12.3 一次函数与二元一次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.3 一次函数与一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象 法解二元一次方程组;（重点） 2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数 形结合的思想方法; 3.经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看 待数学问题的辩证思想．（难点） 情景导入 上节课我们研究了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的联系 一般地，一元一次方程 kx+b=0 的解就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. 还记得一元一次方程与一次函数的联系吗？ 一元一次不等式与一次函数的联系是： 一般地，一元一次不等式 kx+b>0（或kx+b<0）的解集，就是使一次函数 y=kx+b （k，b为常数，且k≠0）取正值（或负值）时x的取值范围. 而使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解 回忆一下什么样的方程被称为二元一次方程 的方程 这个方程可以写出多少个解？ 这个方程化成 y=kx+b形式是什么？ y=-x+5 课本P50：将二元一次方程 3x+2y=6 可以转化成y=kx+b的形式 请在平面直角坐标系中画出 的图象 1.一次函数与二元一次方程 新知探究 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 … 解：1.列表 y 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 x -3 -2 -1 1 2 3 O 2.描点 3.连线 表中每一对x，y的值代入方程3x +2y =6都成立，所以每组有序数对都是方程3x +2y = 6的解.可见，二元一次方程3x +2y =6有无数多组解，解的全体叫做二元一次方程的解集.以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图，得到一条直线，这条直线就是一次函数y =-2x+3的图象. 根据这个例子你发现了什么规律？ 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数 y=kx+b （k，b为常数，且k≠0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 概念归纳 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 用流程图的方法表示二元一次方程与一次函数的关系为 概念归纳 1.下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　) C 典例剖析 点拨：直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合． 1.下面的有序数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？ A（2，0），B（3，-3），C（5，-9）， D（6，-10），E（-2，10），F（-3，15）. √ √ √ √ 2.把方程 化为 y=kx+b 的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. B 练一练 2.一次函数与二元一次方程组 新知探究 课本例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1： 与直线 l2：y=2x+6 的图象； （2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）； -2 2 x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • l2：y=2x+6 （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ x+2y=2 2x-y=-6 解：方程x+2y=2可以转化成 的形式，因此，直线l1： 上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解. x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • l2：y=2x+6 p （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ x+2y=2 2x-y=-6 你可以总结出二元一次方程组与一次函数的关系吗？用图像法解二元一次方程的步骤又是什么呢 一次函数与二元一次方程组的联系 用图象法解二元一次方程组步骤 (1)把二元一次方程化成一次函数的形式； (2)在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点； (3)交点坐标就是方程组的解； (4)检验其交点是否是方程组的解． 二元一次方程组的两个方程可以转化为两个一次函数．求解二元一次方程组实质就是求这两个一次函数图象交点坐标． 概念归纳 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 形 数 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值． 用流程图的方法表示二元一次方程组与一次函数的关系为 概念归纳 课本例2：利用函数图象解方程组： 5x-2y=4 ① 10x-4y=8 ② 解：对于方程①，有 x 0 2 y -2 3 过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： . x -4 -2 2 4 y 4 2 -2 -4 O • A • B 同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上. 所以方程①②所对应的直线都是通过A（0， -2）和B（2， 3）两点的直线l，所以原方程组有无穷多组解. 典例剖析 方程6x+4y=4对应直线l2： . 课本例3：利用函数图象解方程组： 3x+2y=-2 6x+4y=4 解：方程3x+2y=-2对应直线l1： . 作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解. x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O 典例剖析 已知方程组的图像，你能利用图像法说出下面两个方程组的解吗？ ① ② ① ② 想一想 当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式： a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？ 二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 概念归纳 （1）当 时，方程组有一组解； a1 a2 ≠ b1 b2 （2）当 时，方程组有无穷多组解； a1 a2 = b1 b2 c1 c2 = （3）当 时，方程组无解. a1 a2 = b1 b2 c1 c2 ≠ 概念归纳 B B 随堂练 A 随堂练 D 随堂练 x＜－5 随堂练 随堂练 课本练习 1.在平面直角坐标系中画出下列二元一次方程所对应的直线： （1）x - y = 0 ; （2）x + y = 0. 解：（1）二元一次方程 x - y=0 的图象就是一次函数 y = x的图象. 如图右图所示. （2）x+y=0 的图象即函数 y=- x 的图象，如图所示. 2.（1）下面的有序数对，哪些是二元一次方程 3x + y = 6 的解？ A（2，0），B（3，-3），C（5，-9）， D（6，-10），E（-2，10），F（-3，15）. （2）给出二元一次方程 3x + y = 6 任意五组非整数解. 解：(1)A(2,0),B(3,-3),C(5,-9),F(-3,15). （2）； ； ； ； 3.有 5 角、1 元的硬币各若干个，从中取出一些凑成4 元. 问有多少种不同的取法？ 解：5 种.设取5角的 x 个，1 元的 y 个，则问题即求 0.5x+y=4 的正整数解.解的办法有两种 x 0 2 4 6 8 y 4 3 2 1 0 方法一、列表 方法二：画图，由图象得直线通过的格点数. 4.既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？ 1. 求二元一次方程 x+4y=16的正整数解. 解：∵x+4y=16，∴y=4- ． ∴原方程的正整数解为 习题12.3 利用函数图象解下列二元一次方程组： 2. 解：(1)如图所示. 两直线的交点坐标为(2，-1)，所以方程组 的解是 (2)如图所示，两直线互相重合，该方程组有无穷多组解. (3)如图所示，两直线互相平行，该方程组无解. (4)如图所示. 两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组 的解是 在同一平面直角坐标系中画出直线 y1=-x+4 和y2=2x-5.根据图象： (1)求两条直线交点的坐标； 3. 解：(1)如图所示， 交点坐标为(3，1). y1=-x+4 y2=2x-5 (2)确定x分别取什么值时，y1=y2，y1>y2，y1<y2 . (2)由图象知， 当x=3时，y1=y2， 当x<3时，y1>y2， 当x>3时，y1<y2 . y1=-x+4 y2=2x-5 利用函数图象： (1)求出 的解 ； 4. 解：(1)如图所示. 方程3x-y-1=0和2x-y+3=0的图 象交点坐标为(4，11). 故方程组的解为 (2)求不等式3x-1>2x+3 的解集 . (2)由图象知，不等式3x-1>2x+3的解集是x>4. 一次函数 一条直线 交点 分层练习-基础 C C 分层练习-基础 在 是 分层练习-基础 直线 坐标 D 分层练习-基础 (3，－2) 分层练习-基础 A 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 B 3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 x＞3 ≤1 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 课堂反馈 课堂小结 在一次函数 y=kx+b的图象上 点( s , t ) x = s y = t 方程 ax+by=c 的解 从形到数 从数到形 每个二元一次方程都可转化为一次函数 1．直线y＝－x－2与y＝x＋3的交点在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则不等式kx＋b≤0的解集在数轴上可表示为的(　　) 3．(遵义中考)如图所示，直线l1：y＝eq \f(3,2)x＋6与直线l2：y＝－eq \f(5,2)x－2交于点P(－2,3)，不等式eq \f(3,2)x＋6＞－eq \f(5,2)x－2的解集是(　　) A．x＞－2 B．x≥－2 C．x＜－2 D．x≤－2 4．(通辽中考)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1,3)，则不等式kx＋b≥3的解集为(　　) A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≥3 D．x≥－1 5．如图，方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3,y＝2x))的解为　 　. 6．已知直线y＝kx＋b与x轴交于点(－5,0)，且当x＝3时，y＞0.则y＜0时，x的取值范围是 . eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2)) 7．画出函数y＝2x－1的图象，并利用图象求方程1－2x＝0的解． 解：如图所示，由图象知直线y＝2x－1与x轴的交点为(eq \f(1,2)，0)，∴方程2x－1＝0的解为x＝eq \f(1,2)，即1－2x＝0的解为x＝eq \f(1,2). 知识点一：一次函数与二元一次方程 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的形式，所以，每一个二元一次方程都对应一个 ，也对应 ．这样，解二元一次方程组，就转化为在平面直角坐标系中研究两条直线的 问题了． 1．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　) 2．已知二元一次方程3x－y＝1的一个解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b))，那么点P(a，b)一定不在(　　) A．第一、三象限　　　　　 B．第二、四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 3．点(2,3) (填“在”或“不在”)直线y＝2x－1上，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝3)) (填“是”或“不是”)二元一次方程2x－y＝1的一组整数解． 知识点二：一次函数与二元一次方程组 用图象法解二元一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内画出每一个二元一次方程所对应的 ，这两条直线若相交，其交点 就是方程组的解． 4．若直线y＝3x＋6与y＝2x－4的交点坐标为(a，b)．则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b))是下列哪个方程组的解(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－3x＝6,2y＋x＝－4)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－3x＝6,2y－x＝4)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝6,2x－y＝4)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝－6,2x－y＝4)) 5．已知二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝5,x＋y＝1))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－2))，则在同一平面直角坐标系中，直线y＝x－5与直线y＝－x＋1的交点坐标是 ． 6．已知直线y＝x－3与y＝2x＋2的交点坐标为(－5，－8)，则方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y－3＝0,2x－y＋2＝0))的解是 . eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－5,y＝－8)) 7．已知一次函数y1＝2x＋m与y2＝2x＋n(m≠n)的图象如图，则关于x与y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝－m,2x－y＝－n))解的个数为(　　) A．0个　 B．1个　 C．2个　 D．无数个 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,3x－2y－1＝0)) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0,3x－2y－1＝0)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0,3x＋2y－5＝0)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,2x－y－1＝0)) 9．(呼和浩特中考)若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－eq \f(1,2)x＋b－1上，则常数b等于(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．－1 D．1 10．两条直线y＝－3x与y＝kx＋b相交于点P(－1，m)，则m的值是 ，方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－3x,y＝kx＋b))的解是　 　. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝3)) 11．已知二元一次方程2x－y＝2. (1)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝y0 )) 为此方程的一组解，我们规定(x0，y0)为某一点的坐标，请你写出三组解对应的坐标，并将这三个点描在平面直角坐标系中； (2)观察这三个点的位置，你发现了什么？ 解：(1)答案不唯一，如(0，－2)、(1,0)、(2,2)，如图 (2)这三个点都直线y＝2x－2上． 12．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． (1)求b的值； (2)不解关于x、y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,y＝mx＋n))，请你直接写出它的解； (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由． 解：(1)因为点P(1，b)在直线y＝x＋1上，所以当x＝1时，b＝1＋1＝2；　 (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))；　 (3)直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：因为点P(1,2)在直线y＝mx＋n上，所以m＋n＝2，所以2＝n×1＋m，所以直线y＝nx＋m也经过点P. 13．如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)交点P的坐标(1,1)是一元二次方程组 的解； (2)不等式kx＋b＜0的解集是 ； (3)当x 时，kx＋b≥mx－n； eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x－1,y＝－\f(1,2)x＋\f(3,2))) (4)若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积． 解：当y＝0时，2x－1＝0，解得x＝eq \f(1,2)，所以M点的坐标为(eq \f(1,2)，0)；当x＝0时，y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)，则N点坐标为(0，eq \f(3,2))，所以四边形OMPN的面积＝S△ONB－S△PMB＝eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)－eq \f(1,2)×(3－eq \f(1,2))×1＝1. 　一次函数与二元一次方程的关系． 【例1】若点A(2，a)、B(b,3)、C(c，－4)都在直线y＝2x－3上，试求a、b、c的值，并判断这三个点的坐标是否为方程y－2x＝－3的解． 【规范解答】因为点A(2，a)、B(b,3)、C(c，－4)都在直线y＝2x－3上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2×2－3＝a,2b－3＝3,2c－3＝－4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝3,c＝－\f(1,2)))，所以A(2,1)、B(3,3)、C(－eq \f(1,2)，－4)，又因为1－2×2＝－3,3－2×3＝－3，－4－2×(－eq \f(1,2))＝－3.所以这三个点的坐标是方程y－2x＝－3的解． 　一次函数与二元一次方程组的关系． 【例2】图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看成是方程组 的解， 这个解是　 　. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－2x＝1,y＋x＝4)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝3)) 【思路分析】因为l1经过(0,1)、(1,3)两点，l2经过(1,3)和(4,0)两点，所以设l1：y＝k1x＋b1(k1≠0)，l2：y＝k2x＋b2(k2≠0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝b1,3＝k1＋b1))，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3＝k2＋b2,0＝4k2＋b2))， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b1＝1,k1＝2))，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝4,k2＝－1))，所以l1：y＝2x＋1，l2：y＝－x＋4.所以方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－2x＝1,y＋x＝4))，该方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝3)). 【方法归纳】利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标；反之，利用两个一次函数图象的交点坐标，也可以确定二元一次方程组的解． $$