12.3 一次函数与二元一次方程(3知识点+3题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

12.3一次函数与二元一次方程 课程标准 学习目标 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系 ①理解一次函数与二元一次方程的关系，会根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； ②理解二元一次方程组无数组解和无解的情况，知道二元一次方程组解的三种情况与、的系数及常数项的联系，会根据、的系数及常数项判定二元一次方程组的解的情况。 知识点01 二元一次方程与一次函数的关系 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 【即学即练1】 直线上的各点坐标都是方程 的解. 【答案】 【分析】根据二元一次方程与一次函数的关系求解即可． 【详解】由得：x-y=1，故直线上的各点坐标都是方程x-y=1的解． 故答案为． 【即学即练2】以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程与一次函数的关系求解即可． 【详解】由得：3y=－2x+5，∴，故以方程的解为坐标的点组成的图象． 故选D． 【即学即练3】以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先解出方程2x−y=1的二个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答． 【详解】解：二元一次方程2x−y=1的解可以为： 或． 所以，以方程2x−y=1的解为坐标的点分别为：（，0）、（0，-1）， 它们在平面直角坐标系中的图象如下图所示： ， 故选：B． 知识点02 用图像法来解二元一次方程组 （1）把二元一次方程化成一次函数的形式 （2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 （3）交点坐标就是方程组的解。 【即学即练4】利用图象求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点与二元一次方程的关系，将方程组内的每一个方程转化为用x表示y的式子，即函数关系式，再画出两条直线，从而确定交点，从而得解，正确绘图是解题的关键． 【详解】解：由得：， 画出两个一次函数的图象图下：    由图象知：是原方程组的解． 【即学即练5】如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点的坐标是， 故关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C 总结： 知识点03 二元一次方程组的解的情况与直线的位置关系 二元一次方程组的解的情况有三种： 【即学即练6】直线与的图象没有交点，则方程组的解的情况是（     ） A．有无数组解 B．有一组解 C．有两组解 D．没有解 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的解与一次函数交点的关系解答即可． 【详解】直线与的图象没有交点，则方程组没有解． 故选D． 【即学即练7】函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组 有（　　） A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定 【答案】C 【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点． 【详解】解：∵直线的交点即方程组的解， ∴函数与函数的图象只有一个交点，则二元一次方程组 有唯一解． 故选C． 数形结合的思想看一次函数与二元一次方程的关系： 【题型一：图象法解二元一次方程组】 例1．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点的坐标是， 故关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C 变式1-1.（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于，的方程组可化为： 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：B 变式1-2.如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两个一次函数的交点坐标为，那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：一次函数和的图象交于点， 点满足二元一次方程组；方程组的解是． 故答案为：． 【方法技巧与总结】两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解 【题型二：根据方程组解的情况判断两直线的位置关系】 例2．若方程组没有解，则直线与直线的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了两直线的交点和二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点横纵坐标是两直线解析式组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵方程组没有解， ∴直线与直线没有交点，即直线与直线平行， 故答案为：平行． 变式2．直线与平行,则方程组的解的情况是 ． 【答案】无解 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组解的关系．熟知两个一次函数平行无交点即可得到本题答案． 【详解】解:∵直线与平行, ∴两直线无交点, ∴方程组无解． 故答案为:无解． 【方法技巧与总结】 （1）将二元一次方程化为一次函数的形式。 （2）两直线平行：k值相等，b值不相等，方程组无解；两直线重合：k值相等，b值相等，方程组有无数解；两直线相交：k值不相等，方程组有唯一一组解。 【题型三：应用直线的交点坐标解决问题】 例3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，两个函数图象的交点坐标为 ； （2）若两个函数图象的交点在第三象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查两个函数的交点问题． （1）联立两个函数，求出方程组的解即可； （2）求出直线过定点，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 联立，解得：， ∴两个函数图象的交点坐标为； 故答案为：； （2）∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 如图：    直线绕着点A旋转，点B为与x轴的交点，坐标为， 当直线经过点时， 此时， 解得， 当直线与直线平行时， 此时， 由图象可知：当或时，两个函数图象的交点在第三象限， 故a的取值范围是或． 故答案为：或． 变式3-1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在直线上，且，求点的横坐标． 【答案】(1)，，； (2)8或； 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题． （1）联立直线与直线解析式求得点A的坐标，分别令， ，得出点B，C的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解； 【详解】（1）解：， 解得：， ， 直线分别与轴，轴交于点，点， 当时，，当时，， ，； （2）解：设， ， ， 即， 解得：或， 点的横坐标为8或； 变式3-2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）越来越多的酒店利用传统文化打造自己的独特风格.某主题酒店推出甲、乙两种“乐住卡”： 甲：按照次数收费； 乙：收取会员卡费用以后每次打折收费. 设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题. (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式； (2)入住多少次时，两者花费一样? 费用是多少? 【答案】(1)， (2)入住4次时，两者花费一样，费用是元； 【分析】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的交点，由图象得出正确信息是解题关键， （1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； 【详解】（1）设， 根据题意得，解得， ∴； 设，根据题意得：， 解得， ∴； （2）解方程组解得：， ∴入住4次时，两者花费一样，费用是元； 【方法技巧与总结】①联立两条直线的解析式（两个一次函数解析式）为二元一次方程；②解方程组求交点坐标；③题型：根据交点坐标的坐标特征求参数范围、表示三角形的面积、根据三角形的面积关系求参数范围。 一、选择题 1．若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线无交点，那么对应的二元一次方程组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象没有交点， ∴方程无解， 故选：D． 2．函数y＝ax＋b与函数y＝cx＋d的图象是两条相交直线，则二元一次方程组有（    ）解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．据此即可得答案． 【详解】函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条相交直线， ∴只有一个交点， ∴二元一次方程组有唯一解，即1个解， 故选：B． 3．既在直线上，又在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可联立两个直线的函数解析式，所得方程组的解就是这两个直线的交点坐标． 【详解】解：联立两直线的解析式可得：， 把①代入②得： 把代入②得： 即在直线上，又在直线上． 故选D． 4.（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识．首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，再结合图象得出方程的解． 【详解】解：函数经过点， ， 解得：， 由图象得：方程的解为， 故选：A． 5．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 6．图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组． 【详解】解：设一次函数的解析式为：． ①直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； ②直线经过、， ， 解得，， 函数解析式为，即； 因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：． 故选：B． 二、填空题 7．二元一次方程的解有 个，以该方程的解为坐标的点都在函数 的图象上；直线上的点的坐标都是二元一次方程 的解. 【答案】 无数 【分析】根据二元一次方程与一次函数的关系解答即可． 【详解】二元一次方程的解有无数个，以该方程的解为坐标的点都在函数的图象上；直线上的点的坐标都是二元一次方程的解． 故答案为无数，，． 8．已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两一次函数的交点坐标是两函数解析式所组成的方程组的解可直接得到答案． 【详解】解：∵已知关于、的二元一次方程组的解是， ∴一次函数和的图像交点坐标为． 故答案为． 9．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定P点坐标，然后根据二元一次方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：把）代入，即，解得， 所以P点坐标为， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为． 三、解答题 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)求的面积； (3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，准确计算． （1）联立，解方程组即可； （2）先求出， ，得出，，再根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据，得出 ，根据点C的纵坐标为3，得出点D的纵坐标为6，把代入求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组 得： 所以点C的坐标是． （2）解：对直线 ，当 时，； 当 时，解方程 ,得 ， ∴， ， ∴，， ∴的面积为：． （3）解：若 ，则 ， ∵点C的纵坐标为3， ∴点D的纵坐标为6， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为． 1.（23-24八年级上·安徽宣城·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（）熟练运用待定系数法就解析式；（）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：，根据题意得，解得， ∴， 联立， 解得， ∴此刻的时间为． 故选C． 2．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，可知，，由得，再根据的面积为即可求解． 【详解】解：对于，当时，，得，当时，， ∴，，即：，， ∵，，则，， ∴的面积为， 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程组，一次函数与一元一次不等式组． （1）把点A，D的坐标代入直线：，求出k和b的值，从而得到直线的解析式．解直线和直线的解析式组成的方程组，即可得到交点C的坐标．根据三角形的面积公式即可求的的面积． （2）由得，求解即可． 【详解】（1）∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 把代入直线：，得， ∴点B的坐标为， 如图所示，过点C作轴于点N， ∵，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴当时，， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3一次函数与二元一次方程 课程标准 学习目标 会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系 ①理解一次函数与二元一次方程的关系，会根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解； ②理解二元一次方程组无数组解和无解的情况，知道二元一次方程组解的三种情况与、的系数及常数项的联系，会根据、的系数及常数项判定二元一次方程组的解的情况。 知识点01 二元一次方程与一次函数的关系 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 【即学即练1】 直线上的各点坐标都是方程 的解. 【即学即练2】以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 【即学即练3】以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（    ） A．B．C．D． 知识点02 用图像法来解二元一次方程组 （1）把二元一次方程化成一次函数的形式 （2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。 （3）交点坐标就是方程组的解。 【即学即练4】利用图象求方程组的解． 【即学即练5】如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 总结： 知识点03 二元一次方程组的解的情况与直线的位置关系 二元一次方程组的解的情况有三种： 【即学即练6】直线与的图象没有交点，则方程组的解的情况是（     ） A．有无数组解 B．有一组解 C．有两组解 D．没有解 【即学即练7】函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组 有（　　） A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定 数形结合的思想看一次函数与二元一次方程的关系： 【题型一：图象法解二元一次方程组】 例1．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 变式1-1.（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 变式1-2.如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【方法技巧与总结】两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解 【题型二：根据方程组解的情况判断两直线的位置关系】 例2．若方程组没有解，则直线与直线的位置关系是 ． 变式2．直线与平行,则方程组的解的情况是 ． 【方法技巧与总结】 （1）将二元一次方程化为一次函数的形式。 （2）两直线平行：k值相等，b值不相等，方程组无解；两直线重合：k值相等，b值相等，方程组有无数解；两直线相交：k值不相等，方程组有唯一一组解。 【题型三：应用直线的交点坐标解决问题】 例3．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，两个函数图象的交点坐标为 ； （2）若两个函数图象的交点在第三象限，则a的取值范围为 ． 变式3-1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在直线上，且，求点的横坐标． 变式3-2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）越来越多的酒店利用传统文化打造自己的独特风格.某主题酒店推出甲、乙两种“乐住卡”： 甲：按照次数收费； 乙：收取会员卡费用以后每次打折收费. 设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息，解答下列问题. (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式； (2)入住多少次时，两者花费一样? 费用是多少? 【方法技巧与总结】①联立两条直线的解析式（两个一次函数解析式）为二元一次方程；②解方程组求交点坐标；③题型：根据交点坐标的坐标特征求参数范围、表示三角形的面积、根据三角形的面积关系求参数范围。 一、选择题 1．若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 2．函数y＝ax＋b与函数y＝cx＋d的图象是两条相交直线，则二元一次方程组有（    ）解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．既在直线上，又在直线上的点是（   ） A． B． C． D． 4.（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，函数和的图象相交于点，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 6．图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．二元一次方程的解有 个，以该方程的解为坐标的点都在函数 的图象上；直线上的点的坐标都是二元一次方程 的解. 8．已知关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图像交点坐标为 ． 9．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 10．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线 交于点 C． (1)求点 C 的坐标； (2)求的面积； (3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果的面积和的面积相等，求点D 的坐标． 1.（23-24八年级上·安徽宣城·期末）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线与x轴交于点与AB交于点，连结，则的面积为（    ）    A．4 B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$