专题01 应用奇偶性解题的八大题型-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题01 应用单调性解题的八大题型 1 1.复合函数单调性问题 1 复合函数单调性的基本概念 1 判断复合函数单调性的步骤 2 2.利用单调性解不等式 2 3.利用单调性求解析式 2 2 1.复合函数单调性问题 2 2.利用单调性解不等式 3 3.利用单调性求解析式 5 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 6 5.已知单调性求参数 7 6.利用单调性之间比较大小 8 7.同构出单调性后比较大小 8 8.利用单调性求函数最值 8 9 1.函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。 2.求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 3.复合函数单调性的基本概念 复合函数是由两个或多个函数通过某种方式（如函数值的代入）组合而成的函数。假设有两个函数 f(x) 和 g(x)，则复合函数 h(x)=f(g(x)) 表示将 g(x) 的值作为 f(x) 的输入。 4.判断复合函数单调性的步骤 确定内层函数 g(x) 的单调性：判断 g(x) 在其定义域内的单调性（增函数或减函数）。 确定外层函数 f(x) 的单调性：判断 f(x) 在其定义域内的单调性（增函数或减函数）。 应用“同增异减”原则： 如果 g(x) 和 f(x) 都是增函数或都是减函数（同增），则复合函数 h(x)=f(g(x)) 是增函数。 如果 g(x) 是增函数而 f(x) 是减函数，或者 g(x) 是减函数而 f(x) 是增函数（异减），则复合数 h(x)=f(g(x)) 是减函数。 5.已知单调性直接求参数 基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然. （1）同构出函数单调性后求参数 （2）分段函数单调性问题要注意 1.复合函数单调性问题 例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.利用单调性解不等式 例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例10．已知，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 3.利用单调性求解析式 例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（    ） A．9 B．15 C．17 D．33 例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________． 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题. 例13．已知正实数满足，则的最小值为___________. 例14．已知实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 5.已知单调性求参数 例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.利用单调性之间比较大小 例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7.同构出单调性后比较大小 例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8.利用单调性求函数最值 例20．已知函数的最小值是－1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 4．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．，， D．，， 5．已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．，， D．，， 6．若函数的最小值是1，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．， 7．已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 8．已知函数在为奇函数，且 （1）求值； （2）判断函数在的单调性，并用定义证明； （3）解关于t的不等式 9．已知函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围． 10．已知函数， （1）若，试用定义法证明：为单调增函数； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 应用单调性解题的八大题型 1 1.复合函数单调性问题 1 复合函数单调性的基本概念 1 判断复合函数单调性的步骤 2 2.利用单调性解不等式 2 3.利用单调性求解析式 2 2 1.复合函数单调性问题 2 2.利用单调性解不等式 3 3.利用单调性求解析式 5 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 6 5.已知单调性求参数 7 6.利用单调性之间比较大小 8 7.同构出单调性后比较大小 8 8.利用单调性求函数最值 8 9 1.函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。 2.求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 3.复合函数单调性的基本概念 复合函数是由两个或多个函数通过某种方式（如函数值的代入）组合而成的函数。假设有两个函数 f(x) 和 g(x)，则复合函数 h(x)=f(g(x)) 表示将 g(x) 的值作为 f(x) 的输入。 4.判断复合函数单调性的步骤 确定内层函数 g(x) 的单调性：判断 g(x) 在其定义域内的单调性（增函数或减函数）。 确定外层函数 f(x) 的单调性：判断 f(x) 在其定义域内的单调性（增函数或减函数）。 应用“同增异减”原则： 如果 g(x) 和 f(x) 都是增函数或都是减函数（同增），则复合函数 h(x)=f(g(x)) 是增函数。 如果 g(x) 是增函数而 f(x) 是减函数，或者 g(x) 是减函数而 f(x) 是增函数（异减），则复合数 h(x)=f(g(x)) 是减函数。 5.已知单调性直接求参数 基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然. （1）同构出函数单调性后求参数 （2）分段函数单调性问题要注意 1.复合函数单调性问题 例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 例2．已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是减函数 C．是偶函数，且在上是增函数 D．是偶函数，且在上是减函数 【解析】由题意可得： 且，由，故是偶函数；当时，，令，在时为单调递增函数，而 是单调递增函数，故函数在时为单调递增函数，故选：C 例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C. 例4．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意在上恒成立且， 又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B 2.利用单调性解不等式 例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数， 且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选:A. 例6．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则，因为，，∴为奇函数， 又因为，由复合函数单调性知为的增函数， ∵，则，∴， ， ∴，解得或，故 故选：D. 例7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【解析】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减， ，，解得：，即不等式的解集为.故选：D. 例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意不相等的实数，恒有， 所以，对任意不相等的实数，恒有，即， 令，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，不妨设，则，所以，，即， 所以，在上单调递减.所以 ，所以不等式的解集为. 故选：D. 例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D. 例10．已知，若，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【解析】因为在上为增函数，所以在上为增函数， 则，解得：，即a的取值范围为， 故选: C. 注：求解函数不等式时，由条件脱去，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 3.利用单调性求解析式 例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（    ） A．9 B．15 C．17 D．33 【解析】因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使 由方程，得，则，所以 设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C 例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________． 【解析】因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且， 解可得，，所以，则．故答案为：． 注：利用单调性求解析式实质是严格单调函数的一一对应关系. 4.利用单调性找出多元变量之间的关系 利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题. 例13．已知正实数满足，则的最小值为___________. 【解析】由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为： 例14．已知实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【解析】由得，令，，在上单调递增，，，，，故当时，取最小值.故选：C. 5.已知单调性求参数 例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C. 例16．命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为命题 在上为增函数，则有，解得，又因为命题Q：在单调增函数，则有，解得，若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选：A. 例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】不等式恒成立，即， 即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得， 同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或， 所以．故选：C. 6.利用单调性之间比较大小 比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 例18．已知定义在上的奇函数满足:当时, ,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】任取，则，所以. 由为定义在上的奇函数，所以，所以， 即在上都有.由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为： 对任意实数恒成立. 结合二次函数图像可得.故选：A. 7.同构出单调性后比较大小 例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】∵，即， 构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且， 则，解得，故不等式的解集为.故选：C. 8.利用单调性求函数最值 例20．已知函数的最小值是－1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，,当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值当时，，在上单调递增，所以在处取得最小值，当时，，在上单调递减， 于题意不符；当时，，在上单调递减， 于题意不符；.故选：C. 1．已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为的对称轴为，又因为在上是单调函数，所以或，解得或，所以m的范围是，故选：D. 2．若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意的，都有，故为增函数.故当时为增函数，故，即.又当时为增函数，且对称轴为，故，即.又当时，，即.综上有.故选：A 3．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【解析】解：根据题意，定义在上的奇函数满足：当时，， 有，且函数在，上为增函数， 又由是奇函数，则函数在，上也是增函数， 故函数在上为增函数， 则不等式等价为对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 若，则不等式等价为，即，不满足条件， 若，则要使对任意实数恒成立，必有， 解可得：，即实数的取值范围是； 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于基础题． 4．已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．，， D．，， 【解析】解：定义在上的奇函数满足：当时，， ，且，即函数在，上为增函数， 是奇函数，函数在，上也是增函数， 即函数在上为增函数， 则不等式等价为对任意实数恒成立 即对任意实数恒成立， 若，则不等式等价为，即，不满足条件．， 若，则要使对任意实数恒成立， 则，即，得， 故选：． 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化是解决本题的关键． 5．已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．，， D．，， 【解析】解：根据题意，是奇函数且在，上单调递增， 则在上也是增函数， 则不等式对任意实数恒成立对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 分析可得， 解可得， 即的取值范围是， 故选：． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将不等式转化为与之间的关系． 6．若函数的最小值是1，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【解析】解：函数， 当时，，函数的最小值为1， 所以时，， 即，可得或， 可得或（不恒成立，舍去）， 故选：． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知，即， ，又，即 （2），且，有 ， 由于，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）因为为奇函数，所以由，得， 又因为函数在区间上单调递增，所以 解得，故，所以实数的取值范围是 8．已知函数在为奇函数，且 （1）求值； （2）判断函数在的单调性，并用定义证明； （3）解关于t的不等式 【解析】（1）在为奇函数，，解得：，       又，解得：，故，经检验满足题设. （2）当时，，     当时函数在为奇函数，由，判断函数在为单调递减，证明：， ， ，，，    ，函数在为单调递减， （3）则，在为奇函数，，又函数在为单调递减， t的不等式的解集为 9．已知函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围． 【分析】分段函数是上的单调递增函数，则每一段均为增函数，且当时，左段函数值不大于右段函数值，进而可得实数的取值范围． 【解析】解：根据函数是上的单调递增函数， 可得：每一段均为增函数，且当时，左端函数值不大于右端函数值， 所以，解得． 故实数的取值范围为，． 【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性，熟练掌握并正确理解分段函数的单调性的实际含义，是解答的关键． 10．已知函数， （1）若，试用定义法证明：为单调增函数； （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）证明：当时，， 当时，， 由于，则，，，则， ，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 【点评】本题考查函数单调性的定义及其判断，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想及推理论证能力，运算求解能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$