1.1.1空间向量及其运算（10知识点+9题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其运算 课程标准 学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律， 3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。 1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法: 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律: 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 知识点01 空间向量 1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． 2.模(或长度)：向量的大小． 3.表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点02几类特殊的向量 1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． 2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量． 3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． 4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． 5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 知识点03 空间向量的加法、减法与数乘 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 首尾相接首尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 知识点04 空间向量的加法和数乘运算律 1.加法交换律： 2.加法结合律： 3.数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 知识点05 向量共线及共线定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 知识点06 空间向量线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 知识点07 空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 知识点08 空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 知识点09 向量的投影 1.向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b 2．向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    知识点1O 共面向量 1.共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 3.空间四点共面的条件 已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 难点：空间向量的线性运算 示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 难点：向量共面问题 示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 【题型1：空间向量的基本概念】 例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【方法技巧与总结】 1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. 2.注意点：注意一些特殊向量的特性. ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 【题型2：空间向量的加减数乘运算】 例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 【题型3：空间向量共线问题】 例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（    ） A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【方法技巧与总结】 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. （2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使. 【题型4：向量的数量积】 例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 . 变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体中，，则 ． 变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【方法技巧与总结】 1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. 2.两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严区分. 3.在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0 4.在实数中，有，但是（）=（ 【题型5：利用空间向量求夹角】 例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ． 变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值. 变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体的棱长，，．    (1)求； (2)求与所夹角的余弦值． 变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【方法技巧与总结】 1.两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化； 2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 【题型6：利用空间向量求长度】 例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【方法技巧与总结】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小. 【题型7：投影向量】 例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【方法技巧与总结】 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度. 【题型8：共面问题】 例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 【题型9：最值取值范围问题】 例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，设，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 二、多选题 9．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 三、填空题 12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则 14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其运算 课程标准 学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律， 3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。 1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法: 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律: 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 知识点01 空间向量 1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． 2.模(或长度)：向量的大小． 3.表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【答案】A 【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD. 【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误； 对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确； 对于C，如果，则，C正确； 对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确. 故选：A. 【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断. 【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误； 对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误； 对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确； 对于D；若，，但不相等，故D错误； 故选：C 知识点02几类特殊的向量 1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． 2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量． 3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． 4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． 5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 知识点03 空间向量的加法、减法与数乘 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 首尾相接首尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，代入即可得出答案. 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 知识点04 空间向量的加法和数乘运算律 1.加法交换律： 2.加法结合律： 3.数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项． 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：D． 【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1）. （2）. 知识点05 向量共线及共线定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 知识点06 空间向量线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可. 【详解】（1） ∵是的中点， ∴； （2） ∵是的中点， ∴； （3） ∵是的中点， ∴. 知识点07 空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b 【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】 根据正三角内角为求解. 【详解】 由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】 由图形特征求向量夹角. 【详解】 连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 知识点08 空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则　|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b=     b·a     结合律 (λa)·b=⑩     λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=     a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算. 【详解】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， . 故答案为：. 知识点09 向量的投影 1.向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b 2．向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量. 【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．      故答案为：； 知识点1O 共面向量 1.共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 3.空间四点共面的条件 已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案. 【详解】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点，所以共面. 故选：B. 【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】 A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 难点：空间向量的线性运算 示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 难点：向量共面问题 示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 . 【答案】/ 【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】设，，，则， ， ， 由题意可知，、、共面，设， 即， 所以，，解得. 故答案为：. 【题型1：空间向量的基本概念】 例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【答案】(1)、、；， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案. （2）根据向量的加减运算即可得答案. （3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案. 【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的相反向量有：、． （2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有， ，，．（答案不唯一） （3）用“首尾规则”求解，则，． （答案不唯一） 【方法技巧与总结】 1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. 2.注意点：注意一些特殊向量的特性. ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 【题型2：空间向量的加减数乘运算】 例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误. 故选：D 变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简式子，即可得出结论. 【详解】由题意， 在三棱锥中，分别是棱的中点， , ∴ 故选：A. 变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，   因为，为的中点，所以， 又因为， 所以， 又，所以，解得：． 故选：B. 变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出的表达式即可求出的值. 【详解】由题意， 在四面体中， 是四面体 的棱的中点, ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C. 变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 【方法技巧与总结】 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 【题型3：空间向量共线问题】 例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则 解得： 故选：A. 变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（    ） A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由已知化简可得，即可判断. 【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n， 所以，即， 即，所以与共线． 又，有公共起点A， 所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB. 故选：A. 变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（       ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量，，满足，则∥ D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ 【答案】ABD 【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C 【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误， 对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确， 对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误， 故选：ABD 变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得 平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使 平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得 平面，故D错误. 故选：ABC.    变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示. （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【方法技巧与总结】 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. （2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使. 【题型4：向量的数量积】 例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】令， 则， ， . 故选：B 变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 【答案】13 【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值. 【详解】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体中，，则 ． 【答案】 【分析】根据即可得出答案. 【详解】解：在正方体中，因为，， 所以． 故答案为：2. 变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.    (1)试用表示向量; (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得,再由空间向量的线性运算即可求解; （2）先由空间向量的线性运算求得,再根据空间向量的数量积公式求解即可. 【详解】（1）因为点在棱的延长线上,且, 所以, 则. （2）由题意得, 则, 所以. 变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【答案】(1)1 (2)2 (3)0 【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可. 【详解】（1）在正四面体ABCD中， （2） （3） 在正四面体ABCD中，， 故 【方法技巧与总结】 1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. 2.两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严区分. 3.在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0 4.在实数中，有，但是（）=（ 【题型5：利用空间向量求夹角】 例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解. 【详解】解：设正四面体棱长为1， 设，，，则， ∵， ∴，，. ∵，分别为，的中点，，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． ∴与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ． 【答案】 【分析】利用，求出，再应用两向量的夹角公式即可求解. 【详解】设，由已知， 得，又， 则 ， 又，. 又，.所以异成直线的夹角为. 故答案为：. 变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值. 【答案】0 【分析】根据空间向量的运算，结合空间向量数量积的定义及夹角余弦公式即可得结论. 【详解】， 变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体的棱长，，．    (1)求； (2)求与所夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，，则可用前者表示，利用数量积可求其模长. （2）先求的模长及其数量积，利用公式可求夹角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则，，， ， ． 因为 ，所以． （2）因为 ， 所以．因为 ， 所以与所夹角的余弦值为． 变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】 （1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【方法技巧与总结】 1.两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化； 2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 【题型6：利用空间向量求长度】 例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则 . 设， 则,故. 由得 ， 得， 所以 ， 故选：D 变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】AC 【分析】依题意，，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，代入已知数据计算，即可求解． 【详解】依题意，， 平方得 . 因为a，b所成的角为，或. 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以； 当时，，， 代入数据可得， 所以，，所以. 综上所述，或，即OC的长为6或. 故选：AC. 变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案. 【详解】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ． 【答案】 【分析】由空间向量线性运算及数量积的定义及性质运算即可得答案. 【详解】如图，    可得. 则 . 故答案为： 变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 根据空间向量的运算法则，可得 . （2）解：因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 【方法技巧与总结】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小. 【题型7：投影向量】 例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可. 【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．    因为在直三棱柱中，，平面， 所以平面，且平面，所以． 又平面，，所以平面， 又平面，则． 所以向量在向量上的投影向量为， 由，，得， ，所以 则，即， 即向量在向量上的投影向量为. 故选：D 变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）． A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项. 【详解】因为 ，故A不正确，B正确． 如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC， 故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为， 由题意易得故，C不正确． ，D正确． 故选：BD 变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解. 【详解】由题知，因为，所以， 即 ， 所以. 故答案为： 变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 【答案】 【分析】 根据投影的定义结合已知条件求解即可. 【详解】 因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上投影为． 故答案为： 变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 【方法技巧与总结】 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度. 【题型8：共面问题】 例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果. 【详解】空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得：. 故选：C 变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间四点共面可得，解之即可. 【详解】因为四点共面，， 所以，解得. 故选：B. 变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值. 【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、， 即， 所以，， 所以，，所以，. 故选：B. 变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解. 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（    ） A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面 C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面 【答案】A 【分析】根据共面的推论即可求解. 【详解】，，，A，B，C，M四点共面. 故选:A. 变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值. 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 【题型9：最值取值范围问题】 例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点为，因为，， 所以， 又，则， 又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，， 所以， 所以， 所以当，反向时，，有最小值为； 当，同向时，，有最大值为. 故选：D. 变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得，再分析的范围求解即可. 【详解】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以. 当与反向，且时，有最小值，此时； 当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为． 故选：B 变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为， 故答案为： 变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 【答案】 【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解. 【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1， 当点在正方体的面的中心时，取得最小值1； 当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以； 故 ， 所以的最大值是，最小值是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解. 变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以： 或. 故答案为： 变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算公式化简，结合数量积的运算律化简，由此求出其取值范围即可. 【详解】取的中点为，的中点为， 因为，所以，即， 又， 因为， 所以，当且仅当方向相同或为零向量时等号成立； ，当且仅当方向相反或为零向量时等号成立； 因为正四面体的棱长为， 所以在中，， 所以，即，故， 所以，又， 所以，即. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则直接计算. 【详解】由题意可得， 而， 故选：B. 2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可. 【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误. 故选：D 3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可. 【详解】 ∵，，为两两互相垂直的单位向量， ∴，，，，，， ∴， ∵，∴，∴， 解得， 故选：C. 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，设，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解. 【详解】连接， . 故选：C 5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解. 【详解】如图，四面体，是的中点，    因为是的中点，所以 所以. 故选：A. 7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意； B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意； C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意； D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意； 故选：BCD. 10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 【答案】BD 【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。 【详解】对于A，若，但，的方向不确定，A错误； 对于B，若，两边平方得， 则，B正确； 对于C，，则，即得， 故，， 故， 而，故与的夹角为，C错误； 对于D，在正方体中，， 故四边形为平行四边形，故， 故，D正确， 故选：BD 11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 【答案】ACD 【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则 【答案】 【分析】 先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】 由题意可得， 所以． 故答案为：. 13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则 【答案】 【分析】根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故答案为： 14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 【答案】 【分析】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解； （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）． （2）因为， 所以． 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可； （2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）先计算，再开方即可求解. 【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以 ； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【详解】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】不妨设， 由于，所以即为直线，所成的角, 故, 又， 所以，因此异面直线，成角余弦值为， 故选：A 21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D．正方体的体积为 【答案】ABC 【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的棱长为， A选项， ，A选项正确； B选项， ，B选项正确； C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 故选：ABC 22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．    【答案】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 故答案为： 23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解， （2）根据向量的模长公式，即可代入求解. 【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，， 所以 （2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$