专题02 奇偶性解题的八大类型-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题02 奇偶性解题的八大类型 目录 1 2 1.奇偶性加单调性解不等式 2 2.利用奇偶性求解析式 3 3.常见奇函数与奇偶性的运算性质 3 4.奇函数中一个重要的结论 4 5.奇偶性与单调性综合 5 6.从奇偶性到对称性（对称性的判别） 6 7.对称性的综合应用 6 8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转 9 10 1.除此之外，在利用奇偶性和单调性解不等式时，还需注意到下面的问题 若 若 若 2、 复合函数的奇偶性可以从具体解析式入手判断，此处需要注意的是几个常见的对数复合型函数的奇偶 ①.都是奇函数. ②.是奇函数. ③.(且)是偶函数. 3.对数型奇偶性证明通常需从或来完成. 4.与指数有关的复合函数：假设且. ①.为奇函数 ②.为奇函数 ③.可转化为②或③ 5.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称. 代数表示: (1). (2). 6.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1). (2). 7.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称. 8.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称. 1.奇偶性加单调性解不等式 例1．已知函数，则使得成立的的取值范围是______. 例2．已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 2.利用奇偶性求解析式 例3．已知是定义在上的奇函数， 且当时则______. 例4．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3.常见奇函数与奇偶性的运算性质 例5.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则. 例6．若为偶函数，则（ ）． A． B．0 C． D．1 4.奇函数中一个重要的结论 例7.已知函数，，则________. 例8.已知函数，，则（ ） A. B. C. D.4 例9．已知函数，若，则（ ） A． B． C．2024 D．2025 例10．已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 例11.已知函数，且，则_________ 5.奇偶性与单调性综合 例12．已知偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A． B． C． D． 例13．已知是定义在R上的奇函数，且函数图像连续不断，在增函数，则（ ） A． B． C． D． 6.从奇偶性到对称性（对称性的判别） 例14．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 例15．已知函数，当时，，则_____ 例16．若，则 ____ 7.对称性的综合应用 例17.（2023•南关区校级模拟）已知函数定义域为，满足，当时，．若函数的图象与函数的图象的交点为，，，，，，，（其中表示不超过的最大整数），则 A．是偶函数 B． C． D． 例18.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则 A. B. C. D. 例19．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_________ 例20．已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转 例21.已知函数有唯一零点，则 例22．已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若是上的奇函数，且当时，，则当，_______ 3．已知函数是奇函数，则___________ 4．已知函数，且，则__________ 5．已知函数，的最大值为，最小值为，则_________ 6．已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．关于函数有下述四个结论： ①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减 ③的极大值为0 ④有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．若是上的奇函数，且当时，，则当，_______ 10．已知函数，且，则__________ 11．已知函数，的最大值为，最小值为，则_________ 12．已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 13．关于函数有下述四个结论： ①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减 ③的极大值为0 ④有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 14.（2024春•广州期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，2，，，，则称为的“重覆盖函数”． （1）判断是否为，的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如，，，若，为，，的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 奇偶性解题的八大类型 目录 1 2 1.奇偶性加单调性解不等式 2 2.利用奇偶性求解析式 3 3.常见奇函数与奇偶性的运算性质 3 4.奇函数中一个重要的结论 4 5.奇偶性与单调性综合 5 6.从奇偶性到对称性（对称性的判别） 6 7.对称性的综合应用 6 8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转 9 10 1.除此之外，在利用奇偶性和单调性解不等式时，还需注意到下面的问题 若 若 若 2、 复合函数的奇偶性可以从具体解析式入手判断，此处需要注意的是几个常见的对数复合型函数的奇偶 ①.都是奇函数. ②.是奇函数. ③.(且)是偶函数. 3.对数型奇偶性证明通常需从或来完成. 4.与指数有关的复合函数：假设且. ①.为奇函数 ②.为奇函数 ③.可转化为②或③ 5.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称. 代数表示: (1). (2). 6.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：(1). (2). 7.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称. 8.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称. 1.奇偶性加单调性解不等式 类型：已知，求解类似于的不等式. 解法：利用奇偶性转化为：，再利用单调性求解与自变量有关的不等式. 例1．已知函数，则使得成立的的取值范围是______. 【解析】因为，则， 令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到， 又，即为偶函数， 且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，所以时，有，解得.故答案为： 例2．已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【解析】当时，且函数为增函数，当时，则，则，当时，且函数为增函数， 此时，则，所以函数是上的增函数，且为奇函数，则，即为，所以对恒成立， 即对恒成立，当时，，所以，所以实数的取值范围是.故选：D. 2.利用奇偶性求解析式 例3．已知是定义在上的奇函数， 且当时则______. 【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，则，故.故答案为： 例4．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①，所以，所以，②，①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B． 3.常见奇函数与奇偶性的运算性质 例5.（2021新高考1卷）已知函数是偶函数，则. 【解析】由于为奇函数，故要使得为偶，只需另一部分为奇函数即可，根据第一部分基本原理可知：. 例6．若为偶函数，则（ ）． A． B．0 C． D．1 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 4.奇函数中一个重要的结论 若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设 ，则，特别地，. 例7.已知函数，，则________. 【解析】设，由上述讨论可知：所以为奇函数，而， 所以，故. 例8.已知函数，，则（ ） A. B. C. D.4 【解析】设，则是奇函数，，， 因为， 所以 例9．已知函数，若，则（ ） A． B． C．2024 D．2025 【解析】因为， 设函数，则，即是奇函数，又，所以，又，所以.故选：D. 例10．已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为8，则等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】因为，设，则，所以，为R上的奇函数.根据奇函数的性质可知，，所以，所以，.故选：C. 例11.已知函数，且，则_________ 【解析】由，得，构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得，又，因此．故答案为： 5.奇偶性与单调性综合 例12．已知偶函数在上单调递减，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】在上单调递减，故，在R上单调递减，故，在R上单调递增，故，则，且，， 因为，所以，故，因为偶函数在上单调递减，故，由于，所以，即.故选：C 例13．已知是定义在R上的奇函数，且函数图像连续不断，在增函数，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为是定义在R上的奇函数，根据题意可知在定义上是增函数 ，，，根据增函数特性可知. ，，，，根据增函数特性可知. 故选：C 6.从奇偶性到对称性（对称性的判别） 例14．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称， 即函数为偶函数，所以，所以，因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以，所以，故选：A. 例15．已知函数，当时，，则_____ 【解析】由可知，函数的图象关于直线对称，而函数的图象关于直线对称，所以，所以， 所以.故答案为：2 例16．若，则 ____ 【解析】因为，故， ；故答案为：. 7.对称性的综合应用 例17.（2023•南关区校级模拟）已知函数定义域为，满足，当时，．若函数的图象与函数的图象的交点为，，，，，，，（其中表示不超过的最大整数），则 A．是偶函数 B． C． D． 【答案】 【解析】解：对于选项，函数，，又， （1），不是偶函数，故选项错误； 对于选项，函数定义域为，满足， 当时，， 当时，，， 当，时，，， 当时，，， 当，时，， ， 当，，时，函数在，，上递减， 在，，上递增，当，时，取得最大值， 当时，，， 当，时，，， 当，时，，， 因此当，，时，函数， 作出函数，的部分图象，如图所示： 由图象可知，当，，时， 函数，的图象有唯一公共点， ，，， 又满足的整数有2024个，即，故选项正确； 对于选项，显然，，，， ，故选项正确； 对于选项，又， 数列是首项为，公比为的等比数列， ，故选项正确． 故选：． 【点评】考查分段函数的性质，函数与数列的综合，等比数列的定义与通项公式的应用，化归转化思想，数形结合思想，属于难题． 例18.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则 A. B. C. D. 【解析】若两函数的图象分别关于直线轴对称或者关于点中心对称，则函数的图象的所有的交点也都关于直线轴对称或者关于点中心对称.于是均选B. 例19．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_________ 【解析】当时，，则的图象关于对称，不妨设， 如图所示：由图象知：，，所以，，，，所以， ，令， 则.故答案为： 例20．已知函数定义域为，对都有恒成立，且函数的图象关于点中心对称，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】由可得，故在上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，所以的图象关于点中心对称，故为奇函数，，故不等式满足或，所以或，故不等式的解为，故选：A 8.基于奇偶（对称性）的凸凹反转 例21.已知函数有唯一零点，则 【解析】此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，可能就做不出来！注意到的构造，跟偶函数长得很像，所以我们会发现 是关于直线对称的，而也是关于直线对称的，这样的话， ，如此的唯一零点便在处取得，代入可得：. 例22．已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【解析】∵ ∴， 又，则， ∴函数为偶函数，故函数的图象关于对称，∴ 函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称， 又函数有且只有一个零点，∴函数的零点为2，∴，即，∴,∴.故选：C. 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵是定义在上的奇函数，且当 时，，∴当，有，，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数，且满足，∵不等式在恒成立，∴在恒成立，∴在恒成立， ∴，解得，则实数t的取值范围是，故选：C 2．若是上的奇函数，且当时，，则当，_______ 【解析】设，则，所以，因为是上的奇函数，所以，所以，所以，故答案为： 3．已知函数是奇函数，则___________ 【解析】因为，故，因为为奇函数，故，，整理得到，解得.故答案为：1 4．已知函数，且，则__________ 【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为，因为，所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又， 因此.故答案为：2024 5．已知函数，的最大值为，最小值为，则_________ 【解析】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续，根据奇函数的对称性：在上的最大.最小值关于原点对称，则，故.故答案为： 6．已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【解析】是偶函数，，，， ，的周期为2.所以，，又因为，即， 又在上单调递增，则在上单调递增，则在上单调递减，所以，即.故选：D. 7．关于函数有下述四个结论： ①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减 ③的极大值为0 ④有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【解析】函数的定义域为， 对于①，，则， ，的图象关于直线对称，①正确； 对于②，当时，，在单调递增，②不正确； 对于③，当时，，在单调递减， 当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确； 对于④，由得：，即或，解得或， 于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D 8．已知是定义在上的奇函数，且当时，，对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵是定义在上的奇函数，且当 时，，∴当，有，，∴，即，∴，∴在上是单调递增函数，且满足，∵不等式在恒成立，∴在恒成立，∴在恒成立， ∴，解得，则实数t的取值范围是，故选：C 9．若是上的奇函数，且当时，，则当，_______ 【解析】设，则，所以，因为是上的奇函数，所以，所以，所以，故答案为： 例9．已知函数是奇函数，则___________ 【解析】因为，故，因为为奇函数，故，，整理得到，解得.故答案为：1 10．已知函数，且，则__________ 【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为，因为，所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又， 因此.故答案为：2024 11．已知函数，的最大值为，最小值为，则_________ 【解析】令，且， ， 所以为奇函数，且在上连续，根据奇函数的对称性：在上的最大.最小值关于原点对称，则，故.故答案为： 12．已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【解析】是偶函数，，，， ，的周期为2.所以，，又因为，即， 又在上单调递增，则在上单调递增，则在上单调递减，所以，即.故选：D. 13．关于函数有下述四个结论： ①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减 ③的极大值为0 ④有3个零点 其中所有正确结论的编号为（ ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【解析】函数的定义域为， 对于①，，则， ，的图象关于直线对称，①正确； 对于②，当时，，在单调递增，②不正确； 对于③，当时，，在单调递减， 当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确； 对于④，由得：，即或，解得或， 于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D 14.（2024春•广州期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，2，，，，则称为的“重覆盖函数”． （1）判断是否为，的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如，，，若，为，，的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围． 【答案】（1）是，； （2）； （3），． 【解析】解：（1），，，，， 由定义可得，对任意，，恰好存在不同的实数，，，，， 使得，其中，2，，，， 即，，可得，， 所以对于任意，，能找到一个，使得， 所以是的“重覆盖函数”， ； （2）由题意可得的定义域为， 即对任意，存在2个不同的实数，，， 使得（其中，， 因为，则， 所以，即， 即对任意，有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根， 当 时，，符合题意， 当时，，则需满足（1），解得， 当时，抛物线开口向下，，， 若仅有1个根，由可知， 当，时，，所以无解， 则只需，解得， 综上，实数的取值范围是； （3）， 则对于任意，，要有2024个根， ，作出函数的图像，如图： 易知，当，时，， 此时当时，则有， 解得， 要使，有2024个根， 则， 又，则， 故正实数的取值范围，． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题． 　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$