专题7.3 三角函数的图象和性质（18大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题7.3 三角函数的图象和性质 知识点一 周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2．最小正周期 条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 3．及周期为周期为，其中为常数，且 知识点二 正弦函数、余弦函数的图象和性质 1.正、余弦函数解析式 正弦函数y＝sinx，定义域R；余弦函数y＝cosx，定义域R 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． (2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是： ①列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． ③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象． 3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示． 4．正弦曲线和余弦曲线的关系 5．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝sinx 图象 定义域 R 当x＝2kπ＋ (k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ－ (k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在[2kπ－,2kπ+]上是增函数； 在[2kπ+,2kπ+]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋ (k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 6．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝cosx 图象 定义域 R 当x＝2kπ(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ＋π(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． 知识点三 正切函数的图象与性质 1.图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． 2.性质：如下表所示. 函数 性质 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 减区间 无 【知识拓展】(1)正切函数图象的对称中心是（，0）(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． 知识点四 函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的常见画法： 1.五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线． 2.变换法： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ． 题型一 求三角函数的周期 解题技巧提炼 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法:及周期为周期为，其中为常数，且 (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法． 1．（21-22高一下·广东茂名·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 题型二 由三角函数周期性求参数及函数值 解题技巧提炼 根据公式法确定周期表达式，建立关于参数的方程，并进一步求函数值（的和）. 3．（2023·宁夏银川·模拟预测）若，（），则（    ） A． B． C．0 D． 4．（21-22高一上·全国·课后作业）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数 的最小正周期为，则 . 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的周期为，则实数的值为 . 7．（20-21高一·江苏·课后作业）若函数f(n)＝sinπ (n∈Z)，求f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)的值． 题型三 “五点法”作三角函数图象 解题技巧提炼 五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线． 8．（23-24高一上·江苏·课后作业）画出函数在长度为一个周期闭区间上的大致图象. 题型四 含“绝对值”三角函数图象 解题技巧提炼 化为分段函数，根据三角函数的图象做出． 9．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    10．（2023高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 11．（2023高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 题型五 确定三角函数的单调区间 解题技巧提炼 求解与三角函数有关的函数的单调区间，主要利用换元法，将其转化为求正弦函数、余弦函数的单调区间，然后利用这两个函数的单调区间构造不等式，通过解不等式(组)即可得到所求函数的单调区间． 12.（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·江苏无锡·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 15．（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 16．（2021高一·江苏·专题练习）使函数与同时为单调递增的区间是 ． 题型六 由三角函数线的单调性求参数 解题技巧提炼 利用换元法，结合三角函数的单调区间，建立不等式（组）. 17．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 18．（多选）（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 题型七 比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 （1）同名三角函数值比较大小，需使应用诱导公式转化成角在函数的同一单调区间；（2）比较不同名三角函数值大小：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．（3）借助于函数的图象. 20．（22-23高一下·江西南昌·期中）若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 题型八 解简单三角不等式 解题技巧提炼 数形结合思想—利用图象解三角不等式． 23．（22-23高一·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围： (1)； (2)； (3)． 题型九 确定函数的定义域 解题技巧提炼 1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x． 2.解复合函数的定义域，往往利用数形结合思想，借助图象（三角函数线）解三角不等式. 解sinx>a(<a),cos x>a(<a),tanx>a(<a)等不等式，基本步骤是：画图像、求界点、定范围、写解集. 24．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 26．（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）函数的定义域为 . 27．（2021高一·江苏·专题练习）函数f(x)＝的定义域为 . 28．（20-21高一·江苏·课后作业）确定下列函数的定义域： （1）；         （2）. 题型十 确定三角函数（相关）的值域、最值 解题技巧提炼 1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解． 2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y． 5.综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解； (2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性． 29．（21-22高一上·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一下·四川眉山·期中）函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 31．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）函数的值域为 . 题型十一 根据函数的值域、最值求参数 解题技巧提炼 从求函数最值、值域入手，建立参数的方程、不等式求解． 32．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 33．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 35．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 题型十二 三角函数的奇偶性 解题技巧提炼 1.判断三角函数奇偶性时，除判断其定义域是否关于原点对称，利用判断函数奇偶性的常用方法，还要注意应用诱导公式，“奇变偶不变”，往往事半功倍． 2．在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 36．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 37．（22-23高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 38.（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）下列各组函数，既是奇函数，又在区间上单调递增的为（    ） A．， B．， C．， D．， 39.（多选）（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（    ） A． B． C． D． 题型十三 根据函数的奇偶性求参数 解题技巧提炼 1.利用函数的奇偶性，求出参数的表达式，然后求解． 2.利用“整体代换”，确定函数值. 40．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 41．（21-22高一上·江苏淮安·期末）已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0<φ<π）是定义在R上的奇函数，则f（2）= ． 42．（21-22高一下·河南焦作·期中）已知函数（，为常实数），且，则 ． 43．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 44．（22-23高一上·江苏连云港·期末）写出一个同时满足下列条件的函数，如 ． ①函数是奇函数；②函数的最小正周期是． 题型十四 三角函数的零点问题 解题技巧提炼 f(x）的零点，就是使f(x）=0的x值． 45．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型十五 三角函数的对称问题 解题技巧提炼 1.求函数图像的对称中心、对称轴，主要利用“公式法”．求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果． 2.对正切函数图象的对称中心要把握准确，是(，0)而非(kπ，0)(k∈Z)． 48．（多选）（22-23高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 49．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为 . 50．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 51.y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为(，0)，若－<θ<，则θ＝____________． 题型十六 三角函数图象变换 解题技巧提炼 1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的． 2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及φ． 52．（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 53．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（   ） A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 54.（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）其中能把函数的图象变为的图象变换是（    ） A．把函数图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度 B．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 C．把函数图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 D．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 题型十七 根据图象确定三角函数的解析式 解题技巧提炼 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ． 55．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 56.（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 57．（21-22高一下·陕西延安·期中）函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（    ）. A． B． C． D． 题型十八 三角函数图象和性质的综合应用 解题技巧提炼 1.代数法 2.数形结合法 58．（多选）（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 59．（多选）（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．一个零点为 D．的图象关于直线对称 60．（多选）（22-23高一下·广东佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 61．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 62．（23-24高一下·北京·期中）在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 63．（20-21高一上·江苏常州·期末）已知函数（，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立， (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调增区间 64．（23-24高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图象如下图，，．    (1)若已知图中点A的横坐标． （ⅰ）求，，的解析式； （ⅱ）若，求x的取值范围； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 三角函数的图象和性质 知识点一 周期函数 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2．最小正周期 条件 周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 3．及周期为周期为，其中为常数，且 知识点二 正弦函数、余弦函数的图象和性质 1.正、余弦函数解析式 正弦函数y＝sinx，定义域R；余弦函数y＝cosx，定义域R 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象． (2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是： ①列表： x 0 π 2π y＝sinx 0 1 0 －1 0 ②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)， (，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． ③用光滑的曲线顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象． 3．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． (2)图象：如图所示． 4．正弦曲线和余弦曲线的关系 5．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝sinx 图象 定义域 R 当x＝2kπ＋ (k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ－ (k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 奇函数 单调性 在[2kπ－,2kπ+]上是增函数； 在[2kπ+,2kπ+]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ＋ (k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值． 6．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示： 解析式 y＝cosx 图象 定义域 R 当x＝2kπ(k∈Z)　时，y取最大值1 值域 [－1，1] 当x＝2kπ＋π(k∈Z)　时，y取最小值1 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 单调性 在[(2kπ－1)π，2kπ]上是增函数； 在[2kπ，(2k＋1)π]上是减函数(k∈Z) 【知识拓展】余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是(kπ＋，0)(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x＝kπ(k∈Z)，所有对称轴垂直于x轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值． 知识点三 正切函数的图象与性质 1.图象：如图所示． 正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线． 2.性质：如下表所示. 函数 性质 y＝tanx 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 减区间 无 【知识拓展】(1)正切函数图象的对称中心是（，0）(k∈Z)，不存在对称轴． (2)直线x＝＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． 知识点四 函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的常见画法： 1.五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线． 2.变换法： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 特别提醒：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即x→x＋，ωx→ωx＋φ． 题型一 求三角函数的周期 解题技巧提炼 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法:及周期为周期为，其中为常数，且 (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法． 1．（21-22高一下·广东茂名·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】通过函数得出，即可求出函数的最小正周期. 【详解】由题意， 在中，， ∴， 故选：D. 2．（21-22高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的周期公式求解判断. 【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确； 故选：D 题型二 由三角函数周期性求参数及函数值 解题技巧提炼 根据公式法确定周期表达式，建立关于参数的方程，并进一步求函数值（的和）. 3．（2023·宁夏银川·模拟预测）若，（），则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】由正切函数的周期求值、由函数的周期性求函数值 【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值． 【详解】是周期为3的周期函数， ，，， ． 故选：B． 4．（21-22高一上·全国·课后作业）设是定义域为R且最小正周期为的函数，且有，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由正弦（型）函数的周期性求值、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】利用给定函数的性质，结合分段函数解析式代入计算作答. 【详解】因为是定义域为R且最小正周期为的函数，且， 所以. 故选：A 5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数 的最小正周期为，则 . 【答案】12 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，依题意可知. 故答案为： 6．（20-21高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的周期为，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】利用即可求解. 【详解】由函数的周期为， 则，解得. 故答案为： 7．（20-21高一·江苏·课后作业）若函数f(n)＝sinπ (n∈Z)，求f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)的值． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据f(n)＝sinπ的特点，结合三角函数的周期性，求出周期，再将f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)转化为f（1）＋f（2）＋…＋f(6)，即可得解. 【详解】因为 f(n)为周期函数，其周期为 ，所以 f(n)＝f(n＋12)． 因为 97＝12×8＋1， …， 102＝12×8＋6， 所以f(97)＋f(98)＋f(99)＋…＋f(102)＝f（1）＋f（2）＋…＋f(6) . 题型三 “五点法”作三角函数图象 解题技巧提炼 五点法：①列表(ωx＋φ通常取0，，π，，2π这五个值)；②描点；③连线． 8．（23-24高一上·江苏·课后作业）画出函数在长度为一个周期闭区间上的大致图象. 【答案】答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】求函数的周期，根据五点法列表，再描点，连线即可得函数图象. 【详解】函数的周期为，列表如下： 故函数在区间上的图象如下图所示：    题型四 含“绝对值”三角函数图象 解题技巧提炼 化为分段函数，根据三角函数的图象做出． 9．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【知识点】画出具体函数图象、五点法画正弦函数的图象、画出正切函数图象 【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 10．（2023高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的变换、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】（1）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （2）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 【详解】（1）， 将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . （2）， 将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . 11．（2023高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【答案】图象见解析 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】分类讨论确定分段函数解析式，结合正弦函数图象可作出函数图象. 【详解】， 的图象如下图所示， 题型五 确定三角函数的单调区间 解题技巧提炼 求解与三角函数有关的函数的单调区间，主要利用换元法，将其转化为求正弦函数、余弦函数的单调区间，然后利用这两个函数的单调区间构造不等式，通过解不等式(组)即可得到所求函数的单调区间． 12.（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、求含tanx的函数的单调性 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B 13．（22-23高一上·江苏无锡·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的周期、求含tanx的函数的单调性、求含cosx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的单调性 【分析】依次判断选项的周期和单调性，即可得到答案． 【详解】选项A，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，翻折后最小正周期为，在区间上单调递增，正确； 选项B，最小正周期为，不合题意，错误； 选项C，即在轴上方的图象保持不变，下方图象沿轴翻折到上方，翻折后最小正周期为，在区间上单调递减，错误； 选项D，最小正周期为，不合题意，错误； 故选：A 14．（22-23高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求sinx的函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 15．（2023·河南·模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用余弦函数的性质求解即可. 【详解】可化为，故单调增区间： ，， 解得，. 令，，令，. ， 所以的单调递增区间是. 故选：D 16．（2021高一·江苏·专题练习）使函数与同时为单调递增的区间是 ． 【答案】和 【知识点】求含cosx的函数的单调性、求含tanx的函数的单调性 【分析】根据正切函数和余弦函数的单调性可得答案. 【详解】解：因为的单调递增区间为， 的单调递增区间为， 所以y＝2tan x与y＝cos x同时为单调递增的区间为(2kπ－，2kπ)(k∈Z)和(2kπ＋π，2kπ＋)(k∈Z)． 故答案为：和. 题型六 由三角函数线的单调性求参数 解题技巧提炼 利用换元法，结合三角函数的单调区间，建立不等式（组）. 17．（2023·山东烟台·二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 且函数在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 18．（多选）（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据函数的单调性列出不等式求出的取值范围即可求解. 【详解】因为，所以，所以根据余弦函数的性质可得函数在上的单调递减， 由于函数与函数在上的单调性相同， 所以函数在上单调递减， 所以解得， 当时，，B满足， 当时，，C满足， 故选:BC. 19．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为 . 【答案】/0.75 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据函数图象过的点，求出，再结合函数的单调性推出，二者联立即可确定答案. 【详解】由题意知函数（）的图象过点， 故，则， 故， 又在区间上单调递增，则， 解得，结合，， 可得时，， 故答案为： 题型七 比较三角函数值的大小 解题技巧提炼 （1）同名三角函数值比较大小，需使应用诱导公式转化成角在函数的同一单调区间；（2）比较不同名三角函数值大小：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．（3）借助于函数的图象. 20．（22-23高一下·江西南昌·期中）若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序. 【详解】当时，，， 则，则 故选：C 21．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较正弦值的大小、比较余弦值的大小、比较正切值的大小 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性比较即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 在单调递增， 所以，，， 所以. 故选：D 22．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期末）下列不等关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】比较正切值的大小、比较余弦值的大小、比较正弦值的大小、弧度的概念 【分析】结合弧度制，判断各选项中各角的范围，结合正余弦函数以及正切函数的单调性，结合特殊角的函数值，比较大小，即可得答案. 【详解】对于A，，故， 故，A正确； 对于B，，则， 则，B正确； 对于C，，故， 故，C错误； 对于D，，则， 故，D正确， 故选：ABD 题型八 解简单三角不等式 解题技巧提炼 数形结合思想—利用图象解三角不等式． 23．（22-23高一·全国·随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【知识点】解正弦不等式、解余弦不等式、解正切不等式 【分析】（1）（2）（3）利用正切函数、余弦函数、正弦函数的图象即可求解. 【详解】（1）作出正切函数在上的图象，如图：    由图象可知，当时，. （2）作出余弦函数的图象，如图：    由图象可知，当时，. （3）作出正弦函数的图象，如图：        由图象可知，当时，或. 题型九 确定函数的定义域 解题技巧提炼 1.求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x． 2.解复合函数的定义域，往往利用数形结合思想，借助图象（三角函数线）解三角不等式. 解sinx>a(<a),cos x>a(<a),tanx>a(<a)等不等式，基本步骤是：画图像、求界点、定范围、写解集. 24．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 25．（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解余弦不等式、解正弦不等式、求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域及对数函数定义域列出不等式组，解三角不等式可得解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以函数有意义需满足， 解得， 故函数的定义域为， 故选：B 26．（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】， 【知识点】解余弦不等式、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域. 【详解】由题设，，即. ∴，. ∴函数的定义域为且. 故答案为：，. 27．（2021高一·江苏·专题练习）函数f(x)＝的定义域为 . 【答案】[kπ－，kπ＋]，k∈Z 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由根式性质可得|cos x|≥|sin x|，结合正余弦函数的性质及单位圆画出的范围，即可得定义域. 【详解】∵cos2x≥sin2x，即|cos x|≥|sin x|， ∴如下图示， f(x)的定义域为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 故答案为：[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 28．（20-21高一·江苏·课后作业）确定下列函数的定义域： （1）；         （2）. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【分析】（1）由题知，再根据余弦函数解不等式即可得答案； （2）结合正切函数的定义域整体代换求解即可. 【详解】解：（1）要使函数有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为. （2）因为正切函数的定义域为， 所以，解得 所以函数的定义域为 题型十 确定三角函数（相关）的值域、最值 解题技巧提炼 1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解． 2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域． 3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y． 5.综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解； (2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性． 29．（21-22高一上·江苏常州·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域． 【详解】因为，所以， 因为函数在上递增，上递减， 又，，，所以 即. 故选：A． 30．（22-23高一下·四川眉山·期中）函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可. 【详解】函数 又函数，所以当时，函数的最小值为. 故选：A. 31．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】根据已知化简可得.换元令，可得，.根据二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】， 令， 因为，所以， 所以. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 又，， 所以的最小值为，函数的值域为. 故答案为：. 题型十一 根据函数的值域、最值求参数 解题技巧提炼 从求函数最值、值域入手，建立参数的方程、不等式求解． 32．（22-23高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】分类讨论，根据正弦函数的值域列式可得结果. 【详解】当时，由，得， 因为的值域为，所以，解得， 当时，显然不符合题意； 当，由，得， 因为的值域为，所以，解得， 故选：C 33．（多选）（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数在区间上的最小值为，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】求出使得取最小值时的x的值，根据k的取值，验证可判断选项A，B，C；求出函数在上的取值范围，可判断D. 【详解】由题意知函数在区间上的最小值为， 令，即， 当时，， 当时，，故区间可以为，，，A，B，C正确； 当时，，此时， 的值取不到，D错误； 故选：ABC 34．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）函数，函数的值域为，则 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果. 【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即函数的值域为， 所以. 故答案为： 35．（22-23高一下·湖北·阶段练习）已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 . 【答案】/ 【知识点】求含tanx的函数的单调性、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可. 【详解】解：取，解得， 所以在上单调递增， 即在上单调递减， 因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3， 所以，且，， 即，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 题型十二 三角函数的奇偶性 解题技巧提炼 1.判断三角函数奇偶性时，除判断其定义域是否关于原点对称，利用判断函数奇偶性的常用方法，还要注意应用诱导公式，“奇变偶不变”，往往事半功倍． 2．在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 36．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】A选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，A错误； B选项，的定义域为R， 且，故为奇函数，B错误； C选项，的定义域为R， 且，故为偶函数，C正确； D选项，的定义域为R， 且，故不是偶函数，D错误. 故选：C 37．（22-23高一上·河北唐山·期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【知识点】求含cosx的函数的奇偶性、求含sinx的函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 38.（22-23高一下·江苏扬州·开学考试）下列各组函数，既是奇函数，又在区间上单调递增的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分析判断即可. 【详解】因为，在上为奇函数，在上为偶函数， 所以排除AC， 因为，在上单调递增，在上单调递减， 所以B符合题意，D不合题意， 故选：B 39.（多选）（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性即可逐一判断结果． 【详解】对于A，函数满足， 且的定义域为关于原点对称，即是奇函数， 且注意到其周期为，故A正确； 对于B：函数满足， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，不是奇函数，故B错误； 对于C：， 由A选项分析易知是奇函数， 同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确； 对于D：函数满足， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，不是奇函数，故D错误． 故选：AC． 题型十三 根据函数的奇偶性求参数 解题技巧提炼 1.利用函数的奇偶性，求出参数的表达式，然后求解． 2.利用“整体代换”，确定函数值. 40．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知为偶函数，则（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【知识点】求函数值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，可得，代入利用诱导公式化简求解即可. 【详解】解：因为为偶函数，所以， 解得， 所以， ． 故选：D. 41．（21-22高一上·江苏淮安·期末）已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0<φ<π）是定义在R上的奇函数，则f（2）= ． 【答案】0 【知识点】由余弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据余弦函数的性质，运用代入法进行求解即可. 【详解】解：∵函数f（x）=cos（πx+φ）（0<φ<π）是定义在R上的奇函数， ∴，， ∴， 故答案为：0． 42．（21-22高一下·河南焦作·期中）已知函数（，为常实数），且，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】判断出是奇函数，由奇函数的性质可得答案． 【详解】因为，定义域关于原点对称， 设， ， 则是奇函数， 因为，所以，所以． 故答案为：. 43．（22-23高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正切函数的奇偶性求函数值、由正切函数的周期求值 【分析】代入计算得到，再计算，得到答案. 【详解】，故， . 故答案为： 44．（22-23高一上·江苏连云港·期末）写出一个同时满足下列条件的函数，如 ． ①函数是奇函数；②函数的最小正周期是． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、由正弦（型）函数的周期性求值、求正切（型）函数的奇偶性、由正切函数的周期求值 【分析】由函数为奇函数，令，或，，由最小正周期求出，得到答案. 【详解】不妨令，， 故，解得， 故； 或令，， 故，解得， 故； 故答案为：或. 题型十四 三角函数的零点问题 解题技巧提炼 f(x）的零点，就是使f(x）=0的x值． 45．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】结合余弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】由，得， 则根据题余弦函数性质可得，解得. 故选：C 46．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 47．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令，解得或，结合正、余弦函数即可得结果. 【详解】由题意可得：， 令，解得或， 又因为时，由正、余弦函数可知、分别有两解． 综上所述：函数在上的零点个数为 故选：C. 题型十五 三角函数的对称问题 解题技巧提炼 1.求函数图像的对称中心、对称轴，主要利用“公式法”．求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果． 2.对正切函数图象的对称中心要把握准确，是(，0)而非(kπ，0)(k∈Z)． 48．（多选）（22-23高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用整体代入法求得的对称轴与对称中心，再进行检验即可. 【详解】因为， 令，则， 所以的对称轴方程为：， 令，则D正确，A错误； 令，则， 所以的对称轴中心为：， 令，则的一个对称中心为，则B正确，C错误. 故选：BD. 49．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】结合正弦型函数图象的性质与的范围即可得. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，，解得，， 又，所以. 故答案为：. 50．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由及得，或，结合的图象关于点对称，即可求出的最小值． 【详解】由的图象关于点对称，得， 由及得，或， 当时，，由得的最小值为； 当时，，由得的最小值为； 综上所述，的最小值为； 故答案为：． 51.y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为(，0)，若－<θ<，则θ＝____________． 【答案】－或 【解析】 [错解]　函数y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，其中k∈Z，故令2x＋θ＝kπ，k∈Z，当x＝时，解得θ＝kπ－，k∈Z，由－<θ<，得θ＝． [错因分析]　误认为y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，k∈Z而致错． 详解：函数y＝tanx的对称中心是(，0)，其中k∈Z， 故令2x＋θ＝，其中x＝，即θ＝－，k∈Z． 又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－． 当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或． 答案：－或 题型十六 三角函数图象变换 解题技巧提炼 1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的． 2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及φ． 52．（24-25高一上·全国·随堂练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用正弦函数图象变换规律，即可得出结论. 【详解】要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度; 故选：C 53．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（   ） A．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的 C．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 D．各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数图象的平移变换和周期变换以及变换的顺序即可得解. 【详解】由的图象变为的图象的变换方式有两种， 第一种：先平移变换，后周期变换， 由的图象先向左平移个单位长度得到的图象， 接着再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的得到的图象； 第二种：先周期变换，后平移变换， 先由的图象各点横坐标缩短为原来的得到的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象. 所以选项A、D正确，B、C错误. 故选：AD. 54.（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）其中能把函数的图象变为的图象变换是（    ） A．把函数图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度 B．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 C．把函数图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 D．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 【答案】AB 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】利用三角函数图象变换规律，即可求解. 【详解】对于A，把函数的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度得到； 对于B，把函数的图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的可得，故B正确； 对于C，把函数的图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍可得，故C错误； 对于D，把函数的图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍可得； 故选：AB 题型十七 根据图象确定三角函数的解析式 解题技巧提炼 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T． (3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内． (4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ． 55．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可. 【详解】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以. 故选：D. 56.（23-24高一下·四川绵阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据正弦函数的平移伸缩得出解析式即可. 【详解】的图象先向左平移可得, 纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得. 故选：C. 57．（21-22高一下·陕西延安·期中）函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图像，先求出，再求出，然后得到，进而求出，最后，直接求函数值即可. 【详解】由图得，，， ，得， 所以，， 则， 得， 由得，， 则， 所以，. 故选：A. 题型十八 三角函数图象和性质的综合应用 解题技巧提炼 1.代数法 2.数形结合法 58．（多选）（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可. 【详解】对于A，令,则, 函数的定义域为，A正确; 对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误； 对于C，令则, 函数图象的对称中心为，C错误; 对于D，令, 则, 函数的单调递增区间为，D正确. 故选：AD. 59．（多选）（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由周期公式可判断A；利用正弦函数减区间解不等式可判断B；根据零点定义直接验证可判断C；根据正弦型函数的对称轴过最值点，直接验证可判断D. 【详解】对于A，因为，所以A正确； 对于B，由在单调递减，因此当，即时函数单调递减， 而，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以直线不过函数的最值点， 即的图象不关于直线对称，故D错误. 故选：ABC. 60．（多选）（22-23高一下·广东佛山·期中）已知函数，则说法正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AC 【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据三角函数的图象和性质以及奇偶函数的定义即可得答案. 【详解】对于A选项，因为， 所以， 的图象关于点对称，所以A选项正确. 对于B选项，由， 知的图象不关于直线对称，所以B选项错误. 对于C选项，由， 知为奇函数，所以C选项正确. 对于D选项，因为， ， ，所以不为偶函数，所以D选项错误. 故选:AC. 61．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】由题意化简可得，设，这转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】令， 则，令， ，，即， 函数 在内是单调递增的，且. 在区间上有解， 的取值范围为. 故答案为：. 62．（23-24高一下·北京·期中）在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③. 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④. 【详解】①中，因为，所以，， 又因为在区间上有且仅有3个对称中心， 则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知， 所以，解得，所以①正确； ②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确； ③中，因为，所以，， 又由①知，，所以， 而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确； ④中，当时，，由①知，需使， 而当时，在上有2条对称轴， 而当时,在上有3条对称轴，故④不正确. 故答案为：①②③. 63．（20-21高一上·江苏常州·期末）已知函数（，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立， (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调增区间 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期T，进而求得，再由恒成立，由求解. （2）令，，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：因为（，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以， 而，解得：， 因为，且， 所以为最大值， 则，， 所以，， 因为|，所以， 所以； （2）令，， 解得，， 又因为， 所以在上的单调增区间是. 64．（23-24高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图象如下图，，．    (1)若已知图中点A的横坐标． （ⅰ）求，，的解析式； （ⅱ）若，求x的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1)（i），，;（ii） (2) 【知识点】三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、解正弦不等式 【分析】（1）（i）由图可知，求出T，再求出，将点A带入即可求，进而知道的解析式；（ii）结合正弦函数的图象解不等式即可. （2）先由求出，再将点代入，求，再由列出等式，经过变形求解即可. 【详解】（1）(i)图中点的横坐标, ， 将点代入得：， 所以, 所以， 因为， 所以时，. . (ii)若, 则, , 解得， 即的取值范围为. （2）由图可知, , 又 , 将点代入得：， 所以, 解得, 因为,即, 所以, 所以当时，， ， ， ， ， 由图可知， ， ， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$