第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：等比数列的有关概念 4 知识点2：等比数列的有关公式 4 知识点3：等比数列的性质 5 解题方法总结 6 题型一：等比数列的基本运算 6 题型二：等比数列的判定与证明 7 题型三：等比数列项的性质应用 9 题型四：等比数列前n项和的性质 10 题型五：奇偶项求和问题的讨论 11 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 12 题型七：等比数列的范围与最值问题 13 题型八：等比数列的实际应用 14 题型九：公共项与插项问题 16 04真题练习·命题洞见 18 05课本典例·高考素材 19 06易错分析·答题模板 20 易错点：不能灵活运用等比数列的性质 20 考点要求 考题统计 考情分析 （1）等比数列的有关概念 （2）等比数列的通项公式与求和公式 （3）等比数列的性质 2023年甲卷（理）第5题，5分 2023年II卷第8题，5分 2023年乙卷（理）第15题，5分 高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标： （1）理解等比数列的概念． （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）了解等比数列与指数函数的关系． 知识点1：等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列. 知识点2：等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【诊断自测】若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 知识点3：等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【诊断自测】在正项等比数列中，，是的两个根，则 . 解题方法总结 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 题型一：等比数列的基本运算 【典例1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列的前三项和为28且，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时， 【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知等比数列的前三项和为13，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 【变式1-4】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的前项和为，则其公比（    ） A． B． C． D． 题型二：等比数列的判定与证明 【典例2-1】（2024·河南·三模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，为不等于0的常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若成等差数列，则对于任意的正整数，，，是否成等差数列？若成等差数列，请予以证明；若不成等差数列，请说明理由． 【典例2-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.证明：是等比数列； 【方法技巧】 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 【变式2-1】（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足 (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【变式2-2】（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)证明是等比数列． 【变式2-3】已知数列和满足， ，.证明：是等比数列，是等差数列. 【变式2-4】已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.设，证明：是等比数列. 【变式2-5】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足． 证明：，使得数列成等比数列； 题型三：等比数列项的性质应用 【典例3-1】（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 【典例3-2】（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列为正项等比数列，若，，则 ． 【方法技巧】 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【变式3-1】在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【变式3-2】若等比数列满足，则等于 ． 【变式3-3】已知等比数列的各项均为正数，且，则 ， ． 【变式3-4】（2024·陕西·模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ． 题型四：等比数列前n项和的性质 【典例4-1】记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【典例4-2】设等比数列的前项和是.已知,，则 . 【方法技巧】 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 【变式4-1】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 【变式4-2】已知等比数列的前n项和，则 ． 【变式4-3】（2024·高三·江苏苏州·期末）设Sn是等比数列的前n项和，若，则 . 【变式4-4】数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，（m为正偶数），则的值为 ． 题型五：奇偶项求和问题的讨论 【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，是数列的前项和，若已知，那么的值为（    ） A．322 B．295 C．293 D．270 【方法技巧】 求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类． 【变式5-1】已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）记为数列的前n项和，当时,．且． (1)求，； (2)（i）当n为偶数时，求的通项公式； （ⅱ）求． 【变式5-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 【变式5-4】已知数列满足，，为参数且. (1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得数列成等比数列，若存在，求的值，无需证明. (2)当时，求的前项和；试给出前项和表达式. 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 【典例6-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 . 【典例6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 . 【方法技巧】 （1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列． （2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列． 【变式6-1】（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= . 【变式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 【变式6-3】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【变式6-4】（2024·陕西安康·三模）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 题型七：等比数列的范围与最值问题 【典例7-1】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【典例7-2】（多选题）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧】 等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项。 【变式7-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【变式7-3】（多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 【变式7-4】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式7-5】（多选题）（2024·福建三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047 题型八：等比数列的实际应用 【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【典例8-2】（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握等比数列的应用具有实际意义。 【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，……若，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式8-2】如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 题型九：公共项与插项问题 【典例9-1】将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为 ． 【典例9-2】已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 . 【方法技巧】 公共项与插项问题是数列研究中的重要内容，具有广泛的应用背景。 公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数。 插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的修正等方面。 综上所述，公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题，对于深入理解数列的性质和应用具有重要意义。 【变式9-1】已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为 . 【变式9-2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【变式9-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． (1)若，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【变式9-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2024年上海秋季高考数学真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 1．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 2．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 3．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 4．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值． 易错点：不能灵活运用等比数列的性质 易错分析：解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质，以及前n项和的性质，正确运用学过的知识，进行合理计算即可. 【易错题1】在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【易错题2】等比数列中，，，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：等比数列的有关概念 4 知识点2：等比数列的有关公式 5 知识点3：等比数列的性质 5 解题方法总结 6 题型一：等比数列的基本运算 7 题型二：等比数列的判定与证明 10 题型三：等比数列项的性质应用 13 题型四：等比数列前n项和的性质 15 题型五：奇偶项求和问题的讨论 18 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 22 题型七：等比数列的范围与最值问题 24 题型八：等比数列的实际应用 28 题型九：公共项与插项问题 31 04真题练习·命题洞见 36 05课本典例·高考素材 38 06易错分析·答题模板 41 易错点：不能灵活运用等比数列的性质 41 考点要求 考题统计 考情分析 （1）等比数列的有关概念 （2）等比数列的通项公式与求和公式 （3）等比数列的性质 2023年甲卷（理）第5题，5分 2023年II卷第8题，5分 2023年乙卷（理）第15题，5分 高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标： （1）理解等比数列的概念． （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）了解等比数列与指数函数的关系． 知识点1：等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且. 证明：数列是等比数列. 【解析】证明：由题可得，， 则，， ∴， 由于，，∴， 故，则， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. 知识点2：等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 【诊断自测】若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 知识点3：等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【诊断自测】在正项等比数列中，，是的两个根，则 . 【答案】 【解析】由韦达定理得， 由于为正项数列， 故， . 故答案为： 解题方法总结 （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为 等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 题型一：等比数列的基本运算 【典例1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等比数列中，又，可得，解得，故C错误； 又，，故D正确； 又，，所以，故B错误； 又，，， 故不成立，故A错误． 故选：D． 【典例1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列的前三项和为28且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设公比为，则，即， 解得（负值舍），所以. 故选：C. 【方法技巧】 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，， 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论： 当时，；当时， 【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设数列的公比为，由得，所以， 又因为各项均为正数， 所以， 由得，所以， 故， 故选：A. 【变式1-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知等比数列的前三项和为13，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由，得，解得， 由的前三项和为13，得，解得， 因此等比数列的通项，所以. 故选：B 【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（    ） A．157 B．156 C．74 D．73 【答案】D 【解析】由等比中项性质知. 由成等差数列，得，所以， 所以等比数列的公比，所以， 所以. 故选：D. 【变式1-4】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的前项和为，则其公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 因为，若，由，得到，不满足，所以， 由，得到①，由，得到②， 由①②得，整理得到，解得， 故选：C. 题型二：等比数列的判定与证明 【典例2-1】（2024·河南·三模）已知数列的各项均不为0，其前项和为，为不等于0的常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若成等差数列，则对于任意的正整数，，，是否成等差数列？若成等差数列，请予以证明；若不成等差数列，请说明理由． 【解析】（1）证明：因为，① 所以，② ②①，得，即． 当时，，即，所以， 所以对，，即是公比为的等比数列． （2）对任意正整数成等差数列．证明如下： 由成等差数列，得，且， 即， 化简得，即． 因为，， 所以， 故对于任意的正整数成等差数列． 【典例2-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，.证明：是等比数列； 【解析】因为数列中，，， 所以，且， 所以是等比数列，公比为2，首项为2 【方法技巧】 等比数列的判定方法 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 【变式2-1】（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足 (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; 【解析】（1）由 可得；；； （2）证明：由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； 【变式2-2】（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)证明是等比数列． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为， 则，解得， 则； 设正项等比数列的公比为，则，， 由题意，可得，解得或（舍去）， 故. （2）令，则， 故是以为首项,公比为的等比数列. 【变式2-3】已知数列和满足， ，.证明：是等比数列，是等差数列. 【解析】由题意可知，，，， 所以，即， 所以数列是首项为、公比为的等比数列； 因为， 所以，数列是首项、公差为的等差数列． 【变式2-4】已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.设，证明：是等比数列. 【解析】证明：当时，线段的中点为，， 则. 由得， 所以，即. 因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列. 【变式2-5】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足． 证明：，使得数列成等比数列； 【解析】若，数列成等比数列， 则存在非零实数，使得， 即，整理得①． 因为，所以②． 由①②对应项系数相等得解得 所以． 因为，所以． 所以数列的各项均不为0，所以． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，使得数列成等比数列． 题型三：等比数列项的性质应用 【典例3-1】（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 【答案】 【解析】由等差数列的性质可知，，即，而， 根据等比数列的性质可知，，则，， 所以. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列为正项等比数列，若，，则 ． 【答案】 【解析】由 ， 由等比数列的性质可得：， ， ∴，又，∴． 故答案为:． 【方法技巧】 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【变式3-1】在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【答案】3 【解析】. 故答案为：3 【变式3-2】若等比数列满足，则等于 ． 【答案】 【解析】等比数列满足， 则， 所以. 故答案为：. 【变式3-3】已知等比数列的各项均为正数，且，则 ， ． 【答案】 3 9 【解析】由等比中项的性质可得， 又等比数列的各项均为正数，则． 由对数的运算性质得， ． 故答案为：3，9 【变式3-4】（2024·陕西·模拟预测）等比数列满足：，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，等比数列满足：， 所以，且， 所以， 当且仅当时等号成立，此时. 所以的最小值为. 故答案为： 题型四：等比数列前n项和的性质 【典例4-1】记为等比数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】或 【解析】设的公比是， ，同理， 由已知，否则公比，，与已知矛盾， 所以也成等比数列，， 又，，所以，解得或， 又，所以与同号，因此， 所以，，， 若，则，，即， 若，则，，即． 故答案为：或． 【典例4-2】设等比数列的前项和是.已知,，则 . 【答案】13 【解析】因为是等比数列的前项和且， 所以，， 也成等比数列， 则. 因为,， 所以，解得. 所以. 故答案为：. 【方法技巧】 （1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为． ①若共有项，则；②若共有项，． （2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为． 【变式4-1】已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 . 【答案】 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， 由，得，因为，所以，所以，. 故答案为：. 【变式4-2】已知等比数列的前n项和，则 ． 【答案】2 【解析】由题设，， 若时，，故与矛盾， ∴，即，显然成立. 故答案为：2. 【变式4-3】（2024·高三·江苏苏州·期末）设Sn是等比数列的前n项和，若，则 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为q，由已知，因为，， ，，， ． ∴． 故答案为：． 【变式4-4】数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，（m为正偶数），则的值为 ． 【答案】 【解析】令，，， q为等比数列的公比，设d为等差数列的公差， ∴， ∴， 同理， ∴，结合，，， 可得：，解得或， 由于m为正偶数，故不合题意； 设，同理可知， 可得， ∴， 故答案为： 题型五：奇偶项求和问题的讨论 【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【解析】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，是数列的前项和，若已知，那么的值为（    ） A．322 B．295 C．293 D．270 【答案】A 【解析】∵，由可知，数列的前项是首项为，公比为的等比数列， 故为奇数，为奇数，所以从第项开始是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故选：A 【方法技巧】 求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类． 【变式5-1】已知数列满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，当为奇数时，， 此时为偶数，则 ，所以， 即， 所以， 即，即. 故选：B. 【变式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）记为数列的前n项和，当时,．且． (1)求，； (2)（i）当n为偶数时，求的通项公式； （ⅱ）求． 【解析】（1）令，可得； 令，可得； 因为，可得，. （2）（i）当n为偶数时，则，， 可得，且， 可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列， 则，所以（n为偶数）； （ⅱ）当n为偶数时，则，即， 可得， 所以 ， 所以. 【变式5-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 【解析】（1）设数列的公差为d， 依题意，， 即，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以， ， 恒成立， 令， 由，由于，所以. 所以 所以的最小值为4. 【变式5-4】已知数列满足，，为参数且. (1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得数列成等比数列，若存在，求的值，无需证明. (2)当时，求的前项和；试给出前项和表达式. 【解析】（1）由递推式可得； ； 要使得为等比数列，则必有， 即，且，解得， 此时， 即，而 所以当时，数列为等比数列； （2）当时，，； 当时，， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 设，则， 所以数列的前项和； 当时，， 即， 所以数列是以，为公比的等比数列， 设， 则数列前项和， 故， 即， 又； 令，即， 代入，得； 令，即，代入，得； 故 . 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 【典例6-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足成等比数列，则数列前6项的和为 . 【答案】 【解析】设数列公差为，由成等比数列可得， 即，即，因为公差不为0，故. 故. 故前6项的和为. 故答案为： 【典例6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列为各项均不相等的等比数列，其前项和为，且成等差数列，则 . 【答案】 【解析】设数列公比为，则， 成等差数列，， 即，整理得， 解得，或（舍去）， ∴ 故答案为： 【方法技巧】 （1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列． （2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列． 【变式6-1】（2024·湖北荆州·三模）若实数成等差数列，成等比数列，则= . 【答案】 【解析】实数成等差数列，则等差数列的公差为， 成等比数列，则， 由于等比数列奇数项同号，所以，所以，则. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列的前n项和为，是等比数列，且，，则的最小项是第 项． 【答案】2 【解析】设的公比为，故， ，可得， 设的首项为，公差为，故得， 化简得，解得，故， 故当最小时，，故得是的最小项，即的最小项是第2项． 故答案为：2 【变式6-3】记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，， 即，解得，即， 因此 所以当或时，有最小值. 故答案为： 【变式6-4】（2024·陕西安康·三模）已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解析】设方程的四个根由小到大依次为，，，， 不妨设的一根为1，则另一根为27，所以， 由等比数列的性质可知，所以，， 所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得. 故选：C. 题型七：等比数列的范围与最值问题 【典例7-1】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【解析】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 【典例7-2】（多选题）（2024·湖北·二模）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解析】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 【方法技巧】 等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项。 【变式7-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项的积为，且公比，若对于任意正整数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意，在时取得最小值，所以为单调递增数列，所以，所以A正确，B错误； 当时，，满足题意，所以C错误； 由可得，即，所以，所以D正确． 故选：AD． 【变式7-2】（多选题）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【解析】，或，，，同号， 且，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选:AB 【变式7-3】（多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ） A． B．当时，最小 C．当时，最小 D．存在，使得 【答案】AC 【解析】对于A，∵，，∴，又，， ∴，故A正确； 对于B，C，等比数列满足，公比，， ， ， ， 为递增数列， 由等比数列的性质，， 又，， ，， ∵，， ，∴， ∵，，，∴，则， ，即， 为递增数列，故当时，最小，故B错误，C正确； 对于D，当时，，为递增数列，， 故D错误. 故选：AC 【变式7-4】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解析】A项，且，而和异号. 由于知，，即，，，故A项正确； B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列， 且，所以，那么，故B项正确； C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误； D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上. 所以的最大值为，故D项正确， 故选：ABD 【变式7-5】（多选题）（2024·福建三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047 【答案】BC 【解析】A.由条件可知，，与同号，所以，则， 而，则公比， 若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾， 若，则，则那么，与已知矛盾， 只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误； B.因为，单调递增，所以， 则，即，故B正确； C.因为，且，所以当时，最小，故C正确； D.根据等比数列的性质可知，，， 所以当时，的最小值为4046，故D错误. 故选：BC 题型八：等比数列的实际应用 【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【解析】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 【典例8-2】（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记年后得到的本利和为，根据题意知， 即数列是一个首项为，公比为的等比数列， ∴该同学年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为： （元）. 故选：A 【方法技巧】 等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握等比数列的应用具有实际意义。 【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，……若，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题知，，，…，， ∴， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴， 故选：B． 【变式8-2】如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：A 【变式8-3】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】设第天水塘中的荷花朵数为，则， 设第天池塘内开放荷花的数量为，则，， ， 当时，， 当时，， 所以荷花的数量在第7天达到最大. 故选：B. 【变式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 设第三角形的斜边长为，面积为， 由题意可知：，，， 则，， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以所作的所有三角形的面积和为. 故选：D. 题型九：公共项与插项问题 【典例9-1】将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为 ． 【答案】 【解析】由题意令，即2不是数列与的公共项； 令，即4是数列与的公共项； 令，即8不是数列与的公共项； 令，即16是数列与的公共项； 依次类推，可得数列：， 即是首项为4，公比为4的等比数列， 故数列的前n项的和为 ， 故答案为： 【典例9-2】已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为 . 【答案】77 【解析】在之间插入个1，构成数列， 所以共有个数， 当时，，当时，， 由于，所以. 故答案为：. 【方法技巧】 公共项与插项问题是数列研究中的重要内容，具有广泛的应用背景。 公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数。 插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的修正等方面。 综上所述，公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题，对于深入理解数列的性质和应用具有重要意义。 【变式9-1】已知数列满足，在和之间插入个1，构成新的数列，则数列的前20项的和为 . 【答案】77 【解析】在之间插入个1，构成数列，而， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故答案为： 【变式9-2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【解析】（1） 由 得： ∵ 则是首项，公差为2的等差数列，∴， 又当时，得， 当，由…① …② 由①－②整理得：， ∵，∴，∴， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故； （2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，； ∴． 【变式9-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． (1)若，求； (2)求不等式的解集； (3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【解析】（1），第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， （3）因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【变式9-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式． 【解析】（1），， 当时，， 当时，，即， 而，满足上式， 所以数列的通项公式为； 若数列满足，（，）， 则， 从而数列的通项公式为； （2）令，解得，这表明， 从而只能， 所以， 所以数列的通项公式为. 【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，解得， 所以由等差数列的通项公式可得：． 由得数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以由等比数列的通项公式可得： （2）令，则可得， 所以 ， 即对于数列中的任意一项，都在数列中存在公共项， 所以数列是数列的子数列，从而可得， 所以． 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【解析】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 5．（2024年上海秋季高考数学真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 1．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【解析】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 2．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 【解析】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 3．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【解析】（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 4．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值． 【解析】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以 当时，最大， 即 ，解得：， 此时 易错点：不能灵活运用等比数列的性质 易错分析：解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质，以及前n项和的性质，正确运用学过的知识，进行合理计算即可. 【易错题1】在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【答案】4 【解析】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 【易错题2】等比数列中，，，则 【答案】 【解析】等比数列中，所有偶数项符号相同 ，，则 所以. 故答案为：8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$