一个向量，怎样在基底 {,,}下分解? 一、单位正交分解与坐标 一般地，如果空间向量的基底{}中，,,都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底； 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解， 而且，如果，则称有序实数组(x,y,z)为向量的坐标，记作，其中，x，y，z都称为的坐标分量 【典型例题一】 例1. 已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分布写出下列空间向量的坐标： (1) p=2e1+3e2+e3 (2) q=-e1+e2-2e3 (3) r=-2e2-e3 (4) 0 解：(1) p=(2,3,1) (2) q=(-1,1,-2) (3) r=(0,-2,-1) (4) 0=(0,0,0) 两个向量相等的充要条件是什么？ 尝试与发现 两个向量 即 若，则= 根据空间向量基本定理，有=，==， 反之也成立 二、空间向量的运算与坐标的关系 1. 2. 3. 类比平面向量的数量积运算，猜测空间向量的数量积运算的坐标公式，并证明。 尝试与发现 两个向量 即 则 =2+ ++ =+ 二、空间向量的运算与坐标的关系 1. 2. 3. 4. + 5. | 6. 【典型例题二】 例2. 已知a=(-2，3，5)，b=(3，-3，2)，求下列空间向量的坐标： (1) a-b (2) 2a+b (3) -5b 解：(1) a-b=(-5,6,3) (2) 2a+b=(-1,3,12) (3) -5b=(-15,15,-10) 【典型例题二】 例3. 已知a=(1，0，1)，b=(2，-2，0)，求<a,b>. 解：因为 a·b=1×2+0×(-2)+1×0=2 |a|=， |b|= 所以 cos<a,b>= 所以 <a,b>=60° 对于两个空间向量， (1)当时，//的充要条件是存在实数，使得 (2)的充要条件是 如果 上述结论怎样用它们的坐标表示？ 尝试与发现 三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 1. // = 当的每一个分量都不为0时，有 // 2. +=0 例4. (1)已知a=(1，-1，1)，b=(x，y，z)，且a//b，求x，y，z所要满足的关系式。 (2)已知c=(-1，-1，1)，d=(2，-2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c，且n⊥d. 【典型例题三】 解:(1)因为a=(1，-1，1)的每一个坐标分量均不为零，因此 a//b ⇔ ⇔ x=-y=z 例4. (1)已知a=(1，-1，1)，b=(x，y，z)，且a//b，求x，y，z所要满足的关系式。 (2)已知c=(-1，-1，1)，d=(2，-2，6)，求一个非零空间向量n，使得n⊥c，且n⊥d. 【典型例题三】 解:(2)设n=(x，y，z) 则n⊥c，且n⊥d. 取z=1，则x=-1，y=2， 可得满足条件的一个非零空间向量n=(-1,2,1) 当堂练习 1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b， q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 A 当堂练习 2．已知a＝(1，5，-2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　) A．－6 B．2 C．6 D．8 C 当堂练习 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若a∥b， 求x，y的值． 解:因为a=(2，4，5)的每一个坐标分量均不为零，因此 a//b ⇔ ⇔ x=6，y=10 课堂小结 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$