1.4 用一元二次方程解决问题（第1课时，几何面积和增长率问题）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第一课时 几何面积和增长率问题 1.4 用一元二次方程解决问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. （难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点） 3.掌握建立数学模型以解决增长率问题 （重点） 情景导入 我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以用一元二次方程来描述其中数量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决. 例如：图形之间的面积问题、增长率问题、销售利润问题、 旧知回顾 各图形的面积公式 用一元二次方程解决面积问题 新知探究 问题1: 用一根长 22 cm 的铁丝： （1）能否围成面积是 30 cm²的矩形？ （2）能否围成面积是32cm²的矩形？ ？ ？ ？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是cm，则矩形的宽是（11-）cm. （1）根据题意，得（11-）=30， 即²-11x+30 =0. 解这个方程，得 = 5， = 6. 当 = 5 时，11- = 6； 当=6时，11- =5. 答：用一根长22 cm的铁丝能围成面积是30cm²的矩形. （2）根据题意，得 x（11-x）= 32，即 x²-11x+32 =0. 因为b²-4ac =（-11）²-4×1×32=121-128=-7<0 所以此方程没有实数根. 答：用一根长 22cm的铁丝不能围成面积是 32 cm²的矩形. 例1.如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m. (1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． A B C D 典例剖析 分析： (1)若设BC＝x m，则AB的长为m，若设AB＝x m，则BC＝(35－2x) m，再利用题设中的等量关系，可求出(1)的解； (2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m，从而对(1)的结论进行甄别即可； (3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得 结论． A B C D 解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m. 依题意可列方程为x· ＝150， 整理，得x2－35x＋300＝0. 解这个方程，得x1＝20，x2＝15. 当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m， 当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m. 即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m； A B C D (2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m； A B C D (3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下： 设BC＝x m，则AB＝ m． 依题意可列方程为x· ＝160， 整理，得x2－35x＋320＝0. 此时Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0， 原方程没有实数根， 从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场． A B C D 例2.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为（32-x)米，列方程得 （20-x)(32-x)=540， 整理得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 图2 典例剖析 列方程解应用题的步骤是： ①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答． 归纳总结：利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题. 概念归纳 1. 若是不规则几何图形，则需要将图形分割或组成规则图形. 2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法， 也是较为简便有效的方法. 1.一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？ 解：设较短直角边长为 x cm，由题意，得： x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0. 解这个方程得： ∴较长直角边长为 ∴直角三角形面积＝ 练一练 2.在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)(如图1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？ 图(1) 解：设道路宽为x米， 如图(2)利用平移知识可列方程为 (32－2x)(20－x)＝570， 化简得x2－36x＋35＝0， 解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题意，舍去)， ∴道路宽应为1米． 图(2) 练一练 3.前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 练一练 用一元二次方程解决增长率问题 新知探究 问题2 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月利润增长的百分率是x，则7月份的利润是2500（1+x）元， 8月份的利润是[（2500（1+x）]（1+x）元. 解：设平均每月利润增长的百分率是x. 根据题意，得 2500（1+x）² = 3 600. 解这个方程，得 = 0.2， =-2.2（不合题意，舍去）. 答：平均每月利润增长的百分率是 20%. 　　问题3　两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 　　乙种药品成本的年平均下降额为 　　　(6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）． 　　甲种药品成本的年平均下降额为 　　　(5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元）， 典例剖析 　　解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x. 　　解方程，得　x1≈0.225， x2≈1.775． 　　根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%． 　　一年后甲种药品成本为5000(1-x) 元， 　　两年后甲种药品成本为 　　　　元． 　　列方程得　　　　　　=3000． 22 22 　　解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 　　得乙种药品成本年平均下降率为 0.225. 　　两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况． 　　解方程，得　x1≈0.225， x2≈1.775． 23 23 概念归纳 利用一元二次方程解决增长率问题 注意: （1）注意变化率所依据的变化基础，找出题中所含的等量关系； （2）与变化率有关的问题，可直接套用公式： C 随堂练 D C 随堂练 C 随堂练 1m 随堂练 面积 面积 实际意义或题意 实际情况 分层练习-基础 200＋200(1＋x)＋200(1 ＋x)2＝800 分层练习-基础 B 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 B 分层练习-基础 B 分层练习-基础 A 分层练习-基础 25 25 58 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 面积问题和增长率问题 增长率问题 a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量. 面积问题 常见几何图形面积是等量关系. 课堂小结 x1＝，x2＝(不合题意，舍去)， x＋1＝＋1＝， ××＝12(cm2)． 1．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18　　 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( ) A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm 3．边长为5米的正方形，要使它的面积扩大到原来的4倍，则正方形的边长要增加( ) A．2米 B．4米 C．5米 D．6米 4．据调查，2019年5月某市的房价均价为7600元/m2,2021年同期将达到8200元/m2，假设这两年该市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为( ) A．7600(1＋x%)2＝8200 B．7600(1－x%)2＝8200 C．7600(1＋x)2＝8200 D．7600(1－x)2＝8200 5．如图是一个长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的无盖长方体纸盒．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为　 　. (9－2x)(5－2x)＝12 6．在一块长为35m，宽为26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，如图所示，其中绿地面积为850m2，则小路的宽为　 　. 知识点一：几何图形问题 1．列一元二次方程解决几何图形面积问题，一般是从图形的　 　入手寻找等量关系，用含未知数的代数式表示图形的　 　，从而列出方程．应该注意的是，一定要检查方程的解是否符合　 　. 2．解存在性问题，除了判断方程是否有解，还必然考虑其解是否符合 　 　. 知识点二：平均增长(降低)率问题 若在a的基础上平均增长(降低)率为x，经过1次得到 ，经过2次得到 ． 1． 某种商品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率都为x，则可列方程为 ． 易错点： 审题不清，造成等量关系错误 2． 某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的总营业额为800万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为 ． a(1±x) a(1±x)2 100(1－x)2＝81 1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900　　　 B．x(x＋10)＝900　　　　 C．10(x＋10)＝900　　　 D．2[x＋(x＋10)]＝900 易错点： 忽视了题中图形隐含的量与量之间的关系 2. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2? 解：设矩形温室的宽为xm，长为2xm，依题意得：(x－2)(2x－4)＝288，解这个方程，得x1＝－10(不合题意舍去)，x2＝14，所以2x＝28.答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2. 3．(兰州中考)王叔叔从市场上买了一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( ) A．(80－x)(70－x)＝3000 B．80×70－4x2＝3000 C．(80－2x)(70－2x)＝3000 D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000 4．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么满足的方程是( ) A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 5．如图，在长70 m、宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如图中阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的eq \f(1,8)，则路宽x(m)应满足的方程是( ) A．(40－x)(70－x)＝350 B．(40－2x)(70－3x)＝2450 C．(40－2x)(70－3x)＝350 D．(40－x)(70－x)＝2450 6．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( ) A．eq \f(1,2)x(x＋1)＝28　　 B．eq \f(1,2)x(x－1)＝28 C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28 7．如图，在Rt△ABC中，点P、Q分别同时由A、C两点出发沿AC方向、CB方向运动，P点运动的速度为每秒1cm，Q点运动的速度为每秒2cm，点P运动到C，或点Q运动到B时，两点均停止运动．现已知AC＝12cm，BC＝9cm，设运动了t秒时，△PQC的面积等于△ABC面积的一半，则t的值为( ) A．3秒 B．9秒 C．3秒或9秒 D．4.5秒 8．用长为100cm的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积是625cm2，则这个框子的长为　 　cm，宽为　 　cm. 9．一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13.则这个两位数是　 　. 10．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2? 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于住房墙的一边的长为(25－2x＋1)m，由题意得x(25－2x＋1)＝80，化简，得x2－13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12(舍去)，当x＝8时，26－2x＝10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m. 11．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． (1)用x的代数式表示y； (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x；　 (2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6，∴当x＝10米或6米时，围成的养鸡场面积为60平方米；　 (3)当y＝70时，－x2＋16x＝70，即x2－16x＋70＝0，Δ＝256－280＜0，方程无解，∴不能围成面积为70平方米的养鸡场． 12．如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．问： (1)P、Q两点出发多长时间，四边形PBCQ的面积是33cm2? 解：设P、Q两点出发xs时，四边形PBCQ的面积是33cm2，则AP＝3x，PB＝16－3x，CQ＝2x.由梯形的面积公式，得eq \f([2x＋16－3x],2)×6＝33.解得x＝5.即P、Q两点出发5s时，四边形PBCQ的面积是33cm2； (2)P、Q两点出发多长时间，点P与点Q的距离是10cm? (2)P、Q两点出发多长时间，点P与点Q的距离是10cm? 解：设P、Q两点出发ys时，点P与点Q的距离是10cm(如图①所示)，过点Q作QH⊥AB，交AB于点H，则AP＝3y，CQ＝2y，PH＝16－3y－2y，根据勾股定理，得(16－3y－2y)2＝102－62，整理，得(16－5y)2＝64.解得y1＝1.6，y2＝4.8，当y＝4.8时，P、Q的位置如图②所示，故P、Q两点出发1.6s或4.8s时，点P与点Q的距离是10cm. 13．(湘西州中考)某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． (1)求口罩日产量的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；　 (2)依题意可得，24200(1＋0.1)＝24200×1.1＝26620(个)． 答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个． 14．校园空地上有一面墙，长度为20 m，用长为32 m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示． (1)能围成面积是126 m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由； (2)若篱笆再增加4 m，围成的矩形花圃的面积能达到170 m2吗？请说明理由． 解：(1)设AB的长度为x m，则BC的长度为(32－2x)m，依题意，得x(32－2x)＝126，解得x1＝7，x2＝9，∴32－2x＝18或14． 答：能.长为18 m、宽为7 m或长为14 m、宽为9 m；　 (2)设AB的长度为y m，则BC的长度为(36－2y)m，依题意，得y(36－2y)＝170，整理得，y2－18y＋85＝0，∵Δ＜0，∴此方程无解． 答：不能达到170 m2． 15．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动． (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2? (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，若存在，求出t；若不存在，说明理由． 解：(1)设x秒后，可使△PCQ的面积为8 cm2．由题意，得eq \f(1,2)(6－x)·2x＝8，∴x1＝2，x2＝4．所以P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△PCQ的面积为8 cm2；　 (2)不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半，由题意，得eq \f(1,2)(6－y)·2y＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×6×8，y2－6y＋12＝0，Δ＜0，方程无解，所以不存在． 答：不存在某一时刻使得△PCQ的面积等于△ABC面积的一半． 学会运用一元二次方程解决几何图形中的相关问题． 【例1】在矩形场地的中央修建一个正方形的花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等，如果场地的长比花坛的边长多6m，场地的宽比花坛的边长多4m，求矩形场地的长与宽． 【思路分析】　恰当设元，找出相等关系列出方程求解．本题相等关系很明确，即花坛面积与花坛周围面积相等，或者说矩形场地面积是花坛面积的2倍，下面利用后者进行求解． 【规范解答】　设花坛的边长为xm，则矩形场地的长为(x＋6)m，宽为(x＋4)m，根据题意，得 (x＋6)(x＋4)＝2x2， 整理，得x2－10x－24＝0， 解得x1＝12，x2＝－2(舍去)， ∴x＋6＝12＋6＝18，x＋4＝12＋4＝16. 答：矩形场地的长为18m，宽为16m. 会运用一元二次方程解决增长率问题． 【例1】某商品经过连续两次调价后，价格与原来相比翻了两番，求平均每次调价的百分数． 【思路分析】　“翻一番”后的数量是原来的数量乘2，“翻两番”后的数量是原来的数量乘4. 【规范解答】　设平均每次调价的百分数为x，原来的价格为1，根据题意，得： (1＋x)2＝4 解得x1＝－3(舍去)，x2＝1＝100% 答：平均每次调价的百分数为100% 【题后反思】　理解专用术语含义．如“翻番”将原来的数量看作“1”或设“a”，“翻n番”的数量是2na. $$