专题2.1 命题、定理、定义（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题2.1命题、定理、定义 知识点一 命题 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 知识点二 定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 知识点三 定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【特别提醒】　 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题． 题型一 命题的概念 解题技巧提炼 根据可以判断真假的陈述句为命题的定义. 1．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 题型二 判断命题的真假 解题技巧提炼 1.命题真假的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断． 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 2．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足． 6．（21-22高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 7．（22-23高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 8．（24-25高一上·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 9．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 题型三 指出命题的条件和结论 解题技巧提炼 命题的表述方式：（1）若p，则q;(2)如果p,那么q． p是条件，q是结论. 11（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）命题“对顶角相等”的条件是 . 12．（21-22高一·全国·课后作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 13．（2023高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 14．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 题型四 根据命题的真假求参数 解题技巧提炼 1.从给定条件出发，建立关于参数的方程、方程组；不等式、不等式组. 2.将不等式恒成立问题转化为最值问题. 16．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 17．（多选）（21-22高一·全国·期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 18．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 19．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 20．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1命题、定理、定义 知识点一 命题 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 知识点二 定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 知识点三 定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【特别提醒】　 数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题． 题型一 命题的概念 解题技巧提炼 根据可以判断真假的陈述句为命题的定义. 1．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 2．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 4．（22-23高一·江苏·假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)一个数的算术平方根一定是负数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据可以判断真假的陈述句为命题的定义，逐项分析判定即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 题型二 判断命题的真假 解题技巧提炼 1.命题真假的判定方法 真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断． 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 2．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足． 6．（21-22高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 7．（22-23高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 8．（24-25高一上·上海·课后作业）给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过计算判别式判断，对于②，利用不等式的性质判断，对于③，举例判断，对于④，由等式的性质判断. 【详解】对于①，因为当时，，所以方程有实数根，所以①是真命题； 对于②，因为，，所以，所以②是真命题； 对于③，对角线相等的四边形可能是矩形，可能是等腰梯形，也可能是其它四边形，所以③是假命题； 对于④，由，得或，即、中至少有一个为0，所以④为真命题. 故答案为：①②④ 9．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 题型三 指出命题的条件和结论 解题技巧提炼 命题的表述方式：（1）若p，则q;(2)如果p,那么q． p是条件，q是结论. 11（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）命题“对顶角相等”的条件是 . 【答案】两个角是对顶角 【分析】根据命题的概念可知 【详解】命题“对顶角相等”即“若两个角是对顶角，则这两个角相等”；条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 故答案为：两个角是对顶角． 12．（21-22高一·全国·课后作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 【答案】这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 【分析】先将命题改写成“如果…，那么…”，的形式，从而可得命题的结论. 【详解】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”可改写为 “如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直” 故答案为：这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 13．（2023高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 14．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 题型四 根据命题的真假求参数 解题技巧提炼 1.从给定条件出发，建立关于参数的方程、方程组；不等式、不等式组. 2.将不等式恒成立问题转化为最值问题. 16．（21-22高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（    ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意求出的取值范围，判断选项 【详解】由题意得，，解得 故选：D 17．（多选）（21-22高一·全国·期末）已知，如果是假命题，是真命题，则实数可取（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题目条件列不等式计算即可. 【详解】依题意，， ∴， ∴实数的取值范围是， 故选：BC. 18．（21-22高一上·福建泉州·阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】由题意将不等式恒成立问题转化为最值问题，求出的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】由题意“，”是真命题，则恒成立， 设，的最大值为，. 实数的取值范围是. 故答案为： 19．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】分别求出当命题、为真命题时，实数的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 20．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$