专题26 二次函数综合题相似类（共30道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题26 二次函数综合题相似类（共30道） 1．直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似． (3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标． 4．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)请你判断是什么三角形，并说明理由． (3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与轴交于点，且经过，两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．    （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与轴交于，且点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若在轴上方的抛物线上有点，使的内心恰好在轴上，求此时的面积； （3）在直线上方的抛物线上有一动点，过作轴，垂足为是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标； （3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．    9．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标； （2）判断△ABM的形状，并证明你的结论； （3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且. （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点是抛物线上第一象限内的一点，以为圆心的圆与直线相切，切点为，且以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标. 14．如图1，以点A（-1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB=90°，tanA=3，点B位于第三象限 （1）求点B的坐标； （2）以A为顶点，且过点C的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由； （3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线FF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值． （3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点． 求抛物线的解析式． 求面积的最大值． 连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 17．如图，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作轴于点C，交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）连接BE，是否存在点D，使得和相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 18．如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点． （1）求 A，B，C 三点的坐标； （2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC； （3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD． （1）求顶点D的坐标（用含m的式子表示）； （2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标． 21．如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度数为 °； （2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线的上的一个动点，点N在x轴上． ①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标； ②若点P在x轴下方，且△ANP与△BOC相似，请直接写出点N的坐标． 23．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)分别求出，的值和直线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 25．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等求出点的坐标； (3)若点在第一象限内抛物线上，过点作轴于点，交于点，且满足与相似，求出点的横坐标． 27．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求面积的最大值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 28．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接，当三角形的面积最大时，求此时点P的坐标； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 29．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 30．如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题26 二次函数综合题相似类（共30道） 1．直线与轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接，点P为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点D，若，求此时点P的坐标； (3)如图②，连接．过点P作轴，交线段于点E，若与相似，求出点P的横坐标及线段长． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【分析】（1）先确定点的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线和的解析式，再联立求出交点的横坐标，证明，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可； （3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则；令，则， ， 抛物线经过，两点， 将的坐标代入解析式可得 ， 解得， 抛物线解析式为：； （2）解：令抛物线，可得或， ， ， 设直线的解析式为：， 将代入直线，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 设P点坐标为（,）， 设直线的解析式为：， 将， ）代入解析式中，得 ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与直线 ， 解得， 如图过点P作轴于点H，作轴于点G ， 又 ， 解得：或， 经检验，，都是方程的根， 当时，； 当时， 故点P的坐标为（，），（，）； （3）解：设P点坐标为， ， ，， ， 轴， ， 又, ， ， ①当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ； ②当时， ， 即， 解得：或， 经检验不是方程的根，应舍去， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)存在，点E的坐标为， 【分析】（1）令，，解方程即可； （2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为，求得是以为斜边的等腰直角三角形，得到，如图，设交l于点G，根据轴对称的性质得到，根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，令，， 解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 在中，令，， ∴点C的坐标为； （2）解；存在，由知抛物线的对称轴l为直线， ∴点D的坐标为； ∵，， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 如图，设交l于点G， ∵点E，F关于直线l对称， ∴， ∵， 则，， ∴． 分两种情况讨论： 当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n， 则，，， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 当点E在x轴下方时，设的横坐标为n，则，， ∴， 将其代入中，得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似， ∴点E的坐标为，． 【点睛】本题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似． (3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)或 (3)的面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将，代入，用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，，当时，，或当时，，由此即可求解； （3）过点作轴，垂足为，交与点，设点的坐标为，则，即可求出的最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ，解得． ∴抛物线的解析式为． 设直线的解析式为，将点和点的坐标代入得，，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，，或当时，， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得． 综上所述可知当或时，与相似． （3）解：如图所示：过点作轴，垂足为，交与点． 设点的坐标为，则， ∴． ∴当时，有最大值，即的面积有最大值，的最大值为， ∴． ∵的面积． ∴的面积的最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数与三角形的综合运用，掌握二次函数图形的性质，一次函数图形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 4．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在点，的坐标是，，， 【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式． （2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标； （3）设，根据勾股定理的逆定理求出直角三角形，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）、是方程的两根， 解得原方程的两根分别是：，， ，， 设抛物线的解析式为，，则， 解得：， 抛物线的解析式是． （2）， 对称轴为：， ①当为边时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，， 在对称轴上， 的横坐标是1或， 的坐标是或，此时的坐标是； ②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是， 由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时， 综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或． （3）假设存在，设， ，， ，，， ， 是直角三角形，，， 以、、为顶点的三角形和相似， 又， ，或， ， 解得：或或或， 存在点，的坐标是，，，，，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用． 5．如图，已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)请你判断是什么三角形，并说明理由． (3)若点在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点作垂直轴于点，试探究是否存在以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直角三角形，理由见解析； (3)存在，点P的坐标为（，）或（，），理由见解析． 【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式； （2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形； （3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，函数图象经过点A（﹣4，3），B（4，4）， 故可得：， 解得：， 故二次函数关系式为： ． 故答案为：． （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）所求函数关系式， 当时， ， 解得，； ∴点C坐标为（﹣2，0），点D坐标为（，0）， 又∵点A（﹣4，3），B（4，4）， ∴， ， ， ∵满足， ∴是直角三角形． （3）解：存在； 点P的坐标为（，）或（，）． 设点P坐标为（x，（x+2）（13x﹣20））， 则PH＝（x+2）（13x﹣20），HD＝﹣x+， 若△DHP∽△BCA， 则＝， 即＝， 解得：或（因为点P在第二象限，故舍去）； 代入可得， 即P1坐标为（，）； 若△PHD∽△BCA，则＝， 即＝， 解得：或 （因为点P在第二象限，故舍去）． 代入可得 ， 即P2坐标为：（，）． 综上所述，满足条件的点P有两个，即P1（，）或P2（，）． 【点睛】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解． 6．如图，已知抛物线与轴交于点，且经过，两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．    （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）有，或 【分析】（1）已知抛物线过B、C两点，而且两点的坐标都已得出，可用待定系数法来求函数的解析式； （2）由（1）可得抛物线顶点D（2，−1），直线AC的解析式为y＝x＋3，由E是对称轴与直线AC的交点，可得E点坐标，由F与E关于点D对称，可得F点坐标，从点A、C分别向对称轴作垂线AM、CN，交对称轴于M、N，通过证明Rt△FAM∽Rt△FCN，根据相似三角形的性质即可求解； （3）在△FDC中，三内角不等，且∠CDF为钝角，分两种情况：①若点P在点F下方时，②若点P在点F上方时，讨论即可求解． 【详解】解：（1）将点，代入得 解得，， 所以抛物线的解析式为； （2）∵ ∴抛物线顶点， 当x=0时，y=3， ∴A（0,3）， 设直线AC的解析式为y=kx+b 把A，C坐标代入得 解得 ∴直线的解析式为， 由是对称轴与直线的交点， 当x=2时，=5 ∴， 由与关于对称，则， 从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于， ∴AM=2,MF=10,CN=3,NF=15, 在和中 ∵， 所以， 所以；    （3）在中，三内角不等，且为钝角 ①若点在点下方时， 在中，为钝角 因为，，， 所以和不相等 所以，点在点下方时，两三角形不能相似 ②若点在点上方时， 由， 当∽时， 设P（2,y） ∵A(0,3),F(2,-7),D（2，-1）C（5,8） ∴AF=，CF=，DF=6，PF=y+7 代入得， 解得y=-3 ∴P（2，-3）； 当∽时， 代入得 解得y=19 ∴P； 综上，点的坐标为或． 【点睛】主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，考查综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、分类讨论的思想．此题是一道以函数为背景的综合压轴题，第1、2两个小题较为容易，上手很轻松，第3小题中很容易看出要讨论相似三角形的对应顶角，想提醒大家的是在中考中应该对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量防止漏解． 7．如图，已知抛物线与轴交于，且点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若在轴上方的抛物线上有点，使的内心恰好在轴上，求此时的面积； （3）在直线上方的抛物线上有一动点，过作轴，垂足为是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点为． 【分析】（1）将点A、B的坐标代入并结合对称轴公式即可求出二次函数的解析式； （2）根据三角形内心的性质可得x轴平分，设交轴于点，利用ASA证出△EBO≌△CBO，即可求出点E的坐标，然后根据对称性求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式，联立方程即可求出点D的坐标，根据三角形中线的性质即可求出结论； （3）设点的横坐标为，则点的纵坐标为：，然后根据点P的位置分类讨论，在每种情况下根据相似三角形的对应情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据相似三角形的性质即可求出结论． 【详解】解：（1）由题意可得 解得： ∴这条抛物线的解析式为； （2）的内心在轴上， 轴平分，设交轴于点， ∴∠EBO=∠CBO， ∵BO=BO，∠BOE=∠BOC=90° ∴△EBO≌△CBO ∴OE=OC=2 则， ∵，抛物线的对称轴为直线 ∴点B的坐标为（4，0） 设直线BD的解析式为 将点B和点E的坐标代入，得 解得： 所以直线为， 联立 解得：或，其中（4,0）为点B的坐标 ， ∴此时为的中点， ． （3）存在，设点的横坐标为，则点的纵坐标为： 当时，， ， ①当时， ∴ 即， 解得， （舍去）， ； ②当时， ， 即， 解得， （均不合题意，舍去）， 当0＜时， ③∵∠OAC＞∠OBC＞∠MBO ∴不存在点P，使 ④当时， 解得：解得， （均不合题意，舍去）， 综上所述，符合条件的点为． 【点睛】此题考查的是二次函数、一次函数与图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数解析式、三角形内心的性质、全等三角形的判定及性质、联立方程求交点坐标和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，﹣4）．点P是抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标； （3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．    【答案】（1）抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）． 【分析】（1）依题意设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式； （2）先求出直线BC解析式和OB解析式，可求直线l关于直线OB对称的直线解析式，联立方程组可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝ax（x﹣4），且过点B（5，5） ∴5＝5a ∴a＝1， ∴抛物线解析式为：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x； （2）∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0） ∴直线BC解析式为：y＝x﹣4，直线OB解析式为：y＝x， ∵C点（0，-4），可得C点关于直线OB的对称点为（-4，0） 设直线l关于直线OB对称的直线解析式为y=kx+b, 把（-4，0），（5，5）代入得 解得 ∴直线l关于直线OB对称的直线解析式为y＝， ∴联立方程组可得： ∴ 或 ∴点P（﹣，）； （3）如图，    ∵点B（5，5），点C（0，﹣4），O（0，0） ∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°． 设点M（m，m），则点N（m，m2﹣4m）， ∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m）， ∵MN∥y轴， ∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA +∠COA =135°． ∵以M、N、B为顶点的三角形与△OBC相似， ①当△BMN∽△BOC ∴， 则＝， ∴m1＝5（舍去），m2＝， ∴点N的坐标为（，﹣）， ②当△BMN∽△COB 若，则＝， ∴m1＝5（舍去），m2＝， ∴点N坐标为（，﹣）， 综上所述：点N坐标为：（，﹣）或（，﹣）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 9．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标； （2）判断△ABM的形状，并证明你的结论； （3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）；抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1；A（﹣3，0）；C（0，3）；D（﹣4，3）；（2）△ABM是等腰直角三角形；见解析；（3）存在，理由见解析； 【分析】（1）把B（﹣1，0）代入抛物线解析式可求出抛物线的解析式，分别令x=0和y=0可求得A，C的坐标，利用抛物线是轴对称的性质可求得D的坐标； （2）作MN⊥x轴，利用抛物线是轴对称的性质以及特殊角的三角函数可求得∠MAN＝∠MBN＝45°，从而得到△ABM是等腰直角三角形； （3）需要分类讨论：△ABD∽△PDC、△ABD∽△CDP，根据相似三角形的性质求得的长度，然后可求得点的坐标． 【详解】解：（1）把B（﹣1，0）代入抛物线解析式得， （﹣1+2）2+m＝0， 解得m＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1， 当y＝0时，（x+2）2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3， ∴A（﹣3，0）． 当x＝0时，y＝（x+2）2﹣1＝3， ∴C（0，3） ∵抛物线对称轴是直线x＝﹣2，C，D两点关于抛物线对称轴对称， ∴D（﹣4，3）； （2）△ABM是等腰直角三角形； 证明：∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点是M， ∴M（﹣2，﹣1）， 作MN⊥x轴于N，则N（﹣2，0）． ∴AN＝BN＝MN＝1， ∴AM＝BM， tan∠MAN＝tan∠MBN＝1， ∴∠MAN＝∠MBN＝45°， ∴∠AMB＝180°﹣∠MAN﹣∠MBN＝90°， ∴△ABM是等腰直角三角形； （3）存在，理由： ①当△ABD∽△PDC时， ，即：， 则PD＝ ， 过点P分别作x、y轴的垂线交于点M、N， 则PM＝＝DM， 则点P（，）； ②当△ABD∽△CDP时， 同理可得：点P（2，﹣3） 综上，点P（，）或P2（2，﹣3） 【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质以及解直角三角形的应用，难度较大，利用相似三角形的性质求得的长是解题的关键，解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解． 10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0) 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标； （2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论； （3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标． 【详解】（1）∵顶点坐标为（1，1）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点， ∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1， 即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得， 解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D， 把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得， 解得：， ∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0）， ∴BD=2﹣=， ∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3； （3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x）， ∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3， ∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°， ∴当△ABC和△MNO相似时，有或， ①当时，∴，即|x||﹣x+2|=|x|， ∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）； ②当或时，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1， 此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0）， 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 11．如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标； （3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，， 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P（m，），表示出PE＝，再用S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出最值即可； （3）先判断出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可． 【详解】（1）∵点，在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， （2）∵AC∥x轴，A（0，3） ∴＝3， ∴x1＝−6，x2＝0， ∴点C的坐标（−8，3）， ∵点，， 求得直线AB的解析式为y＝−x＋3， 设点P（m，）∴E（m，−m＋3） ∴PE＝−m＋3−（）＝， ∵AC⊥EP，AC＝8， ∴S四边形AECP ＝S△AEC＋S△APC ＝AC×EF＋AC×PF ＝AC×（EF＋PF） ＝AC×PE ＝×8×（） ＝−m2−12m ＝−（m＋6）2＋36， ∵−8＜m＜0 ∴当m＝−6时，四边形AECP的面积的最大，此时点P（−6，0）； （3）∵＝， ∴P（−4，−1）， ∴PF＝yF−yP＝4，CF＝xF−xC＝4， ∴PF＝CF， ∴∠PCF＝45° 同理可得：∠EAF＝45°， ∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的Q， 设Q（t，3）且AB＝=12，AC＝8，CP＝， ∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， ∴， ∴， ∴t＝−或t＝−（不符合题意，舍） ∴Q（−，3） ②当△CQP∽△ABC时， ∴， ∴， ∴t＝4或t＝−20（不符合题意，舍） ∴Q（4，3） 综上，存在点 . 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； （3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，或，见解析. 【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积． （3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M． 【详解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得 ， 解得， 所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC解析式为y＝x+3， 设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3）， ∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x． ∴S△PAC＝， ∴， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2． 当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4）， 当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3）， 综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）， （3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点， ∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点， ∴D点坐标为（﹣1，4）， 又∵A（﹣3，0）， ∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2， ∵B（1，0），C（0，3） ∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3． ∵AB＝4， ∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝， ∴CE＝， ∴tan∠ACB＝， ∴tan∠ACB＝tan∠DAB＝2， ∴∠ACB＝∠DAB， ∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2 （Ⅰ）当时，， 即为， 设与的交点 依题意得：， 解得， 即点为． （Ⅱ）若，即， ∵直线解析式为． ∴直线为，设直线与的交点．则 依题意得：， 解得， 即点为， 综上所述：存在使得以，，为顶点的三角形与相似的点，其坐标为或， 【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且. （1）求点的坐标及直线的函数表达式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点是抛物线上第一象限内的一点，以为圆心的圆与直线相切，切点为，且以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）如图，令，求得B点坐标，再利用，求出D点坐标，然后利用待定系数法即可求直线的函数表达式； （2）由(1)得到C点坐标，设，得到，作轴，得到ME=m-2，再利用勾股定理即可得到OE的长； （3）根据题意，以为圆心的圆与直线相切，则FG⊥l,然后分情况讨论：①当时，②当，然后根据比例式进行求值. 【详解】解：（1）当时，，∴，，∴， 由可得，∴， 设直线：， 把，代入得：，解得， ∴直线的函数表达式为. （2）由（1）得：， 设，则， 过点作轴，则，， 由勾股定理，得， 解得：，即. （3）（i）如图，当时， ∵，∴轴，∴， ∴，解得（舍去），， ∴. （ii）如图，当， ∴，∴， 由（2）得，为直线与抛物线的另一交点， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴. 由， 解得（舍去），， 此时. ∴. 综上所述：或. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的综合运用和相似三角形，解题关键是注意分情况讨论. 14．如图1，以点A（-1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB=90°，tanA=3，点B位于第三象限 （1）求点B的坐标； （2）以A为顶点，且过点C的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由； （3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线FF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标． 【答案】（1）B点坐标为（-5，-6）．（2）以A为顶点，且过点C的抛物线为y＝− (x+1)2+2经过点B（-5，-6）．（3）E点坐标为或. 【分析】（1）由∠ACB=90°可联想到构造K字形相似．即可得△CNB～△AMC，由相似比=tan∠BAC=＝3，即可求出BN、NC，从而得到B的坐标． （2）以A为顶点可设为y=a（x+1）2+2，将C点代入即可求出a=−，然后将B代入解析式也成立即可判定抛物线经过点B， （3）由直线AC解析式可知∠ACD=45°，由EF⊥BC可知AC平行HG，以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，有两种情况：Ⅰ．∠HGB=45°，即BG⊥y轴，G点坐标（0，-6），即可求出直线EG解析式，进而求出E点．Ⅱ．）．∠HBG=∠ACD=45°时，∴G坐标为（0，−），同理可求此时E点坐标． 【详解】（1）过C点作MN垂直x轴．过A、B两点分别作AM⊥MN，垂足为M，BN⊥MN，垂足为N， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBN=∠ACM， ∴△CNB～△AMC， ∴， ∵A（-1，2）、C（1，0）， ∴AM=2，CM=2， 又∵tanA==3， ∴BN=6，CN=6， ∴B点坐标为（-5，-6）． （2）设以A（-1，2）为顶点的抛物线为y=a（x+1）2+2， ∵抛物线经过C（1，0） ∴a（1+1）2+2=0， ∴a＝−， ∴函数解析式为y＝− (x+1)2+2， 当x=-5时，y=− (−5+1)2+2=-6， ∴以A为顶点，且过点C的抛物线为y＝− (x+1)2+2经过点B（-5，-6）． （3）∵点A（-1，2）、C（1，0）， ∴直线yAC=-x+1，∠ACD=45°， ∵EF⊥BC， ∴∠BHC=DAC， ∴以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，有两种情况： Ⅰ．如图2（1）．∠HGB=45°， ∵EG∥AC，∴BG∥CD，即BG⊥y轴， ∴G坐标为（0，-6） ∴直线yEG=-x-6， 依题意得：， 解得（不合题意舍去），得 ， ∴当∠HGB=∠ACD=45°时△HBG∽ADC，即：E点坐标为． Ⅱ．如图2（2）． ∠HBG=∠ACD=45°时，△HBG∽△ACD， ∵过B点作BP⊥y轴，∴P点（0，-6） ∵∠CBP=45°， ∴∠GBP=∠ABC， 又∵， ∴GP=，即G点坐标为（0，−）， ∴直线yEG＝−x−， 依题意得：， 解得，（不合题意舍去），得， 即E点为， 综上所述：E点坐标为或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值． （3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）4+4（3）存在 【分析】（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后可求得直线AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（1+）PM求解即可； （3）设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）, 若= 时，△AOC∽△EGN,则=，求出a 的值，若=时，△AOC∽△NGE，则=4，求出a的值，舍去不符合的即可得出答案. 【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1． 又∵tan∠OAC=4， ∴OC=4， ∴C（0，﹣4）． ∵OC=OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）． 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4） ∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4． （2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4）， ∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称， ∴D（3，﹣4） 设直线AD的解析式为y=kx+b． ∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：， 解得k=﹣1，b=﹣1， ∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1． ∵直线AD的一次项系数k=﹣1， ∴∠BAD=45°． ∵PM平行于y轴， ∴∠AEP=90°， ∴∠PMH=∠AME=45°． ∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM． 设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1）， 则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4． ∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4． ∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4； （3）存在 点G的坐标为（，0）或（，0）． 附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4） ①如图1， 若时，△AOC∽△EGN． 则，整理得：a2+a﹣8=0． 得：a=（负值舍去）∴点G为（，0） ②如图2， 若=时，△AOC∽△NGE． 则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0． 得：a=（负值舍去） ∴点G为（，0）． 综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题. 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于、两点，抛物线过、两点，点为线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点． 求抛物线的解析式． 求面积的最大值． 连接，是否存在点，使得和相似？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）．（2）存在点，使得和相似，点的坐标为或． 【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，-m2-3m+4），从而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m，根据S△ABE=S梯形AOFE-S△AOB-S△BEF得出S=-2（m+2）2+8，据此可得答案； （3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数． 【详解】在直线解析式中，令，得；令，得， ∴，． ∵点，在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴抛物线的解析式为：． 如图，连接、过点作轴于点， 设点坐标为，则点坐标为， 则，， ∵， ∴， 则 ． ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 即面积的最大值为．设点坐标为，则，，， 则． ∵为等腰直角三角形，和相似 ∴必为等腰直角三角形． 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点在抛物线上， ∴，解得（不合题意，舍去）或， ∴； 若，则， 在等腰直角三角形中，， ∴， ∴． ∵点在抛物线上， ∴，解得（不合题意，舍去）或， ∴． 综上所述，存在点，使得和相似，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点． 17．如图，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作轴于点C，交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）连接BE，是否存在点D，使得和相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或． 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式待定系数法，由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； 由、，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需或，设点D的坐标为，则点E的坐标为，进而可得出DE、BD的长度当时，利用等腰直角三角形的性质可得出，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；当时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论综上即可得出结论． 【详解】当时，有， 解得：，， 点A的坐标为． 当时，， 点B的坐标为． ， ，解得：， 抛物线的解析式为． 点A的坐标为，点B的坐标为， 直线AB的解析式为． 点D的横坐标为x，则点D的坐标为，点E的坐标为， 如图． 点F的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为， ，，， ． ， 当时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为， 与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为． ，， 若要和相似，只需或如图． 设点D的坐标为，则点E的坐标为， ， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形． ，即， 解得：舍去，， 点D的坐标为； 当时，点E的纵坐标为4， ， 解得：，舍去， 点D的坐标为． 综上所述：存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或． 故答案为（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、相似三角形的判定、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；利用三角形的面积找出S关于x的函数关系式；分及两种情况求出点D的坐标． 18．如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点． （1）求 A，B，C 三点的坐标； （2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC； （3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）． 【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标； （2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC. （3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标． 【详解】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴顶点 A（﹣1，﹣1）； 由    ，解得：或 ∴B（﹣2，0），C（1，3）； （2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3）， ∴AB＝ ， BC＝ ， AC＝， ∴AB2+BC2＝AC2，， ∴∠ABC＝90°， ∵OD＝1，CD＝3， ∴=， ∴，∠ABC＝∠ODC＝90°， ∴△ODC∽△ABC； （3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x）， ∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|， 当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时， 有或 ， 由（2）知：AB＝ ，CB＝， ①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0， ∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0， ∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-， ②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍）， 综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等. 19．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）对称轴：直线x=1，解析式：y=x2-x，顶点坐标：M（1，-）．(2) A1（6，3）．(3) t=. 【详解】试题分析：（1）已知了O、A、B的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标． （2）在两条直线平移的过程中，梯形的上下底发生了改变，但是梯形的高没有变化，仍为3，即y2-y1=3，可根据抛物线的解析式，用x1、x2表示出y1、y2，然后联立y2-y1=3，可得到第一个关于x1、x2的关系式①；在两条直线平移过程中，抛物线的对称轴没有变化，可用x1、x2以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长，进而可得到梯形面积的表达式，这样可得到另外一个x1、x2的关系式②，联立两个关系式，即可得到关于（x2-x1）与S的关系式③，将S=36代入②③的关系式中，即可列方程组求得x1、x2的值，进而可求出A点的坐标． （3）要解答此题，首先要弄清几个关键点： 一、当PQ∥AB时，设直线AB与抛物线对称轴的交点为E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的长，而E点坐标易求得，根据相似三角形所得比例线段，即可得到此时t的值即t=； 二、当P、Q都停止运动时，显然BC＞DM，所以此时t=DM÷1=3；可分两种情况讨论： ①当0＜t＜时，设直线PQ与直线AB的交点为F，与x轴的交点为G；由题意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x轴，则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可证得△DPQ∽△DEB，DB、DE的长已求得，可用t表示出DP、DQ的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得此时t的值； ②当＜t＜3 时，方法同①； 在求得t的值后，还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去． 试题解析：：（1）对称轴：直线x=1， 解析式：y=x2-x， 顶点坐标：M（1，-）． （2）由题意得y2-y1=3，y2-y1=x22-x2-x12+x1=3， 得：（x2-x1）[（x2+x1）-]=3①， s==3（x1+x2）-6， 得：x1+x2=+2②， 把②代入①并整理得：x2-x1=（S＞0）， 当s=36时，， 解得：， 把x1=6代入抛物线解析式得y1=3， ∴点A1（6，3）． （3）存在 易知直线AB的解析式为y=x-，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，-）， ∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t， 当PQ∥AB时，，即， 得t=， 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G； 当0＜t＜时，如图1-1； ∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA=∠FEQ， ∴∠DPQ=∠DEB；易得△DPQ∽△DEB， ∴， ∴， 得t=＞， ∴t=（舍去）； 当＜t＜3时，如图1-2； ∵△FQE∽△FAG， ∴∠FAG=∠FQE， ∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD， ∴∠DQP=∠DBE，易得△DPQ∽△DEB， ∴ ∴， ∴t=； ∴当t=秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似． 考点：二次函数综合题． 20．如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD． （1）求顶点D的坐标（用含m的式子表示）； （2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标． 【答案】（1）顶点D的坐标为（4，﹣4m）；（2）y=x2﹣4x+6；（3）点P的坐标（0，6）或（1，）． 【详解】分析：（1）把抛物线解析式配成顶点式得到D点坐标； （2）先解方程mx2-8mx+12m=0得到A（6，0），B（2，0），再证明△DEO∽△AED，利用相似比得到4m：2=4：4m，然后求出m即可得到抛物线解析式； （3）由（2）得D（4，-2），利用相似的传递性得到△AME与△EAD相似，由于∠ADO=∠AEM=90°，根据相似三角形的判定，当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，当，则EM=DE=2，则EM=DE=2，分别确定对应M点的坐标，求出相应直线AM的解析式，然后把直线AM的解析式与抛物线解析式组成方程组，再解方程组可得到对应P点坐标． 详解：（1）∵y=m（x﹣4）2﹣4m， ∴顶点D的坐标为（4，﹣4m）； （2）当y=0时，mx2﹣8mx+12m=0，解得x1=2，x2=6， ∴A（6，0），B（2，0）， ∴OA=6， ∵抛物线的对称轴为x=4， ∴点E（4，0）， 则OE=4，AE=2，DE=4m， ∵OD⊥AD， ∴∠ADO=90°，即∠ODE+∠ADE=90°， 而∠ODE+∠DOE=90°， ∴∠DOE=∠ADE， ∴△DEO∽△AED， ∴DE：AE=OE：DE，即4m：2=4：4m，解得m1=，m2=﹣（舍去）， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6； （3）由（2）得D（4，﹣2）， ∵△ADO与△AED相似，△AME与△OAD相似 ∴△AME与△EAD相似， ∵∠ADO=∠AEM=90°， ∴当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=， ∴M（4，） 易得直线AM的解析式为y=﹣x+3， 解方程组得或， ∴此时P点坐标为（1，）， 当，则EM=DE=2， ∴M（4，2）， 易得直线AM的解析式为y=﹣x+6， 解方程组得或， ∴此时P点坐标为（0，6）， 综上所述，点P的坐标（0，6）或（1，）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与直线的交点坐标转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问题． 21．如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度数为 °； （2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）45，（2）（3）存在，当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小 【分析】（1）根据二次函数的解析式，分别让x=0、y=0，可求出B、C的坐标，然后根据坐标可判断三角形为等腰直角三角形，求出∠ABC的度数； （2）如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，可求得对称轴，然后可设P的坐标为（，n），然后根据PA=PC，再根据勾股定理可列式，代入可求P的坐标； （3）存在，由P点的坐标，A（-1,0），可根据勾股定理的逆定理判断△APC是等腰直角三角形，然后可由相似判断出△QBC是等腰直角三角形，结合图①②，可分两种情况讨论,并且由二次函数的最值问题求出点的坐标. 【详解】解：（1）45． 理由如下：令x=0，则y=-m， C点坐标为（0，-m）． 令y=0，则， 解得，． ∵0＜m＜1，点A在点B的左侧， ∴B点坐标为（m，0）． ∴OB=OC=m． ∵∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°． （2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D， 设l与x轴交于点E， 由题意得，抛物线的对称轴为． 设点P坐标为（，n）． ∵PA= PC， ∴PA2= PC2， 即AE2+ PE2=CD2+ PD2． ∴． 解得． ∴P点的坐标为． 解法二：连接PB． 由题意得，抛物线的对称轴为． ∵P在对称轴l上， ∴PA=PB． ∵PA=PC， ∴PB=PC． ∵△BOC是等腰直角三角形， 且OB=OC， ∴P在BC的垂直平分线上． ∴P点即为对称轴与直线的交点． ∴P点的坐标为． （3）存在点Q满足题意． ∵P点的坐标为， ∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2 =． ∵AC2=， ∴PA2+ PC2=AC2． ∴∠APC＝90°． ∴△PAC是等腰直角三角形． ∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似， ∴△QBC是等腰直角三角形． ∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）． ①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时， 若PQ与x轴垂直，则， 解得，PQ=． 若PQ与x轴不垂直， 则． ∵0＜m＜1， ∴当时，取得最小值，PQ取得最小值． ∵＜， ∴当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小． ②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时， 若PQ与y轴垂直，则， 解得，PQ=． 若PQ与y轴不垂直， 则． ∵0＜m＜1， ∴当时，取得最小值，PQ取得最小值． ∵＜， ∴当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小． 综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小． 【点睛】考点：二次函数与几何综合 22．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线的上的一个动点，点N在x轴上． ①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标； ②若点P在x轴下方，且△ANP与△BOC相似，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①y=﹣x2+x+2；②所求点N的坐标为N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）． 【详解】试题分析：（1）把A、C两点的坐标代入函数解析式，即可得到关于b，c的方程组，从而求得b，c的值，求得函数的解析式； （2）①首先由点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，得出点A不可能是直角顶点，那么当△APN是等腰直角三角形时，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P，设点P坐标是（t，﹣t2+t+2）．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN1⊥x轴于点N1，则PN1=AN1，依此列出方程﹣t2+t+2=t+1，解方程求出N1的坐标；Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则AP=PN2，那么N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3，则ON2=2+3=5，N2的坐标可求； ②先由抛物线解析式求出B点坐标，根据△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A点不可能是直角顶点，得出直角顶点可能是P点或N点．设点P坐标是（t，﹣t2+t+2），则﹣t2+t+2＜0．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．过P作PN1⊥x轴于点N1，则△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．由△AN1P∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N1的坐标；过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则△APN2∽△BOC．由△AN1P∽△PN1N2，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N2的坐标；Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN3⊥x轴于点N3，则△AN3P∽△COB，N3（t，0）．由△AN3P∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N3的坐标；过点P作PN4⊥AP，PN4交x轴于点N4，则△APN4∽△COB．由△AN3P∽△PN3N4，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N4的坐标． 解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（0，2）， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+2； （2）①∵点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上， ∴点A不可能是直角顶点，则∠PAN=45°． 如图，作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P．设点P坐标是（t，﹣t2+t+2）． Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN1⊥x轴于点N1，则PN1=AN1， 即﹣t2+t+2=t+1， 解得t1=2，t2=﹣1（不合题意舍去）， 所以N1的坐标是（2，0）； Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则AP=PN2， 即N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3， 则ON2=2+3=5， 所以N2的坐标是（5，0）； 综上所述，点N的坐标是（2，0）或（5，0）； ②∵y=﹣x2+x+2， ∴当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x=﹣1或4， ∵A（﹣1，0）， ∴B（4，0）， ∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°． ∵△BOC是直角三角形， ∴当△ANP与△BOC相似时，△ANP也是直角三角形， ∵A点不可能是直角顶点， ∴直角顶点可能是P点或N点． 设点P坐标是（t，﹣t2+t+2），则﹣t2+t+2＜0． Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC． 过P作PN1⊥x轴于点N1，则△AN1P∽△BOC，N1（t，0）． ∵△AN1P∽△BOC， ∴=， ∴===2， ∴AN1=2N1P，即t+1=2（t2﹣t﹣2）， 解得t1=5，t2=﹣1（不合题意舍去）， 所以点P的坐标是（5，﹣3），点N1的坐标是（5，0）； 过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则△APN2∽△BOC． ∵△AN1P∽△PN1N2， ∴=， ∴N1N2==1.5， ∴ON2=ON1+N1N2=5+1.5=6.5， ∴点N2的坐标是（6.5，0）； Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN3⊥x轴于点N3，则△AN3P∽△COB，N3（t，0）． ∵△AN3P∽△COB， ∴=， ∴===， ∴PN3=2AN3，即t2﹣t﹣2=2（t+1）， 解得t1=8，t2=﹣1（不合题意舍去）， 所以点P的坐标是（8，﹣18），点N3的坐标是（8，0）； 过点P作PN4⊥AP，PN4交x轴于点N4，则△APN4∽△COB． ∵△AN3P∽△PN3N4， ∴=， ∴N3N4==36， ∴ON4=ON3+N3N4=8+36=44， ∴点N4的坐标是（44，0）； 综上所述，所求点N的坐标为N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）． 考点：二次函数综合题． 23．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)分别求出，的值和直线的解析式； (2)直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键． （1）先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式； （2）求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可； （3）当时，如果 或时，则∽，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）点的坐标为， ． 令，则， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 抛物线的解析式为； ，； 抛物线的对称轴为，， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ； 设直线的解析式为． 将、代入得： ， 解得，， 直线的解析式； （2）直线的解析式， 直线的一次项系数， ． 平行于轴， ， ． 的周长． 设，则， 则． 当时，有最大值，最大值为． 的周长的最大值； （3）在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下： 设点的坐标为，则 如图， 若 时，∽． 则 ，整理得：． 得：负值舍去， 点为； 如图， 若时，∽， 则，整理得：， 得：负值舍去， 点为， 综上所述，点的坐标为或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)2 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值； （3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线轴，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， 的值为2； （3）解：，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与相似，且， 在的右侧，且或， 设， 由（2）知，，，， ，，，， 当时，如图： ， 解得或（此时在左侧，舍去）， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，如图： ， 解得（舍去）或， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 25．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) (4)存在，或 【分析】（1）把，代入，即可得到抛物线的函数表达式； （2）设点Q的坐标为，，分对角线是；对角线是；对角线是，利用平行四边形的性质求出点N的坐标； （3）过点A作，交y轴于点G，求出直线和直线的解析式，设点D的坐标为，点F的坐标为，表示线段的长度，证明，表示出的解析式，根据二次函数的性质求出最值； （4）分和两种情况，求出点M的坐标，得到直线的解析式，联立二次函数解析式得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，得抛物线对称轴为直线， 设点Q的坐标为，， ①若对角线是， 由平行四边形的性质可得与互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， ②若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点 N的坐标为， ③若对角线是， 由平行四边形的性质可得互相平分， 则，即， 解得， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或； （3）解：过点A作，交y轴于点G， 把代入，得， 解得， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标为，点F的坐标为， ∵点D为直线下方抛物线上一动点， ∴， 由，设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 得， 当时，取得最大值，最大值为； （4）解：①若△ABM∽△ACB， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为； ②若， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得，（点B的坐标，舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求最值，本题的关键是利用分类讨论思想解题． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等求出点的坐标； (3)若点在第一象限内抛物线上，过点作轴于点，交于点，且满足与相似，求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为，由于，于是得到抛物线的解析式的顶点坐标为，； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【详解】（1）抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 抛物线的解析式的顶点坐标为； （2）抛物线与轴交于点， ， 点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得，， ； （3）设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 27．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求面积的最大值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题， （1）先根据二次函数的性质求得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意，，求得，由，结合二次函数的性质求解即可； （3）分，两种情况，利用相似三角形的判定与性质和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线 则 将点，代入 解得 抛物线的解析式为 设直线的解析式为 将点，代入 解得 直线的函数解析式为 （2）点M的坐标为，轴， ，， ， ， 当点P在射线上或在射线上，没有最大值， 点P在线段上， 当时有最大值 （3）存在这样的点P，使，理由如下： ， 与相似时由两种情况： ①当时，， 过点N作轴交于点E， ， ， ， ，又， ， ，，，，， ，经检验，是分式方程的根， 点的坐标为 ②当时，， 则轴， 点纵坐标为， ， 或（舍去） 点的坐标为 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，分类讨论和添加辅助线构造相似三角形求解是解答的关键．属于中考中的压轴题。 28．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接，当三角形的面积最大时，求此时点P的坐标； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)解析式为 (2)①；②存在，或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①求出直线解析式，设点P坐标为，则可得点Q的坐标，由可求得面积取最大值时点P的坐标； ②分两种情况考虑：；，利用等腰三角形的性质建立方程即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过与点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①设直线解析式为， 则有，解得：， 即直线解析式为； 设点P坐标为， ∵轴， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵，， ∴， 当时，面积有最大值，此时， 即此时点P的坐标为； ②存在 当时； 则，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 此时； 当时，如图， 则，， 则有， ∴； 过点C作于E，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，涉及分类讨论思想． 29．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； (3)在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可； （3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ． 把代入得：， ，                         将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； （2）解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； （3）解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 30．如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【分析】（1）点A、B的坐标分别为，则，求出点A、B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，则，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与相似，则或，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设则 ∴点A、B的坐标分别为， 又抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为， 代入，得：， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，当时， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点，则点， ∴ ∴ ∵ ∴当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵点， ∴ ∵， ∴ 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 综上所述，存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$