1.1 数列的概念 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选修第一册

数列的概念 1 在现实世界中，许多事物的数量可以排成一列数.例如: (1)如图,在超市的货架上摆放有一些罐头，最顶上一层有2听罐头，其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多2，共堆了8层，则从上到下每层的罐头数依次为： 导语 2 4 6 10 14 8 12 16 ① 2 (2) 《庄子·天下》有一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” (3)某家庭一年内1—12月的用电量（单位kW·h）依次为： 110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95. (4) 的正弦值依次为：···. (5)正整数···被3除的余数依次为： ② ③ ④ ⑤ 思考：上述①、②、③、④、⑤五列数有什么共同特征？ 3 自主探究一 PART 01 4 把这些例子的共同特征抽象出来，我们可以得到数列的概念： 数列的一般形式可以写为a1,a2,a3,… ,an … ,简记为 数列 数列的项 首项 第2项 第n项 按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数 5 数列的分类： （1）按项的个数分： 项数有限的数列叫作有穷数列；项数无限的数列叫作无穷数列. （2）按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分： 从第2项起，每一项都大于它的前一项。 递增数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项。 常数列 各项都相等 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项。 摆动数列 6 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 思考 1. 可以看作 的一个函数，那么它的定义域是什么？ 正整数集 或者它的一个有限子集 2.利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？ 我们可以根据数列的通项公式写出数列． 从函数的观点看:数列的通项公式就是数列的解析表达式． 7 例如，数列①②的一个通项公式分别是: 8 课堂练习 PART 02 9 例1：已知数列的通项公式为. （1）写出数列的前5项及第n+1项； （2） 和都是这个数列的项吗?若是，是第几项?. 分析 (1)根据数列的通项公式求数列的具体项，就是求函数值. (2) 要判断一个数是不是数列{an}中的项，实际上就是判断是否存在正整数n，使得an等于这个数. 解:（1）在通项公式中依次取得到数列的前5项分别为 . 用代替通项公式中的得到数列的第项是, 即. 10 （2）若是数列{}的项，则号，解得n=，不是整数. 因此， 不是数列{}的项. 同样地，若是数列{}的项，则= ，解得n=2024. 因此， 是数列{}的项，是第2 024项. 例1：已知数列的通项公式为. （1）写出数列的前5项及第n+1项； （2） 和都是这个数列的项吗?若是，是第几项?. 11 例2：观察下面各数列,试着写出它的一个通项公式: （1） （2） ··· （3） 解:（1）因为这个数列的前4项为：因为这个数列的前4项为(-1)1，(-1)²，(-1)3，(-1)4，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n. （2）因为这个数列的前4项为：10 1 由此可得到它的一个通项公式：. 12 例2：观察下面各数列,试着找出它的一个通项公式: （3）··· （3）因为这个数列的前4项为： ， ，由此可得到它的一个通项公式：. 13 　　另外，观察例2(1)中的数列，可以发现:当n为奇数时，an=-1；当n为偶数时， an =1.于是它的通项公式也可写为 由此可知，数列的通项公式并不唯一. 　　例2(1)中的数列具有周期性，你能借助三角函数再写出它的一个通项公式吗? 14 要注意的是，不是所有数列都能写出通项公式. 由于数列{an}可以看作定义域为正整数集(或其子集)的函数，于是数列也可以用列表法和图象法来表示. 例如，对于数列③，我们可以用如下列表的方法来直观的表示： 月份（n） 用电量（ an ） 月份（n） 用电量（ an ） 1 110 7 103 2 120 8 115 3 90 9 84 4 80 10 62 5 62 11 81 6 80 12 95 15 数列③，也可以用图象直观的表示： 从图象上可以清楚地看到，这个家庭哪个月用电量最多，哪个月用电量最少，哪些月用电量在增加，哪些月用电量在减少，用电量随月份的变化也一目了然. 数列的图象是一系列孤立的点． 16 PART 05 课堂小结 17 我们学到了 哪些新的数学知识？ 我们运用了 哪些解题方法和数学思想？ 01 02 18 谢谢观看 Thank you $