精品解析：山东省东营市东营区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末质量调研 八年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8分． 2．数学试题答题卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 已知点，，在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （ ） A. B. C. D. 8. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，且位似比为，则经过点的反比例函数表达式为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12 计算：______． 13. 已知方程的一个根是1，则它的另一根是______． 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 15. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ____________________． 16. 如图，的两个顶点分别在反比例函数和的图象上，顶点在轴上．已知平行于轴，且的面积等于8，则的值为______． 17. 如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为______cm． 18. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2024个正方形的面积为________． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解方程： 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 21. 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 22. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，且，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：∽； （2）若正方形的边长为，求的长． 23. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度． 24. 根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 25. （1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末质量调研 八年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共8分． 2．数学试题答题卡共8页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意． B．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C．中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法、减法、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题关键．根据二次根式的乘除法、减法、二次根式的化简逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：， ， ， 则， 故选：C． 5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 6. 已知点，，在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用反比例函数的性质先判断函数值的正负，再判断同一支上对应函数值的大小，即可求解． 【详解】解，且 ，，， 在第一象限随着的增大而减小， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 7. 如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 故选：． 8. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，且位似比为，则经过点的反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据位似变换的性质、相似三角形的性质求出，进而求出过点的反比例函数表达式． 【详解】解：∵点A在反比例函数上， ∴， ∵以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为， ∴， ∴， ∴过点的反比例函数表达式为：， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定，可判断①结论；根据线段中点和相似三角形的性质，可判断②结论；过点作交于点，于点，则四边形是平行四边形，证明，进而证明垂直平分，可判断③结论；设，，则，证明，得到，由勾股定理得到，可判断④结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，①结论正确； E是边的中点， ， ，， ， ， ，②结论正确； 如图，过点作交于点，于点， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ，③结论正确； 设，，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，④结论错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，由题意得，据此即可求解． 详解】解：由题意得： ∴ 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及二次根式化简的方法．先算除法，再化简二次根式即可． 【详解】解：， ， ， ； 故答案为：． 13. 已知方程的一个根是1，则它的另一根是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系，代入对应的数据计算即可. 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可得：， ∴， ∴方程的另一个根是4. 故答案为：4. 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 15. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围. 【详解】解：要使有两个不相等的实数根，则，， ， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 16. 如图，的两个顶点分别在反比例函数和的图象上，顶点在轴上．已知平行于轴，且的面积等于8，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，设交轴于点，则，，根据和图象所在的象限求出k值即可． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为点，设交轴于点． ， ． ∵点在反比例函数的图象上， ， ． ∵点在反比例函数的图象上， ． ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴， ， 故答案为：． 17. 如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：． 18. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第2024个正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求出前面3个正方形的边长，发现规律是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：∵正方形的点A的坐标为，点D的坐标为， ∴， 延长交x轴于点，作正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴第2个正方形的面积为：， 同理可得，，即第3个正方形的面积为：， …； ∴第2024个正方形的面积为：， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及一元二次方程的求解，注意计算的准确性即可. （1）根据二次根式混合运算法则即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【详解】解：（1）原式 （2）， ∴ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）9； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式； （2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可； （3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得： ∴反比例函数的表达式为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）． ∴点A的坐标为． ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵点C为直线与y轴的交点， ∴把代入函数，得 ∴点C的坐标为 ∴， ∴ ． 【小问3详解】 由图象可得，不等式的解集是或． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键． 21. 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】①；② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解以及根的判别式，注意计算的准确性即可．①根据题意求解方程，再分类讨论即可求解；②由题意得关于x的方程有两个相等是实数根，据此即可求解； 【详解】解：①时，原方程为： 解方程得： 当等腰三角形的三边长为：时， ∵， ∴此种情况不成立； ∴等腰三角形的三边长为： ∴的周长 ②∵等边三角形， ∴关于x的方程有两个相等是实数根， ∴ 解得： 22. 如图，在正方形中，、分别是边、上的点，且，，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：∽； （2）若正方形的边长为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质及相似三角形的判定定理证明即可； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴． 23. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】如图（见解析），过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得米，米，米，米，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， 由题意得：米，米，米，米，米， 米，米，米，米， ， ， ，即， 解得（米）， 则城楼高度为（米）， 答：城楼的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 24. 根据背景材料，探索问题． 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋． 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元． 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋． 任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用； 任务1：依据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，进而计算可以得解； 任务2：①依据题意，经两周后还剩余清明果为：，进而得解； ②依据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得方程，解得值后再结合第二周最低每袋要盈利元，进而可以判断得解． 【详解】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋， 又设第二周单价为每袋降低元， 第二周的单价为元，销量是袋． 故答案为：；． 任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为： ． 故答案为：． ②由题意得，第二周单价为每袋降低元， ． 或． 又第二周最低每袋要盈利元， ． ． ． 第二周的单价每袋应是． 答：第二周的单价每袋应是元． 25. （1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$