专题训练1-1二次函数表达式的各种求法训练-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

二次函数表达式的各种求法训练 一、有顶点与另外一点的坐标，则多选用顶点式求解二次函数表达式 1．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 2．（2023秋•甘州区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•淳安县期中）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），则此抛物线的解析式是 　 　． 4．（2022秋•路桥区期末）写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线的解析式：　 　． 5．（2023秋•仙居县期末）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求该二次函数的解析式． （2）当﹣3≤x≤0时，求此函数的最大值与最小值． 二、利用a确定抛物线的形状，得a相等，进而求二次函数表达式 6．（2023秋•浙江月考）有一二次函数a，已知其过（2，0），（5，0），其与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（　　） A．y＝x2+14x+10 B．y＝2x2﹣14x+20 C．y＝2x2+14x+20 D．y＝x2﹣14x+10 7．（2023秋•临高县期末）已知二次函数的图象如图所示，则其抛物线的表达式可能为（　　） A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝﹣3x2+1 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1 8．（2023秋•淮北期中）抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 　 　． 三、当抛物线图象没有特别的特征时，多用一般式求其表达式 9．（2023秋•缙云县期末）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象如图所示． （1）写出c的值； （2）求出函数的表达式． 10．（2024•西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 四、有抛物线图象特征时，则需要先利用特征找出对应关系 11．（2024•鄞州区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线y2＝x+1． 抛物线与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2，求该抛物线的解析式； 12．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； 13．（2023秋•柯桥区期末）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣8a（a≠0）． （1）若二次函数图象与y轴交于点C（0，4）．求二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣8，求a的值． 14．（2024春•赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+1，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“和谐二次函数”，求函数y2的表达式． 五、根据抛物线的最值与增减性求其表达式 15．（2023•自流井区校级一模）已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5 16．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝﹣3（x+2）2 D．y＝﹣3（x﹣2）2 17．（2024•钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且对任意x的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 18．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　 　． 19．（2023秋•东阳市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）当b＝2，c＝﹣5时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当y≥﹣2时，求x的取值范围． （2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 六、与几何图形结合的抛物线表达式的求解 20．（2023秋•陕州区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 　 　． 21．（2023秋•金乡县期末）如图，已知抛物线y＝﹣3x与直线y＝2x交于O，A两点．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），则m关于n的函数关系式是 　 　． 22．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　 　． 23．（2024春•金安区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； （2）连接OB，AB，求S△OAB； （3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标． 24．（2024•雁塔区校级模拟）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米． （1）求该抛物线的解析式． （2）工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形CDEF，要求D、F两点在抛物线上（D在F的左侧），点E在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现？若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点D的位置（即求出点D的坐标），若不能请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数表达式的各种求法训练 一、有顶点与另外一点的坐标，则多选用顶点式求解二次函数表达式 1．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝2（x+2）2﹣4 C．y＝﹣2（x﹣2）2+4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4 【分析】设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，﹣4）代入上式，即可求解； 【解答】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 则抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+4， 将（0，﹣4）代入上式得，﹣4＝a（0﹣2）2+4，解得a＝﹣2， 故抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+4． 故选：C． 2．（2023秋•甘州区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3），得到对称轴经过点A（3，3），列出式子，求出答案． 【解答】解：由题意得： 抛物线y＝ax2+bx的顶点坐标为A（3，3）， ∴对称轴经过点A（3，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 故选：B． 3．（2023秋•淳安县期中）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），则此抛物线的解析式是 　y＝﹣2x2﹣4x﹣5　． 【分析】根据题意设出抛物线的顶点形式，将（0，﹣5）代入即可确定出解析式． 【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3， 将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5， 解得：a＝﹣2， 则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5． 故答案为：y＝﹣2x2﹣4x﹣5． 4．（2022秋•路桥区期末）写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线的解析式：　y＝﹣x2 （答案不唯一）　． 【分析】由于顶点坐标为（0，0），则抛物线解析式为y＝ax2，然后a取一负数即可． 【解答】解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y＝﹣x2． 故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）． 5．（2023秋•仙居县期末）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求该二次函数的解析式． （2）当﹣3≤x≤0时，求此函数的最大值与最小值． 【分析】（1）设顶点式＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入求出a的值即可； （2）先分别计算出自变量为﹣3和0时对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最小值﹣4，所以当﹣3≤x≤0时有﹣4≤y≤0，从而得到此函数的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4）， ∴二次函数的解析式可设为y＝a（x+1）2﹣4， 把（1，0）代入得a×（1+1）2﹣4＝0， 解得a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣4； （2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0， 当x＝0时，y＝（0+1）2﹣4＝﹣3， 而x＝﹣1时，y有最小值﹣4， ∴当﹣3≤x≤0时，﹣4≤y≤0，则此函数的最大值为0，最小值为﹣4． 二、利用a确定抛物线的形状，得a相等，进而求二次函数表达式 6．（2023秋•浙江月考）有一二次函数a，已知其过（2，0），（5，0），其与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（　　） A．y＝x2+14x+10 B．y＝2x2﹣14x+20 C．y＝2x2+14x+20 D．y＝x2﹣14x+10 【分析】由与y＝2x2的形状一致，设该二次函数a的表达式为y＝2x2+bx+c，把（2，0），（5，0）代入可得答案． 【解答】解：由与y＝2x2的形状一致，设该二次函数a的表达式为y＝2x2+bx+c， 把（2，0），（5，0）代入得： ， 解得， ∴y＝2x2﹣14x+20； 故选：B． 7．（2023秋•临高县期末）已知二次函数的图象如图所示，则其抛物线的表达式可能为（　　） A．y＝﹣3x2﹣1 B．y＝﹣3x2+1 C．y＝3x2+1 D．y＝3x2﹣1 【分析】依据题意，结合图象可得，抛物线的开口向下，顶点是（0，1），对称轴是y轴，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，抛物线的开口向下，顶点是（0，1），对称轴是y轴， ∴B选项正确，A、C、D错误． 故选：B． 8．（2023秋•淮北期中）抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 　y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3　． 【分析】由题意，抛物线的形状与y＝x2相同，它的顶点坐标是（﹣2，3），即可得抛物线的解析式． 【解答】解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3）， ∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3． 当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3． 故答案为：y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3． 三、当抛物线图象没有特别的特征时，多用一般式求其表达式 9．（2023秋•缙云县期末）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象如图所示． （1）写出c的值； （2）求出函数的表达式． 【分析】（1）将点（0，3）代入y＝ax2+2x+c（a≠0）即可求出c； （2）把点A（3，0）代入y＝ax2+2x+3（a≠0）即可求出函数表达式． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点（0，3）； ∴将点（0，3）代入y＝ax2+2x+c（a≠0）得； c＝3． （2）设函数的表达式为y＝ax2+2x+3（a≠0）； ∵函数图象经过点A（3，0）； ∴把点A（3，0）代入y＝ax2+2x+3（a≠0）得； a＝﹣1； ∴函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3． 10．（2024•西湖区校级开学）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当y≤4时，求自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是y＝a（x+）2+k，把点的坐标代入求出即可； （2）求出y＝4时对应的x的值，再根据二次函数的性质得出即可． 【解答】解：（1）根据表中可知：点（﹣1，﹣2）和点（0，﹣2）关于对称轴对称， 即对称轴是直线x＝﹣， 设二次函数的表达式是y＝a（x+）2+k， 把点（﹣2，0）和点（0，﹣2）代入得：， 解得：a＝1，k＝﹣， y＝（x+）2﹣＝x2+x﹣2， 所以该二次函数的表达式是y＝x2+x﹣2； （2）当y＝4时，y＝x2+x﹣2＝4， 解得：x＝﹣3或2， ∵a＝1＞0， ∴抛物算开口向上， ∵对称轴是直线x＝﹣， ∴当y≤4时，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤2． 四、有抛物线图象特征时，则需要先利用特征找出对应关系 11．（2024•鄞州区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线y2＝x+1． 抛物线与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2，求该抛物线的解析式； 【分析】依据题意，由抛物线与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2，从而可得两个交点为 （﹣1，0），（2，3），又代入 ，得，计算即可得解； 【解答】解：由题意，∵抛物线与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2， ∴两个交点为 （﹣1，0），（2，3）． 又代入 ，得， ∴． ∴． 12．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． 13．（2023秋•柯桥区期末）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣8a（a≠0）． （1）若二次函数图象与y轴交于点C（0，4）．求二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣8，求a的值． 【分析】（1）先将点C代入解析式求得a的值，然后得到函数的表达式； （2）分情况讨论对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的性质即可得到在﹣1≤x≤4中，根据最大值最小值进行计算即可． 【解答】解：（1）将点C（0，4）代入y＝a（x﹣2）2﹣8a，得 4a﹣8a＝4， ∴a＝﹣1， ∴函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+8． （2）y＝a（x﹣2）2﹣8a的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（1，﹣8a）， 当a＜0时， ∴函数有最大值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝﹣1时，函数有最小值， ∴9a﹣8a＝﹣8， 解得a＝﹣8； 当a＞0时， ∴函数有最小值﹣8a， ∴在﹣1≤x≤4，当x＝2时，函数有最小值， ∴﹣8a＝﹣8， 解得a＝1； 综上，a的值为﹣8或1． 14．（2024春•赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1和y2＝ax2+bx+1，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“和谐二次函数”，求函数y2的表达式． 【分析】（1）写出顶点都为（0，0），开口向上的两个抛物线即可； （2）把A坐标代入y1，求出m的值，确定出y1解析式，进而得到其顶点坐标，由y1+y2与y1为“和谐二次函数”，得到y1+y2的顶点坐标与y1相同，利用顶点坐标公式求出a，b的值，确定出y2解析式即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2与y＝x2+1为“和谐二次函数”的函数（答案不唯一）； （2）把A（1，1）代入y1得：2﹣4m+2m2+1＝1，即m2﹣2m+1＝0， 解得：m1＝m2＝1，即y1＝2x2﹣4x+3，顶点坐标为（1，1）， ∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+1＝（a+2）x2+（b﹣4）x+4， ∵y1+y2与y1为“和谐二次函数”， ∴y1+y2的顶点坐标为（1，1），a+2＞0， ∴﹣＝1，＝1，a＞﹣2， 解得：a＝1，b＝﹣2， 则函数y2的表达式为y2＝x2﹣2x+1． 五、根据抛物线的最值与增减性求其表达式 15．（2023•自流井区校级一模）已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（　　） A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5 【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4， ∴， 即， ∴（3m﹣1）2+12m＝16， （3m+1）2＝16， ∴3m+1＝±4， 解得：m1＝1，， 当m＝1时，抛物线为y＝x2+2x﹣3． 故选：B． 16．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当2＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0；当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0，则该二次函数的解析式可以是（　　） A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝﹣3（x+2）2 D．y＝﹣3（x﹣2）2 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在对称轴右边，y随x的增大而增大． 当1＜x1＜x2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＞0， ∴x2﹣x1＞0． ∴y2＞y1． ∴当x＞2时，y随x的增大而增大． 当x1＜x2＜2时，（x2﹣x1）（y2﹣y1）＜0， ∴x2﹣x1＞0． ∴y2＜y1． ∴当x＜2时，y随x的增大而减小． ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上． 故选：B． 17．（2024•钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且对任意x的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据当x＝1时，y≤＝1，y≥x，得出当x＝1时y＝1，再根据图象经过点（﹣1，0），得出b＝，c＝﹣a，再根据对任意实数x，恒有y≥x，即ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，整理得ax2﹣x+c≥0，然后由判别式Δ≤0求出a的值，从而得出结论． 【解答】解：由已知可知，当x＝1时，y≤＝1， ∵y≥x， ∴当x＝1时，y≥1， 即1≤y≤1， ∴x＝1时，y＝1； 当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0， 即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0， 解得：b＝，c＝﹣a， ∵对任意实数x，恒有y≥x， ∴ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2﹣x+c≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4a（﹣a）≤0，即（a﹣）2≤0， 解得：a＝， 此时c＝﹣＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2+x+． 故选：D． 18．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数且b＞0，c＜0），当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5，则c的值为 　﹣10　． 【分析】先把一般式配成顶点得到当x＝﹣时，y有最小值c﹣，利用a＞0，b＞0，c＜0可判断抛物线的顶点在第三象限，利用二从函数的性质得到x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11，即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11，然后解方程组得到满足条件的c的值． 【解答】解：∵y＝x2+bx+c＝（x+）2+c﹣， ∴当x＝﹣时，y有最小值c﹣， ∵a＞0，b＞0，c＜0， ∴抛物线的顶点在第三象限， ∵当﹣5≤x≤0时，﹣11≤y≤5， ∴x＝﹣5时，y＝5；x＝﹣时，y有最小值﹣11， 即25﹣5b+c＝5，c﹣＝﹣11， 解得b＝2，c＝﹣10或b＝18，c＝70（舍去）， 即c的值为﹣10． 故答案为：﹣10． 19．（2023秋•东阳市期末）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）当b＝2，c＝﹣5时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当y≥﹣2时，求x的取值范围． （2）当x＜0时，y的最小值为﹣2；当x≥0时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 【分析】（1）①将b＝2，c＝﹣5代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答y≥﹣2时，自变量取值范围即可． （2）根据a＝1＞0确定开口方向，再根据x≥0时，y的最小值为3得到c值，从对称轴x＝﹣代入解析式解出b值即可． 【解答】解：（1）①当b＝2，c＝﹣5时，解析式为y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， 该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣6）； ②抛物线y＝（x+1）2﹣6，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 当yy≥﹣2时，即（x+1）2﹣6≥﹣2， 解不等式得：x≥1或x≤﹣3， （2）∵二次函数y＝x2+bx+c开口向上，当x≥0时，y的最小值为3， ∴x＝0时，c＝3， ∵当x＜0时，y的最小值为﹣2； ∴x＝﹣时，y最小＝﹣2，代入y＝x2+bx+3得： +b•（﹣）+3＝﹣2， ﹣＝﹣5， ∴b＝2或b＝﹣2， ∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，a＞0， ∴b＝2， 故抛物线解析式为：y＝x+3． 六、与几何图形结合的抛物线表达式的求解 20．（2023秋•陕州区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB＝OC＝3OA，则该抛物线的解析式是 　y＝x2﹣2x﹣3　． 【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C（0，﹣3），根据OB＝OC＝3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴OB＝3，OA＝1， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 将B（3，0），A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3． 21．（2023秋•金乡县期末）如图，已知抛物线y＝﹣3x与直线y＝2x交于O，A两点．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），则m关于n的函数关系式是 　m＝n2﹣n　． 【分析】根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式． 【解答】解：如图，∵直线OA的解析式为：y＝2x，点D的坐标为（m，n）， ∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m）， ∴点B的坐标为（n，2m）， 把点B（n，2m）代入y＝x2﹣3x，可得m＝n2﹣n， ∴m、n之间的关系式为m＝n2﹣n， 故答案为：m＝n2﹣n． 22．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣　． 【分析】设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，分点A在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，直角顶点C在y轴正半轴和直角顶点C在y轴负半轴四种情况讨论即可． 【解答】解：①设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴负半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： ∴AB＝4，BC＝2， ∵OC⊥AB，∠B＝30°， ∴OC＝，OB＝3， ∴OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3a＝， 解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+x+； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与y＝﹣x2+x+关于x轴对称， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣； ②设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴正半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： 同①得，A（1，0），B（﹣3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝m（x﹣1）（x+3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3m＝， 解得m＝﹣， 抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣x+； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与y＝﹣x2﹣x+关于x轴对称， ∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣； 综上抛物线解析式为y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣， 故答案为：y＝﹣x2+x+或y＝x2﹣x﹣或y＝﹣x2﹣x+或y＝x2+x﹣． 23．（2024春•金安区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； （2）连接OB，AB，求S△OAB； （3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标． 【分析】（1）把原点坐标代入y＝﹣x2+2x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到B点坐标； （2）先解方程﹣x2+2x＝0得到A（2，0），然后根据三角形面积公式求解； （3）设C点坐标为（t，﹣t2+2t），利用三角形面积公式得到×2×|﹣t2+2t|＝8，然后解方程求出t，从而得到C点坐标． 【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2x+c得c＝0， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x， ∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴顶点B的坐标为（1，1）； （2）当y＝0时，﹣x2+2x＝0， 解x1＝0，x2＝2， ∴A（2，0）， ∴S△OAB＝×2×1＝1； （3）设C点坐标为（t，﹣t2+2t）， ∵S△OAC＝8， ∴×2×|﹣t2+2t|＝8， 即t2﹣2t＝8或t2﹣2t＝﹣8， 解方程t2﹣2t＝8得t1＝﹣2，t2＝4， ∴C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）， 方程t2﹣2t＝﹣8无实数解， 综上所述，C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）． 24．（2024•雁塔区校级模拟）如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过A点作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米． （1）求该抛物线的解析式． （2）工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形CDEF，要求D、F两点在抛物线上（D在F的左侧），点E在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现？若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点D的位置（即求出点D的坐标），若不能请说明理由． 【分析】（1）先根据已知条件求出点B（6，0），顶点C（3，6），然后可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+6，再将点（6，0）代入y＝a（x﹣3）2+6之中求出a即可得出抛物线的解析式； （2）设点D的坐标为，连接DF交CE于点H，由正方形的性质得HD＝HC，DF⊥CE，再根据CE为抛物线的对称轴得点H，由此可求出HD＝3﹣t，，然后根据HD＝HC得，由此解出t即可得到点D的坐标． 【解答】解：（1）∵AB边长为6分米，最高点C到AB的距离为6分米． ∴点B的坐标为（6，0）， 根据抛物线的对称性可知：顶点C的坐标为（3，6）， 设这个抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+6， 将点（6，0）代入y＝a（x﹣3）2+6，得：0＝a（6﹣3）2+6，解得：， ∴抛物线的解析式为：， （2）能够实现，点D的坐标为：（1.5，4.5）． ∵点D在抛物线上， ∴可设点D的坐标为， 连接DF交CE于点H，如图： ∵四边形CDEF为正方形， ∴HD＝HC，DF⊥CE， ∵CE为抛物线的对称轴，点C的坐标为（3，6）， ∴点H的坐标为， ∴HD＝3﹣t，， ∴， 整理得：2t2﹣9t+9＝0， 解得：t＝1.5或t＝3（不合题意，舍去）， 当t＝1.5时，， ∴点D的坐标为（1.5，4.5）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$