第1章 二次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第1章 二次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（2023秋•定边县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2 【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0），这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【解答】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是二次函数，符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、是是一次函数，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）（2023秋•曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是：y＝（x+2）2﹣1﹣5， 即y＝（x+2）2﹣6． 故选：D． 3．（3分）（2024•宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，﹣5），那么该抛物线有（　　） A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值3 D．最大值3 【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，﹣5），根据抛物线的性质可直接做出判断． 【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，﹣5）， 所以该抛物线有最大值﹣5； 故选：B． 4．（3分）（2023秋•鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　） A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1 C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式． 【解答】解：y＝2x2﹣8x+3 ＝2x2﹣8x+8﹣8+3 ＝2（x2﹣4x+4）﹣5 ＝2（x﹣2）2﹣5， 故选：C． 5．（3分）（2024•深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（3分）（2024•衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2 【分析】依据题意，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，从而当x＝1时，y取最小值为﹣4．，再分三种情形①m+2＜1②m≤1，m+2≥1③m＞1，分别进行分析可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣4． ①当m+2＜1时，即m＜﹣1时， 有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4． ∴m＝﹣1，不合题意． ②当m≤1，m+2≥1时，即﹣1≤m≤1． 此时当x＝1时，y取最小值为﹣4，符合题意． ③当m＞1时， 有m2﹣2m﹣3＝﹣4． ∴m＝1，不合题意． 总上，﹣1≤m≤1． 故选C． 7．（3分）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围． 【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t， ∴a＜0， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴t≤1， ∴a＜0，t≤1． 故选：B． 8．（3分）（2024•龙湾区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（　　） A．b＝﹣2a B．ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3 C． D．点A（a，b+c）在第三象限 【分析】A、根据﹣＝1，得到b＝﹣2a； B、抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），得到ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3； C、把交点式化成一般式，根据1＜c＜2，即可得到1＜﹣3a＜2，解得﹣； D、利用图象求得a＜0，b+c＞0，则点A（a，b+c）在第二象限． 【解答】解：根据函数图象可知﹣＝1， ∴b＝﹣2a，故A正确，不合题意； ∵图象与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，故B正确，不合题意； 由题意可知y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴c＝﹣3a， ∵1＜c＜2， ∴1＜﹣3a＜2， ∴﹣，故C正确，不合题意； ∵a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵c＞0， ∴b+c＞0， ∴点A（a，b+c）在第二象限，故D错误，符合题意． 故选：D． 9．（3分）（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 【分析】依据题意，由点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，从而y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1），进而根据a＞0和a＜0分别进行分析即可得解． 【解答】解：由题意，∵点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上， ∴y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）． 当a＞0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0，故A错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故B错误，不合题意． 当a＜0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故C错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）（n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＜0，故D正确，符合题意． 故选：D． 10．（3分）（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解． 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴﹣＞2， ∴﹣＞2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a， ∵﹣1＜a＜0， ∴﹣a＞0， ∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y3＞y1＞y2　.（用“＞”连接） 【分析】先确定抛物线的开口向上和对称轴x＝﹣1，再根据距离对称轴越大函数值就越大比较即可． 【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， 点B（﹣1，y2）在对称轴上， ∴y2最小， 点A（﹣2，y1）距离对称轴有﹣1﹣（﹣2）＝1个单位， C（1，y3）距离对称轴有1﹣（﹣1）＝2个单位， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 12．（3分）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　2　m．（结果保留根号） 【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设该抛物线的解析式为y＝ax2， 由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上， ∴﹣2＝a×22， 解得a＝﹣， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2， 当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2， 解得x1＝﹣，x2＝， ∴当水面下降1m后，水面宽度是：﹣（﹣）＝+＝2（m）， 故答案为：2． 13．（3分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 　2　． 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式求出m的值，然后根据抛物线平移不改变二次项的系数的值，即可求得a＝2． 【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点， ∴2m﹣8＝0， 解得m＝4， ∴m﹣2＝2， ∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到， ∴a＝m﹣2＝2， 故答案为：2． 14．（3分）（2024•宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 　x＜3或x＞5　． 【分析】直接利用函数图象即可得出结论． 【解答】解：∵由函数图象可知，当x＝1，3时，y＝0， 令t＝x﹣2， ∴a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝at2+bt+c＝0的解为： t＝1或3， 解得x＝3或5， ∴不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5． 故答案为：x＜3或x＞5． 15．（3分）（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　2.2　米． 【分析】依据题意，令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，求出x后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1， ∴x2＝4． ∴x＝﹣2或x＝2（舍去）． ∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）． 故答案为：2.2． 16．（3分）（2024春•开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　2　cm． （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　　cm． 【分析】（1）求得PC、CQ的长度，由勾股定理定理可得解； （2）设点P、Q同时出发，x秒钟后，△OPQ的面积最小，此时AQ＝2x cm，PC＝x cm，CQ＝（8﹣2x）cm，BP＝（6﹣x）cm，O到AC的距离为cm，O到BC的距离为＝4cm，此时S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ＝﹣•2x•3﹣﹣＝（x﹣）2+，由二次函数的性质得出当x＝时，△OPQ的面积最小，求出此时CQ＝8﹣2x＝3，CP＝，由勾股定理定理可得解． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm， ∴BC＝＝6cm， 由题意可知CQ＝8﹣2＝6（cm），CP＝2cm， ∴PQ＝＝＝2（cm）． ∴点P，Q之间的距离是2cm； 故答案为：2； （2）设经过xs时，△OPQ的面积最小， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， ∵O是AB的中点， ∴O到AC的距离为cm，O到BC的距离为＝4cm， ∵S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ ＝﹣•2x•3﹣﹣ ＝24﹣3x﹣12+2x﹣4x+x2 ＝x2﹣5x+12 ＝（x﹣）2+， ∴当x＝时，△OPQ的面积最小，此时CQ＝8﹣2x＝3cm，CP＝cm， ∴PQ＝＝（cm）． ∴当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是cm． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（2023秋•嘉兴期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4）． （1）求b的值； （2）判断P（2，3）是否在该函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）把点A（1，4）的坐标代入解析式即可求出b的值； （2）把P（2，3）的坐标代入解析式，看看两边是否相等即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4）， ∴4＝﹣1+b+3， ∴b＝2； （2）P（2，3）在该函数的图象上， 理由：∵b＝2， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 把P（2，3）代入y＝﹣x2+2x+3得： 左边＝3，右边＝﹣4+4+3＝3， 即左边＝右边， 所以点P在该函数的图象上． 18．（6分）（2024春•拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒后足球回到地面？ （2）经多少秒时球的高度为15米？ 【分析】（1）令h＝0得关于t的一元二次方程，解得t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）令h＝15得关于t的一元二次方程，解得t的值即可． 【解答】解：（1）令h＝0得：20t﹣5t2＝0， 解得：t1＝0（舍去），t2＝4． 答：经4秒后足球回到地面． （2）令h＝15得：20t﹣5t2＝15， 解得：t1＝1，t2＝3． 答：经1秒或3秒时球的高度为15米． 19．（8分）（2023•舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 【分析】（1）将解析式y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，根据条件函数有最大值4，则a＜0，当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，则a＝﹣1； （2）将解析式转化为y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），先判断a＜0不满足y1＞y2＞y3再分析a＞0时的情况，当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， 则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可． 【解答】解：（1）据题得y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]， ∵函数有最大值4，则a＜0， 当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4， ∴a＝﹣1， （2）y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）， ①当a＜0时，顶点（﹣1，﹣4a），则C（﹣1，y3）为顶点， ∴y3为最大值，不满足y1＞y2＞y3， ②当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点， ∴y3为最小值， 又∵y1＞y2， 当A、B都在对称轴右侧，则， 当A、B都在对称轴左侧，则﹣1＞1﹣n＞n⇒无解， 当A、B在异侧时，A左B右，则， 解得n； 当A在B左侧时，则n＞﹣1，1﹣n＜﹣1⇒无解， 综上所述n． 20．（8分）（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解； ②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解； （2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解． 【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x＝＝2． ①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k， 又过（﹣1，8），（0，3）， ∴． ∴a＝1，k＝﹣1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1． ②由①令y＝0， ∴（x﹣2）2﹣1＝0． ∴x＝3或x＝1． ∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）． 又抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围． ∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3． （2）由题意，∵对称轴是直线x＝2， ∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大． 又2＜3＜5， ∴y3＜y4＜y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y3＜0，且y4≥0． ∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0． 又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴＜a≤1． ②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小． 又2＜3＜5， ∴y3＞y4＞y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y5＜0，且y4≥0． ∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． 又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a， ∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a＜﹣． 综上，a＜﹣或＜a≤1． 21．（10分）（2024•南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）依题意剩余利润为（w﹣200）元， ∵捐款后每天剩余利润不低于2200元， ∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200， 由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64， ∵﹣10＜0，44≤x≤52， ∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52， 答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52． 22．（10分）将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． （2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围． 【分析】（1）①根据题意得A（0，3），解方程组即可得到结论；②根据题意解方程即可得到结论； （2）当抛物线过点F（4，1）时，当抛物线过点E（6，1）时，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）①根据题意得A（0，3）， ∵当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+x+3， 当x＝1时，y＝﹣+3＝， 答：小球达到的最大高度为． ②当y＝0时，即﹣x2+x+3＝0， 解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意舍去）， 答：小球落地时的水平距离为（1+）米； （2）根据题意知：F（4，1），E（6，1）， ∵c＝3． ∴y＝﹣x2+bx+3． ∴当抛物线过点F（4，1）时，有：1＝﹣×42+4b+3， 解得b＝； 当抛物线过点E（6，1）时，有：1＝﹣×62+6b+3， 解得b＝， ∴要使小球落入筐中，b的取值范围是． 23．（12分）（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【分析】（1）描点，连线得到相关图形；猜测v是t的一次函数，y是t的二次函数，用待定系数法设出函数解析式后，把表格中的点代入可得所求的函数解析式，任意再选其他数值代入，可得所求的函数解析式符合题意； （2）①由图2判断出t的取值范围，进而根据y与t的函数解析式，判断出y的最大值； ②假设两球能相遇，白球的运动路程也符合（1）得到的函数解析式，进而根据两球在AB上的运动路程的和为118列出方程即可求得相应的时间，代入（1）中得到的函数解析式可得相遇点P到A点的距离． 【解答】解：（1）描点，连线． 由图象猜测v是t的一次函数． 设v＝kt+b（k≠0）． ∵经过点（0，12），（2，10）， ∴． 解得：． ∴v＝﹣t+12； 猜测y是t的二次函数． 设y＝at2+bt（a≠0）． ∵经过点（2，22），（4，40）， ∴． 解得：． ∴y＝﹣t2+12t． ∵把其他的点代入上述两个函数解析式也适合， ∴v＝﹣t+12，y＝﹣t2+12t； （2）①由图2得：∵v≥0， ∴0≤t≤12． ∵y＝﹣t2+12t， ∴二次函数开口向下，t＝﹣＝12时，y有最大值． ∴y最大＝﹣×122+12×12＝72． 答：黑球在水平木板AB上滚动的最大距离为72cm； ②设黑球运动t秒时，两球相遇． ﹣t2+12t+[﹣（t﹣2）2+12（t﹣2）]＝118． 整理得：t2﹣26t+144＝0． 解得：t1＝8，t2＝18（不合题意，舍去）． 当t＝8时，y＝﹣×82+12×8＝64． 答：两球会在水平木板AB的某个位置相遇，相遇点P到A点的距离为64cm． 24．（12分）（2024•同心县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解． （3）设出点P的坐标，求出P′的坐标，利用菱形的性质即可求解． 【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x，﹣x+3）， ∴＝， 当x＝时，△CPB的面积最大， 此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为． （3）存在． 如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E， 若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC， 连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE＝， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴P（）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）（2023秋•定边县期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2 2．（3分）（2023秋•曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6 3．（3分）（2024•宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，﹣5），那么该抛物线有（　　） A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值3 D．最大值3 4．（3分）（2023秋•鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（　　） A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1 C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7 5．（3分）（2024•深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2024•衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2 7．（3分）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（　　） A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1 8．（3分）（2024•龙湾区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（　　） A．b＝﹣2a B．ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3 C． D．点A（a，b+c）在第三象限 9．（3分）（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 10．（3分）（2022•富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　.（用“＞”连接） 12．（3分）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号） 13．（3分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 　 　． 14．（3分）（2024•宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 　 　． 15．（3分）（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　米． 16．（3分）（2024春•开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　 　cm． （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　 　cm． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（2023秋•嘉兴期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4）． （1）求b的值； （2）判断P（2，3）是否在该函数的图象上，并说明理由． 18．（6分）（2024春•拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2． （1）经多少秒后足球回到地面？ （2）经多少秒时球的高度为15米？ 19．（8分）（2023•舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）． （1）若二次函数的最大值为4，求a的值． （2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围． 20．（8分）（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 21．（10分）（2024•南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 22．（10分）将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． （2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围． 23．（12分）（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 24．（12分）（2024•同心县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值． （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$