12.2 一次函数（第6课时，一元一次方程、不等式与一次函数）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.2 一次函数 第六课时 一元一次方程、不等式与一次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系， 会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式 的求解问题;（重点） 2. 学习用函数的观点看待解一元二次方程和一元一次不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.（难点） 情景导入 还记得下面的式子是什么吗？ 他们分别是一元一次方程与一元一次不等式，你还记得他们的解法吗？ 之前我们学过一元一次方程与一元一次不等式的解法它们与一次函数之间有什么联系呢？ 本节课我们就来探讨一下它们之间的联系与区别吧！ 1.一元一次方程与一次函数的关系 新知探究 （1）解方程 2x+6=0； 2x=-6 x= -3 （2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0？ O x y y=2x+6 A（0,6） B（-3,0） • • 我们先画出y=2x+6的图象 函数 y=2x+6 的图象与x轴交点坐标为 （-3,0）， 当y=0时，x=-3，而x=-3正是方程2x+6=0的解. 一次函数y＝2x＋6的图象与x轴交点的横坐标x＝－3就是方程2x＋6＝0的解． 由上例你发现了什么规律？ 因为，任何一个一元一次方程都可转化为 kx+b=0的形式，所以解一元一次方程kx +b =0，都可转化为求一次函数y = kx +b（k，b 为常数，且 k≠0）中y= 0 时的 x值.从图象上看，也就是求直线y = kx+b与x轴交点的横坐标. 概念归纳 一般地，一元一次方程 kx+b=0 的解就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. 一次函数一元一次方程的关系 直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝________． 解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)， 则x＝2时，y＝0， ∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2. 2 归纳总结：直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便． 典例剖析 函数 y=-2x+6的图像与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，图像经过第 象限. 分析:当y的值是0时,得出方程-2x+6=0,解得x=3.因此函数y=-2x+6的图像与x轴的交点坐标是(3,0).图像与y轴的交点的横坐标是0,当x=0时, y=6,因此图像与y轴的交点坐标是(0,6).由于h= -2<0,所以函数值随着自变量的增大而减小.又由于图像与y轴的交点在原点上方，因此图像经过第一、二、四象限. （3,0） （0,6） 一、二、四 练一练 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 总结归纳 2.一元一次不等式与一次函数的关系 新知探究 （1）根据 y=2x+6 的图像，你能分别说出一元一次不等式 2x+6＞0 和 2x+6＜0 的解集吗？ O x y y=2x+6 A（0,6） B（-3,0） • • 先画出y=2x+6的图象 解：由图象知， 当 x>-3 时，y>0， 即 2x＋6＞0； 当 x<-3 时，y<0， 即 2x+6<0. 任何一个一元一次不等式都可以转化为kx＋b>0(或kx＋b<0)的形式，所以解一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)，就是求使一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)取正值(或负值)时x的取值范围． 概念归纳 一次函数一元一次不等式的关系 课本例7 画出函数 y=-3x+6 的图象，结合图象： （1）求方程 -3x+6=0 的解； O x y • • y=-3x+6 A（0，6） B（2，0） 解:函数 y=-3x+6 的图象如图所示，图象与x轴的交点是（2,0）. 所以方程 -3x+6=0 的解就是交点B的横坐标：x=2. 典例剖析 O x • • y=-3x+6 A（0，6） B（2，0） 解：结合图象可知，y＞0时x的取值范围是 x＜2； y＜0时x的取值范围是 x＞2. 所以，不等式-3x+6＞0的解集是x＜2，不等式-3x+6＜0的解集是x＞2. （2）求不等式-3x+6＞0和-3x+6＜0的解集. 2.画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y 练一练 解：（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 一次函数与一元一次不等式的关系 　 y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围 从“函数值”看 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围 从“函数图象”看 总结归纳 课本练习 1.画出一次函数 y =-2x-6 的图象，结合图象求： （1）x 时，y = 0； （2）x 时，y>0； （3）x 时，y<0； （4）x 时，y> 6. 一次函数 y =-2x-6 的图象如下： =-3 <-3 >-3 <-6 2.画出函数 y =3x-9 的图象，结合图象： （1）求方程 3x-9 = 0 的解； （2）求不等式 3x-9≤0 的解集； （3）当 y = 3 时，求 x 的值； （4）当 y >3 时，求 x 的范围. 课本练习 一次函数 y =-2x-6 的图象如下： x=3 x ≤3 x =4 x >4 探测船上的声呐发出的超声波以1450 m/s的速度射向海底，海底再将超声波反射回来，经t s后声呐收到反射超声波.试求海底深度h m与时间t s之间的关系. 1. 解：由题意得2h=1450t，故h=725t . 拖拉机的油箱中装有油60 L，耕地时平均每时耗油5 L. 写出开始耕地后，油箱中剩油量Q L与耕地时间t h 之间的函数表达式，并画出函数图象. 2. 习题12.2 解：Q=60-5t(0≤t≤12)，图象如图所示. 判断下列各点中哪些在直线 y=-5x+1上？ A(-3，16)，B(2，9)， 3. 解：点A、点C在直线 y=-5x+1 上， 点B、点D不在直线上. 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象： （1）y=5x+3； （2）y=-5x -3； （3）y=x-4； （4）y=-x+4. 4. 解：图象如图所示. 填空： （1）当x=_______ 时，函数 y=-x+3 的值为0； （2）函数 y=-7x+1中，y随x的增大而_______； 5. 3 减小 （3）函数 y=mx-4 的图象经过点(-2，-8)， 则m=________，它的图象与x轴的交点坐标是___________，与y轴的交点坐标是___________. （4）一次函数y= (k2+1)x 的图象经过_______________象限. 2 (2，0) (0，-4) 第一、三 已知一次函数 y=kx-k，若y随x的增大而减小，那么，这个函数图象经过哪几个象限？ 6. 解：由题意得k<0，所以-k>0，所以这个函数图象经过第一、二、四象限. 某游乐场采取了浮动门票价格的方法来控制游客人数.在该方法实施过程中发现：每周游客人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系. 7. 在这样的情况下，如果限定票价在5~20元间浮动，那么每周游客人数最多可能是多少？ 解：一次函数图象经过点(15，4500)和点(10，7000). 设游客数y与票价x的一次函数关系式为 y=kx+b(k≠0)，将点坐标代入， 得 解得 即y=-500x+12000. 因为k=-500<0，y随x的增大而减小，且 5≤x≤20，所以当x=5时，y最大，此时y=9500，所以每周游客人数最多是9500人. 设y是x的一次函数，且x=1时，y=1； x=2时，y=4. (1) 写出y与x之间的函数表达式； 8. 解：(1)设 y=kx+b，把x=1，y=1； x=2，y=4代 入得 解得 所以 y=3x -2 . (2) 求x=0时，y的值； (3) 求y=10时，x的值. (2) 当x=0时，y=3×0-2=-2，即当x=0时，y的值是-2. (3) 当y=10时，10=3x-2，解得x=4，即当y=10时，x的值是4. (1)已知一次函数 y=kx+b的图象与直线y=-2x 平行，与y轴交于点(0，-3).求k与b的值； 9. 解：(1)因为一次函数 y=kx+b的图象与直线 y=-2x平行，所以k=-2. 又y=kx+b与y轴交于点(0，-3)，故b=-3. (2)已知直线 y=kx+b经过点(-4，9)，与x轴交于点(5，0).求k与b的值，并画出这条直线. (2)由题意得 解得 所以 y=-x+5. 其函数图象如图所示. 10. 若y与x-1成正比例，且x=2时，y=3，求y与x之间的函数表达式. 解：设 y=k(x-1)，把x=2，y=3代入得3=k(2-1)，所以k=3，则y与x之间的函数表达式为 y=3x-3. 11. 某一次函数的图象过点(-1，2)，且函数y的值随x的增大而减小.请写出符合上述条件的函数表达式（只写一个）. 解： y=-x+1（答案不唯一）. 12. 某一次函数的图象不经过第二象限，请写出一个符合条件的函数表达式. 解： y= x -1（答案不唯一）. 13. 一次函数y=ax+b与 y=abx（ab≠0），在同一平面直角坐标系中的图象应该是（ ）. C (A) (B) (C) (D) 14. 正比例函数y=2x的图象与一次函数y=-3x+k的图象交于点P(1，m). (1)求k的值； 解：(1)把点(1，m)的坐标代入y=2x得m=2，把点(1，2)的坐标代入y=-3x+k得-3+k=2，解得k=5. (2)求此正比例函数、一次函数的图象与x轴围成的三角形的面积. (2)如图所示， 令y=-3x+5=0， 得x= ∴点A的坐标为( ，0)，从而OA= . ∴S三角形OAP= . ≠≠≠ 15. 某气象台预报了当地次日0时至8时的气温随时间变化的情况，如图所示.其中0时至5时，均匀下降，5时至8时均 匀上升.问该地区次日0 时至8时期间气温在0℃ 以下的时间有多长？在 什么时间气温是0℃？ 解：该地区次日0时至8时期间气温在0℃以下的时间有3 h，3时 和6时的气温是0℃. ≠≠≠ 16. 声音在空气中传播的速度y m/s，简称音速，是气温x ℃的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速： 气温x /℃ 0 5 10 15 20 音速y /(m·s-1) 331 334 337 340 343 (1)求y与x之间的函数表达式，并画出图象； 解：(1)设 y=kx+b，把点(0，331)，(10，337) 代入得 解得 所以 y=0.6x +331 . 图象如图所示. (2)气温为22℃时，某人在看到烟花燃烧5 s后才听到声响，那么此人与燃烧的烟花所在地相距多远？ (2)当x=22时， y=0.6×22+331=344.2， s=5×344.2=1721 (m). 答：此人与燃烧的烟花所在地相距1721 m. 填空： 一元一次不等式-x+2<0的解集，可看作一次函数y=-x+2当y____时， x的__________； (2)如果一元一次方程2x+m=0的根是x=-1，那么一次函数y=2x+m的图象与x轴交点的坐标为______________； 17. <0 取值范围 (-1，0) 结合函数y=3x-12的图象，确定当x取何值时： (1) y=0； 18. 解：函数y=3x-12 的图象如图所示， (1)当x=4时，y=0； (2) y>0； (3) y<0. (2)当x>4时，y>0. (3)当x<4时，y<0. 画出函数y=-2x+3的图象，结合图象求： (1)方程-2x+3=0的解； 19. 解：函数y=-2x+3 的图象如图所示， (1)方程-2x+3=0的解 是x= ； (2) 不等式-2x+3<0的解集； (2)不等式-2x+3<0的解集是x> ； (3) 不等式组-3 ≤-2x+3 ≤ 7的解集； (3)如图，不等式组-3 ≤ -2x+3 ≤ 7 的解集是-2≤x≤3. 已知一次函数y=(3m-8)x+1-m的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数. (1)求m的值； 20. 解：(1)一次函数y=(3m-8)x+1-m的图象与y轴的负半轴相交，则1-m<0，y随x的增大而减小，则3m-8<0. 即 得1<m< 又m为整数，所以m=2. (2) 当x取何值时，0<y<4? (2)由(1)得y=-2x-1. 当0<y<4，即0<-2x-1<4时， 得 一游泳池有进水闸、放水闸各一个，单独进水4 h可以装满一池水，单独放水6 h可以放完一池水.当池中的水占满池的 时，同时打开进水闸和放水闸.设两闸开放的时间用x h表示，池中的水占满池的几分之几用y表示. 21. (1) 求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)y= (0≤x≤9). (2) 在平面直角坐标系中画出题(1)中的函 数图象. (2)图象如图所示. (3)当 y= 时，x=3，故两闸开放的时间为3 h. (3) 求泳池从有 池水到有 池水时两闸开放的时间. (－5,0) 分层练习-基础 1. 2. D x＞1 分层练习-基础 A －3＜x＜0 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 1.如图，直线y=ax+b（a=0）过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（ ） A.x=-3 B.x=4 C. D. A 分层练习-基础 分层练习-基础 2.（合肥蜀山区期末）若关于x的方程一2x+b=0的解为x=2，则直线y=-2x+b一定经过点（ ） A.（2，0）B.（0，3）C.（4，0）D.（2，5） A 3.一次函数y=kx+b中，x与y的部分对应值如下表所示： 如下表所示： x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 3 2 1 0 -1 ··· 则关于x的方程kx+b=0的解是 . x=1 分层练习-基础 4，如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求： （1）方程 kx+b=0 的解； （2）方程 kx+b=-3 的解. 解：（1）根据图象可知，当y=0时，x=2. 故方程kx+b=0的解是x=2； （2）根据图象可知，当y=-3时，x=-1. 故方程kx+b=-3的解是x=-1. 分层练习-基础 5.若函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0 的解集为（ ） A. x<3 B. x>3 C.x<6 D.x>6 B 分层练习-基础 6，（2022·江苏南通）根据图象，可得关于x的不等式kx>-x+3 的解集是( ) A. x<2 B.x>2 C. x<1 D. x>1 7，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集为 . D x<1 分层练习-基础 8·如图，函数y=ax-1的图象经过点（1，2），则不等式ax-1>2的解集是 . x>1 分层练习-基础 9.函数y=- x+3的图象如图所示，根据图象回答： （1）当x取何值时，函数值y等于0？ （2）当x取何值时，函数值y小于0？ （3）当x取何值时，函数的图象在x轴上方？ 解：（1）当x=2 时，y=0； （2）当x>2 时，y<0； （3）当x<2 时，函数的图象在x轴上方. 分层练习-基础 易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐标的关系不理解而致错易错点 10.直线y=kx+b经过A（2，1），B（-1，-2）两点，则不等式-2<kx+b<1的解集为 . -1<x<2 分层练习-基础 11.如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P（m，2），则关于x 的方程kx+b=2的解是( ) A. B.x=1 C.x=2 D.x=4 B 分层练习-巩固 12，如图，一次函数y=kx+b（k>0）的图象过点（一1，0），则不等式k（x-1）+b>0的解集是（ ） A.x>-2 B.x>-1 C.x>0 D.x>1 C 分层练习-巩固 13.对于实数 a，b，定义符号min{a，b}，其意义为当a>b 时，min（a，b）=b；当a<b 时，min{a，b）=a 例如：min{2，-1）=-1.已知函数y=2x-1，y=-x+3的图象如图所示，则关于x的函数y=min{2x-1，-x+3}的最大值为 . 分层练习-巩固 14，建立平面直角坐标系，画出函数y=-4x+8的图象，根据图象求： （1）方程-4x+8=0的解； （2）不等式-4x+8≤4 的解集； （3）如果y值在-4≤y<8的范围内，求相应的 x 的取值范围. 分层练习-巩固 解：函数y=-4x+8过点（2，0），（0，8），图象如图所示. （1）x=2； （2）观察函数图象可知：当函数值y=4时，自变量x=1.当x≥1时，函数值 y≤4，不等式-4x+8≤4的解集为 x≥1； 分层练习-巩固 （3）观察函数图象可知： 当函数值 y=-4时，自变量x=3， 当x≤3时，函数值y≥-4. 当函数值y=8时，自变量x=0， 当x≥0时，函数值 y≤8， ∴y值在-4≤y<8的范围内时，相应的x的取值范围是 0<x≤3. 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 kx＋b 横坐标 课堂反馈 A kx＋b＞0 取正值 取值范围 B 课堂反馈 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围. 课堂小结 2．一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点坐标为 ，由此可得 方程2x－3＝0的解为x＝　　. 3．已知方程2x＋b＝0的解是x＝－5，则一次函数y＝2x＋b与x轴的交点坐标为 ． (eq \f(3,2)，0) eq \f(3,2) 5．已知一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b＜0的解集是(　　) x －2 －1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 －1 －2 A.x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1 6．(锦州中考)如图，直线y1＝－x＋a与y2＝bx－4相交于点P，已知点P的坐标为(1，－3)，则关于x的不等式－x＋a＜bx－4的解集是 . 7．(葫芦岛中考)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(－2,4)，则不等式kx＋b＞4的解集为(　　) A．x＞－2 B．x＜－2 C．x＞4 D．x＜－4 8．(十堰中考)如图，直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x(kx＋b)＜0的解集为 . 9．已知一次函数y＝ax＋b的图象经过(3,0)，且y随x的增大而减小，求关于x的不等式(a－b)x＋4b＜0的解集． 解：由题意，得3a＋b＝0，∴b＝－3a. 把b＝－3a代入(a－b)x＋4b＜0，可得ax＋b＜0.又∵一次函数y＝ax＋b的图象经过(3,0)，且y随x的增大而减小，∴不等式ax＋b＜0的解集是x＞3.∴不等式(a－b)x＋4b＜0的解集是x＞3. 10．已知函数y1＝kx－2和y2＝－3x＋b相交于点A(2，－1) . (1)求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象； (2)利用图象求出：当x取何值时有：①y1＜y2；②y1≥y2； (3)利用图象求出：当x取何值时有：①y1＜0且y2＜0；②y1＞0且y2＜0. 解：(1)k＝eq \f(1,2)，b＝5, 图象略；　(2)①当x＜2时y1＜y2；②当x≥2时y1≥y2；　(3)①当eq \f(5,3)＜x＜4时，y1＜0且y2＜0；②当x＞4时，y1＞0且y2＜0. 知识点一：一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可转化为kx＋b＝0的形式，解一元一次方程kx＋b＝0，都可转化为求一次函数y＝ (k、b为常数，k≠0)中y＝0时的x的值．从图象上看，就是直线y＝kx＋b与x轴交点的 ． 1．(辽阳中考)如图，直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0,4)、B(－3,0)，则方程ax＋b＝0的解是(　　) A．x＝－3　　　　　 B．x＝4 C．x＝－eq \f(4,3) D．x＝－eq \f(3,4) 知识点二：一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都可转化为 (或kx＋b＜0)的形式，解一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)就是求使一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0) (或负值)时x的 ． 4．(湘潭中考)一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(　　) A．x≥2　 B．x≤2　 C．x≥4　 D．x≤4 $$