精品解析：湖南省益阳市沅江市两校联考2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期八年级期末联考数学 本试卷满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 4. 杨老师将某次数学测试的成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 得分在60～70分的人数最多 B. 人数最少的分数段的频数为4 C. 得分及格（≥60分）有12人 D. 该图数据分组的组距为10 5. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若，，则AC等于(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 6. 已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab > 0，则点M的位置一定在（） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 7. 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 在抛掷一枚硬币的实验中,某小组做了1000次实验,最后出现正面的频率为49.6%,此时出现正面的频数为______ 12. 若将向上平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则______． 13. 若点在第二象限，则a的取值范围是______． 14. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 15. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 16. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式______．①过点；②当时，y随x的增大而增大． 17. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 18. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，在中，，，，平分交于点D，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点对应的点的坐标为，画出； （2）若 绕某一点旋转可以得到（1）中的，直接写出旋转中心的坐标：________； （3）若为中点，在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标：________． 21. 经研究发现，体育锻炼有助于缓解人的紧张情绪，有效改善身体和心理健康状态．为了解某校九年级男生短跑100m的成绩，从中抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩分为“A，B，C，D”四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）　　，　　； （2）请补全折线统计图； （3）扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为　　； （4）学校决定从A等级的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名参加全市中学生100m短跑比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两人中至少有一人被选中的概率． 22. 如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）求的度数． 25. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； （2）求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 26. 如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点， （1）如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：； （2）如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由． （3）如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期八年级期末联考数学 本试卷满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A、B，根据三角形内角和定理可判断C，D，然后可得答案． 【详解】解：A、由可得，是直角三角形； B、当时，设，则，， ∵， ∴，是直角三角形； C、当时，设，则，， 由三角形内角和定理可得， 解得：， ∴，，，不是直角三角形； D、∵，， ∴， ∴，是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 2. 下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A． 绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形重合，是中心对称图形，故该选项符合题意； C． 绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．绕着某一个点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形不重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 若一个正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和，列方程即可求解． 【详解】设多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和及其应用． 4. 杨老师将某次数学测试的成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 得分在60～70分的人数最多 B. 人数最少的分数段的频数为4 C. 得分及格（≥60分）有12人 D. 该图数据分组的组距为10 【答案】D 【解析】 【分析】由频数分布直方图可以得到每一组的频数，组距，然后针对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A.由频数分布直方图可知，70～80分的人数最多，是14人，因此选项A不正确； B.90～100分的人数最少，是2人，因此选项B不正确； C.得分及格的有12＋14＋6＋2＝34人，因此选项C不正确； D.该图数据分组的组距为60﹣50＝10，因此选项D正确； 故选：D． 【点睛】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解组距、频数的意义是正确判断的前提． 5. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若，，则AC等于(　　) A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，再利用直角三角形的性质即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形 在中，， 则 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题关键． 6. 已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab > 0，则点M的位置一定在（） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵ab > 0， ∴a和b同号， ∴点M的位置在第一、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 7. 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向右平移2个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，先求出平移后的解析式为，再把原点坐标代入解析式中求解即可． 【详解】解：由题意得，将直线沿x轴向右平移2个单位后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过原点， ∴， 解得， 故选：A． 8. 如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD=3DC，BD=AC，BC=4DC，AC=2DC，据此即可一一判定． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故B不符合要求； ， 故C不符合要求； ， 故A符合要求； ， ， 故D不符合要求； 故选：． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边是解题的关键． 9. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点…按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，由此得到点的横坐标为，解答即可． 本题考查了坐标的平移，坐标的规律，求和，熟练掌握规律发现求和方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 由此得到点的横坐标为， 设， 故 下式减去上式，得 故横坐标为． 故选：B． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 在抛掷一枚硬币的实验中,某小组做了1000次实验,最后出现正面的频率为49.6%,此时出现正面的频数为______ 【答案】496 【解析】 【分析】用抛掷次数1000乘以频率49.6%即可. 【详解】1000×49.6%=496. 故答案为496. 【点睛】本题考查了频数、频率、数据总数的关系，熟练掌握频率=频数÷总数是解答本题的关键． 12. 若将向上平移4个单位得B，且A与B关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移得到点B的坐标，再根据A与B关于x轴对称得到关于b的方程，求得b的值即可． 【详解】解：∵向上平移4个单位得B， ∴B的坐标是， ∵A与B关于x轴对称， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查平移和关于坐标轴的轴对称，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键． 13. 若点在第二象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系点的特点，列出不等式组即可解答． 【详解】解：∵点（-1，-3a+1）在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，解题的关键是熟知各象限中点的特点． 14. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由、分别是、的中点可知，是的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别为、的中点， 是的中位线， 米， （米）． 故答案为：40． 15. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 16. 请写出符合以下条件的一个函数的解析式______．①过点；②当时，y随x的增大而增大． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性．如果函数为一次函数，由②可知，，再根据①过点，写出一个函数解析式即可． 【详解】解：当该函数为一次函数时， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴可设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 17. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，设为x，根据垂直平分线的性质可得，然后由勾股定理可列出方程，求解即可． 【详解】解：连接，设为x， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质． 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图，在中，，，，平分交于点D，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，过D作于E，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 过D作于E， ∵平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；平移，若点对应的点的坐标为，画出； （2）若 绕某一点旋转可以得到（1）中的，直接写出旋转中心的坐标：________； （3）若为中点，在轴上有一点使得的值最小，直接写出点的坐标：________． 【答案】 如图所示，和，即为所求； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转的对应点A1、B1的位置，然后与点C顺次链接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转中心，然后写出坐标即可； （3）根据最短路径确定最短路径问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为P． 【详解】解： （2）如图，连接，交点即为旋转中心， 所以旋转中心坐标为：； (3)为的中点，则 确定关于轴的对称点 连接交轴于 则P即为所求作的点， 【点睛】本题主要考查图形的旋转，平移，中心对称及最短路径问题． 21. 经研究发现，体育锻炼有助于缓解人的紧张情绪，有效改善身体和心理健康状态．为了解某校九年级男生短跑100m的成绩，从中抽取了部分男生进行测试，并把测试成绩分为“A，B，C，D”四个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）　　，　　； （2）请补全折线统计图； （3）扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为　　； （4）学校决定从A等级的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名参加全市中学生100m短跑比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两人中至少有一人被选中的概率． 【答案】（1）45，15 （2） 补全折线统计图如图所示： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用折线统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的男生人数，用折线统计图中B的人数除以抽取的男生人数再乘以可得，用折线统计图中C的人数除以抽取的男生人数再乘以可得，即可得a，b的值． （2）求出D等级的人数，补全折线统计图即可． （3）用乘以C等级的人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人中至少有一人被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、折线统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：抽取的男生人数为（人）， ∴，， ∴，， 故答案为：45；15， 【小问2详解】 解：D等级的人数为（人）． 【小问3详解】 解：扇形统计图中表示C等级的扇形的圆心角度数为． 故答案为：， 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人被选中的结果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种， ∴甲、乙两人中至少有一人被选中的概率为：． 22. 如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ； 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，再结合已知条件可得结论． 【详解】略 23. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，由勾股定理求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与直线交于点，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图像交点问题，勾股定理及其逆定理的应用： （1）把点点的横坐标代入直线求出点的纵坐标，再把点的坐标代入直线，求出k的值即可； （2）求出点的坐标，过点作轴的垂线，点为垂足，求出，再运用勾股定理逆定理得出是直角三角形即可得出结论 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点，点的横坐标为1， ∴当时， ∴， 把代入得，； 【小问2详解】 解：对于，当时，， 解得，， ∴， ∴； 过点作轴的垂线，点为垂足，如图， ∵， ∴ 在与中： ， ， ， ∴是直角三角形，且为斜边， 所以， 25. 在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； （2）求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 【答案】（1）200，400 （2） （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）根据乙车在A地因故停留1小时，得到乙车用了到达A地所用的时间，用路程除以时间求出速度，再用速度乘以时间得到距离，即可得到结果； （2）先根据所得的条件得到乙车行驶的总时间，设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分三种情况，即甲乙两车相遇且乙车到达A地之后，和乙车过了C地之后，求解即可； 从图像上获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵乙车在A地因故停留1小时， ∴乙车到达A地所用的时间为小时， ∴乙车的速度为：千米/时， ∴A、C两地的距离为：千米， 故答案为：200,400； 【小问2详解】 解：乙车从A地到达B地所用时间为：小时， ∴乙车总时间为：小时， ∵乙车比甲车早1小时到达B地， ∴甲车总时间为：小时， 则甲车的速度为：千米/时， 设甲车从C地到B地过程中函数解析式为，由图像可知，直线经过点， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：设两车出发x小时后，距C地的距离相同， ①乙车到达A地之前，即甲乙相遇之时，两车相向而行，由题意可得： ，解得； ②两车经过小时相遇后，乙车到达A地之后，由题可得： ，解得； ③乙车过了C地之后，与甲车相遇，由题可得： ，解得； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时距C地的距离相同． 26. 如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点， （1）如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：； （2）如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由． （3）如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明见解答过程 （2）点在运动过程中，的长度不变，值为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）连接，证，得，再证，则，即可得出结论； （2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解； （3）过点作，使，连接，过点作，交延长线于，证是等腰直角三角形，得，再证，得，则三点共线时，最短，即最短，然后由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：的长度不变．理由如下： 连接，与相交于点，如图2． ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ， 在和中， ， ∴， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴点在运动过程中，的长度不变，值为； 【小问3详解】 解：过点作，使，连接，过点作，交延长线于，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形，， 在和中， ∴， ∴三点共线时，最短，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $