1.1 数列的概念（第2课时）（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 第二课时 数列的递推公式 1.1 数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 4.会求数列的最大(小)项. 情景导入 同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛. 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 观察可得： 自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1， 即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1. 依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N＋). 1.数列的递推公式 新知探究 例 1.某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次（一个分裂为两个），经过12h，由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞? 解 设经过n h，这种细胞由 1个可繁殖成an个，细胞的个数形成一个数列{an}． 由题意，细胞每小时分裂一次，得an+1=2an，(n≥1)． 由a1=2，并根据an+1=2an，得a2 =4， 依此类推，a3=23，…，a12=212=4 096．
 因此经过12 h，这种细胞由1个可繁殖成4 096 个． 像这样，如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法． 许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型，而且这种方法便于计算机编程进行计算． 概念归纳 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 概念归纳 例2（课本例4）根据递推公式和初始条件， 写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式． 解 反复利用递推公式，列表如下： n 1 2 3 4 5 …… n an 1 …… 3 7 15 31 2n-1 于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31， 猜想数列{an}的通项公式为2n-1． 例3（课本例5）2 500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1,3,6,10,15，…这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”.记图中圆点的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系. 由图可知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个圆点，即得到第n＋1个“三角形数”图案，因此an＋1＝an＋n＋1(n≥1)，a1＝1为数列{an}的一个递推关系. 2.观察下图，写出点所成数列的一个通项公式. 解 由图可知， a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，…… 而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此， an+1=an＋3(n≥1)，a1=4 为数列{an}的一个递推关系． 数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1． 课本练习 如果数列{an}的前n项和Sn，与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 我们把数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 常记作Sn，即 数列的前n项和可以看成以正整数集N+（或它的有限子集）为定义域的函数Sn= f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….． 2.数列的前n项和 新知探究 例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式an=2n－1． （1） 求S1，S2，S3，S4的值； （2）猜想数列{an}的前n项和公式Sn； （3）求Sn-1 (n≥2)． 解：（1）依题意，得 S1=a1=1， S2=a1＋a2=1＋3=4， S3=a1＋a2＋a3=1＋3＋5=9，S4=a1＋a2＋a3＋a4=1＋3＋5＋7=16； （2）猜想 Sn=n2； （3）因为Sn=n2，所以用“n－1”替换上式中的“n”，可得Sn-1=(n－1)2． 典例剖析 记数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，那么an和Sn之间有什么关系呢？ 因为Sn=a1＋a2＋…＋an， 所以Sn－1=a1＋a2＋…＋an－1，n≥2， 两式相减，可得 an=Sn－Sn－1，n≥2 又a1=S1，所以 思考探究 13 例5.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2＋n，求数列{an}的通项公式an． 解： 当n≥2时， an=Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 又当n＝1时，S1=12＋1=2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式an＝2n． 典例剖析 14 例6.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n－1，求{an}的通项公式an． 解： 当n≥2时， an=Sn－Sn－1＝(n2－2n－1)－[(n－1)2－2(n－1)－1]＝2n－3， 又当n＝1时，S1=12－2×1－1=－2，不符合上式， 所以数列{an}的通项公式 典例剖析 15 由数列{an}的前n项和公式Sn求通项公式an： （1） 当n≥2时，用“n－1”替换Sn中的“n”，求得Sn－1； （2）两式相减可得an=Sn－Sn－1，n≥2； （3）将n＝1代入Sn，求得a1=S1； （4）若a1不符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则 若a1符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则可以把式子统一起来． 概念归纳 16 概念归纳 数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法． 数列的前n项和公式： 数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，常记作Sn， 如果Sn与数列{an}的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列{an}的前n项和公式． 问题1： 我们回顾一下，函数有哪些基本性质呢？ 单调性 奇偶性 对称性 周期性 最值 …… 问题2： 数列也是函数，那么数列有哪些基本性质呢？ 3.数列的单调性 新知探究 （1）2，4，6，8，10，12，14，16； （2） （3）110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95； （4）0，0，0，0，… ； （5）1，2，0，1，2，0，1，2，0，…． 下面，我们先以本节开头给出的5个数列展开分析，类比函数的单调性能否得出数列的单调性的概念呢？ 对于数列①，从第 2 项起，每一项都大于它的前一项； 对于数列②，从第 2 项起，每一项都小于它的前一项； 对于数列④，它的每一项都相等； 对于数列③、⑤，从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项． （1）2，4，6，8，10，12，14，16； （2） （3）110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95； （4）0，0，0，0，… ； （5）1，2，0，1，2，0，1，2，0，…． 我们可以发现： 概念归纳 一般地，对于一个数列{an}， 如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an+1> an ，那么这个数列叫作递增数列； 如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an+1< an ，那么这个数列叫作递减数列； 如果各项都相等，即an+1= an ，那么这个数列叫作常数列； 如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列． 从数列的图象上看（如下图所示），递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点，递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点，摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点，常数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 例 6 判断下列数列{an}的单调性： 课本例题 例 6 判断下列数列{an}的单调性： 课本例题 要判断数列{an}的单调性，从单调性的定义来看，我们只需比较 an+1与an的大小，而作差法是比较大小常用的一种方法． 例 6 判断下列数列{an}的单调性： 利用函数的单调性也是判断数列{an}的单调性的一种常用方法． 若y=f (x)在[1，+∞)单调递增（或递减），则数列{an}（其中an=f (n)）是递增数列（或递减数列）．反之不一定成立． 课本例题 例 7 已知则数列{an}的通项公式为，判断该数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． 课本例题 26 概念归纳 数列的单调性： an+1> an ⟺ 递增数列； an+1< an ⟺ 递减数列；an+1= an ⟺ 常数列； 如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列． 数列的单调性的判断： （1）作差法（比较与的大小）； （2）利用数列的通项公式所对的函数的单调性判断． 数列的其他性质： （1）最值：利用数列的单调性求最值，或求对应函数的最值(注意变量取正整数)； （2）周期性：可以通过列举直观感知数列的周期． 27 例1　(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋＝1(n≥2且n∈N＋) ，则 a2 022＝(　　) A．－1 B． C．2 D． 　解析：由已知得：an＝1－， 可求a2＝，a3＝－1，a4＝2， ∴数列{an}的周期为3， a2 022＝a3＝－1，选项A正确． 典例剖析 题型1　根据递推公式求数列的项 A (2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________． 364 解析： 依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1， 所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364. 1.(1)[2022·重庆巴蜀中学高二期中]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，an＋2＝(n∈N＋)，则a20＝___． 2 解析：由已知， a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2， 因此数列{an}是周期数列，周期为6， a20＝a2＝2. 练一练 (2)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．结合图形的构成可猜想a2 021－a2 020＝________． 2 023 解析： 由题意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…， 所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2， a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，… 由此我们可以推断：当n≥2时，an－an－1＝n＋2， 故a2 021－a2 020＝2 021＋2＝2 023. 例2　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题： 已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an； 解析：n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1. 典例剖析 题型2　数列递推公式与通项公式的关系 (2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N＋)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N＋)，求通项an. 解析： n≥2时，an＝a1···…· ＝1···…·＝. a1＝1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式是an＝.  由数列的递推公式求通项公式的两种方法 归纳总结 2.已知数列{an}满足a1＝2，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋) ，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2n B． C．n2＋1 D．n＋1 解析：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1， 即＝，则＝＝＝，…，＝，n≥2， 由累乘法可得＝n，所以an＝2n(n≥2)， 又a1＝2，符合上式，所以an＝2n. A 练一练 例3　已知数列{an}的通项公式是an＝，判断该数列的单调性． 典例剖析 题型3　数列单调性的判断 解析：方法一(作差法)　 因为an＋1－an＝＝＝>0， 所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立，所以数列{an}是递增数列． 方法二(作商法)　因为an＝>0， 所以＝＝＝>1， 所以an＋1>an对任意的n(n∈N＋)都成立．故数列{an}是递增数列． 方法三(函数性质法)　an＝＝＝2－. 由于函数y＝2－在[1，＋∞)上单调递增， 因此数列{an}是递增数列．  判断数列单调性的四种方法 归纳总结 3.下列数列是递增数列的是(　　) A．{1－3n} B．{3n－2n＋2} C．{2n－n} D．{(－3)n} 解析：对于A，令an＝1－3n，则a1＝－2，a2＝－5，不合题意； 对于B，令an＝3n－2n＋2，则a1＝－5，a2＝－7，不合题意； 对于C，令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合题意． 对于D，令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不合题意． 练一练 C 例4　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． 典例剖析 题型4　求数列的最大(最小)项 解析：∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝·. ∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，a10－a9＝0，即a10＝a9； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 故a1<a2<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴数列{an}中最大项为a9或a10， 其值为10×，其项数为9或10. 求数列中的最大项时，可结合数列的单调性由an－1≤an且an≥an＋1来求，即解不等式组得n的取值范围，再由n∈N＋得到n的值． 归纳总结 4.若数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)·，其最大项是第k项，求k的值． 解析：由题意得 所以由k∈N＋可得k＝4. 练一练 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8. D 随堂练 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N＋)，则a5等于( ) A.32 B.31 C.16 D.15 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 当n＝5时，a5＝24＝16. 随堂练 C 3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N＋，则a2 023等于 （ ） A.－2 　　　　B.－1 　　　　C.1 　　　　D.2 ∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1， ∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2， a4＝1－a3－a2＝1－(－2)－2＝1， a5＝1－a4－a3＝1－1－(－2)＝2， …， 由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 023＝a1＝1. 随堂练 C 4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，则该数列从第_____项开始递增，数列的最小值为______. 故数列{an}从第4项开始递增. an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36. －36 4 随堂练 错因分析 1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________． (－3，＋∞) 易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知 an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立， 即t>－(2n＋1)恒成立． 而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 解析：方法二　an＝n2＋tn＝－， 由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列， 结合二次函数的图像得－<，解得t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 错因分析 【易错警示】 错因：在方法二中，若忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1<a2也成立． 纠错心得：用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解 1.已知数列an＝ ，则该数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 C 分层练习-基础 2.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，且a1＝0，则此数列的第5项是（ ） A.15 　　　　B.255 　　　　C.16 　　　　D.63 B 51 D 分层练习-基础 4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ） A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 B 5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是 （ ） A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) AD 6.(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋ ，则（ ） A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C.当0<a<4时，a是数列{an}中的项 D.当a<2时，{an}为递增数列 ABD 分层练习-基础 7.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是_____. 108 分层练习-基础 8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝_____. 分层练习-基础 9.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列是否存在最大 项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由. 分层练习-基础 9.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列是否存在最大 项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由. ∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列. 10.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式. ①Sn＝2n2－3n； 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 当n＝1时，a1＝－1，符合上式， 所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N＋. 分层练习-基础 ②Sn＝3n＋2； 当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝3n＋2－(3n－1＋2) ＝2×3n－1， 当n＝1时，a1＝5，不符合上式， 分层练习-基础 分层练习-基础 以上n－1个式子左右两边分别相乘，得 分层练习-巩固 11.若数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列中的最大 项是（ ） A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 C （ ） A 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于（ ） A.a2 021 　　　　B.a2 022 　　　　C.a2 023 　　　　D.a2 024 C 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝_____. 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 28 16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ 若a4＝4，求m所有可能的取值. 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 分层练习-拓展 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 故m所有可能的取值为4,5,32. 分层练习-拓展 17．[2022·湖南怀化高二期末]历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－1(n≥3，n∈N＋)，则c1＋c2＋c3＋…＋c2 021的值为(　　) A．4 B．－728 C．2 D．3 分层练习-拓展 C 解析：由题意可知，{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1…周期为6的数列，{cn}为1，1，1，1，－2，－1，1，0，1，1，－2，－1，1，0是从第三项起周期为6的数列． 从第3项起，每一个周期的6个数的和是1＋1＋(－2)＋(－1)＋1＋0＝0， 所以c1＋c2＋c3＋…＋c2 021＝c1＋c2＋0×336＋c2 019＋c2 020＋c2 021＝1＋1＋0＋1＋1＋(－2)＝2. 分层练习-拓展 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列通项公式的简单应用. (4)数列的递推公式. (5)由递推公式求通项公式. (6)数列的前n项和Sn与an的关系. (7)数列的单调性及最大(小)项. 课堂小结 课堂小结 2.方法归纳：归纳法、观察法、猜想法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. (3)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. (4)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. n 3.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是 A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 存在最大项.理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，…. ∵当n≥3时，＝×＝＝2<1， 又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝. ∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项. 所以{an}的通项公式是an＝ 因为an＝an－1(n≥2)， 所以当n≥2时，＝， 所以＝，＝，…，＝，＝， ··…··＝××…××， (2)已知数列{an}中，a1＝，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 12.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a2 023等于 A. B.－1 C.2 D.3 14．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0). (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解析：(1)∵an＝1＋，又a＝－7， ∴an＝1＋(n∈N＋). 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N＋)， ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知5<<6，即－10<a<－8. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. $$