专题28 二次函数应用题分类训练2（喷水增长率动态几何其他）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题28 二次函数应用题分类训练2 （喷水增长率动态几何其他） 目录 【题型1喷水问题】 1 【题型2增长率问题】 5 【题型3动态几何问题】 8 【题型4其他问题】 12 【题型1喷水问题】 1．“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 2．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 3．小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 4．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的表达式． (2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ (3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 5．如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 6．某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出． (1)当时，求抛物线对应的函数解析式． (2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？ 7．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 8．河南是农业大省，小麦又是我省主要作物，小麦大田灌溉已经从漫灌逐步改为更省水的喷灌，图是喷灌装置，水的轨迹可近似看作抛物线，图中，水到地面距离（）与水平距离（）满足函数关系 ，已知喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米．    (1)求抛物线的函数表达式和对称轴． (2)该喷灌装置的喷洒半径（水的落点到支撑钢架底部的距离）为多少米？水距地面的最大距离为多少米？ 9．某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口离地竖直高度为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口的距离为米． (1)请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） (2)此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 10．如图（1），濮阳市市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，H点是下边缘抛物线最高点，上边缘抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边线l的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由； (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围．说明：运算结果保留2位小数． 【题型2增长率问题】 11．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 12．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 13．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 14．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 15．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 16．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 17．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 18．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 19．在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50． （1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ （2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）． （参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35） 20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【题型3动态几何问题】 21．如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 22．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 23．已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为． (1)写出线段的长（用含的式子表示）． (2)当平分菱形面积时，求的值． (3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 25．如图，在矩形中，，动点E从点A出发，以的速度沿射线方向运动，以为底边，在的右侧作等腰直角三角形，当点F落在射线上时，点E停止运动，设与矩形重叠部分的面积为S，运动的时间为． (1)当t为何值时，点F落在射线上； (2)当线段将的面积二等分时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式． 26．如图1，在正方形中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：），四边形的面积为y（单位：），y与x之间的函数图象如图2所示． (1)正方形的边长为 ，点P的运动速度为 ； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若P在上运动时，点P，Q的位置记为，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为，且点P从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 27．如图，在菱形中，对角线，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作，交折线于点Q，以、为边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长； (2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)作射线，当截矩形所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值． 28．综合与探究 如图，在中，，，长方形的边在边上，边在边上，点与点重合，，，长方形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向作匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设长方形运动的时间为，长方形与重叠部分的面积为． (1)当时，判断点是否在线段上？通过计算说明理由； (2)当点F运动到线段上时，求长方形的运动时间； (3)当时，求与之间的函数关系式及当，时的值． 29．如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求： (1) ； ． (2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？ (3)当运动多少秒时，的面积最大？ 30．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【题型4其他问题】 31．某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 32．“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．    请根据以上信息解决下列问题： (1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式． (2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ； (3)现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上； 方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？ 33．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）从原点O点起跳，在空中运动的路线是经过点O的抛物线．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线．一个运动员在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请求运动员入水最大水深的范围． 34．“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 35．某厂房因用电需求增大，经审批现从米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．如图，已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔米的点处最低，到地面的距离为米．以为原点，以，所在直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 36．阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等． 如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米． (1)如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式； (2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离． 37．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组 合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径 与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为， 把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 38．悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一． 如图为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； (3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 39．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识， 小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，为直线的一部分，点A在y轴上，滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低，其中点B到y轴的距离为2，轴于点G，滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当过山车沿滑道从点A 运动到点F 的过程中，它到y轴的水平距离为多少时到x轴的距离达到最大？最大是多少？ (3)点M 为上的一点，求点M 到和到x 轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M 的坐标． 40．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手、离地面高度都为1米，现以地面为轴，过点向地面作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，米，绳子甩到最高处点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内． (1)求此时绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？ (3)若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题28 二次函数应用题分类训练2 （喷水增长率动态几何其他） 目录 【题型1喷水问题】 1 【题型2增长率问题】 16 【题型3动态几何问题】 24 【题型4其他问题】 50 【题型1喷水问题】 1．“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看做一条抛物线．该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米，将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为的坡地绿植．以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离； (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期．园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带．这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率．若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 【答案】(1) (2)坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米 (3)让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，设出抛物线水柱的解析式为：，再将代入得出的值即可； （2）根据坡地绿植的坡度为，可设坡地所在直线的解析式为，令，解得的值即可； （3）由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为，根据这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则，可求出这棵树底部对应点的坐标为，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线水柱的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ； （2）解：坡地绿植的坡度为， 坡地所在直线的解析式为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为米． （3）解：由（1）可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为， 设需要让灌溉装置向后平移米， 因为这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为，则， 即这棵树底部对应点的坐标为， 当水柱刚好浇到这棵树的底部时， 则有：， 解得：，， ， ． 答：让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移米． 2．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 3．小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析； (2)小亮能喷到小明，理由见解析． 【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，在将代入解析式求出即可判断； （）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线， ∵当时，， ∵且小于， ∴小明能喷到小亮； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线 ∵抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线为， 又∵当时，， ∵且小于， ∴小亮能喷到小明． 4．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的表达式． (2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？ (3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)水流能越过该障碍物 (3) 【分析】本题考查抛物线的应用，掌握用待定系数法求抛物线解析式与二次函数图象性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把，代入抛物线解析式，求出y值，再与2比较，即可得出结论； （3）先求得抛物线的对称轴为．再分两种情况：①当，即时，②当，即时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设该抛物线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：当时，． ∵， ∴水流能越过该障碍物． （3）解：∵抛物线的对称轴为． ①当，即时， 将代入，得，解得， ∴a的取值范围为． ②当，即时， 将代入，得，解得， ∴a的取值范围为． 综上所述，a的取值范围为． 5．如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 【答案】(1)护栏的最大高度为米； (2)河水水深至少为米时，喷水水柱刚好落在水面上． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）依据题意得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 再结合函数经过原点，求出的值，得到二次函数的解析式为： 从而可得当时， ，进而可以判断得解； （2）依据题意，可得， 再求得B的坐标为再设的解析式为建立方程组可得进而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为：， ∵函数经过原点， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当 时， ∴护栏的最大高度为米． （2）解：设点的横坐标为，则， ∵米，坝面的坡比为， ∴， ∴点B的坐标为， 又由题意可知，， 设的解析式为， ， ， ， ， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，， ∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上， ∴河水水深为米时，水柱刚好落在水面上． 6．某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出． (1)当时，求抛物线对应的函数解析式． (2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）通过顶点B坐标，A，待定系数法求得二次函数解析式； （2）根据题意，令，解一元二次方程求出x，保留符合题意的x值，即解得答案． 【详解】（1）根据题意，顶点坐标为， 当时，设二次函数解析式为：， 函数过点， 代入解析式得， 解得：， 二次函数解析式为：； （2）令，则， 解得：或（舍）， ∴小水池的半径． 7．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 【答案】(1) (2)的值为米；的值为1米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，将点P的坐标代入即可求解； （2）求出抛物线与x轴的交点B的坐标，可求；根据 可得点C的纵坐标为，代入二次函数解析式求出点C的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解： 点P的坐标为， 设抛物线满足的函数关系式为． ， ， ， 解得， 抛物线满足的函数关系式为． （2）解：在中，令，得， 解得（舍去），， ， ． ， ， ， 即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米； 轴，，， ， ∴点C的纵坐标为． 在中，令，得， 解得（舍去），， ， ， 即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为米． 8．河南是农业大省，小麦又是我省主要作物，小麦大田灌溉已经从漫灌逐步改为更省水的喷灌，图是喷灌装置，水的轨迹可近似看作抛物线，图中，水到地面距离（）与水平距离（）满足函数关系 ，已知喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米．    (1)求抛物线的函数表达式和对称轴． (2)该喷灌装置的喷洒半径（水的落点到支撑钢架底部的距离）为多少米？水距地面的最大距离为多少米？ 【答案】(1)，对称轴：直线； (2)，水距地面最大距离为米． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （）利用二次函数的对称性及待定系数法即可求解； （）令中，，得，求解可得该喷灌装置的喷洒半径（米），把代入得，水距地面最大距离． 【详解】（1）解：∵喷头到支撑钢架底部的距离为米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米，水流在距支撑钢架水平距离米处时，距地面米， ∴过，，， ∴，的对称轴为直线， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：令中，，得， 解得舍去或， ∴该喷灌装置的喷洒半径（米）， 把代入得， ， ∴水距地面最大距离为米． 9．某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口离地竖直高度为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口的距离为米． (1)请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） (2)此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1)上边缘抛物线解析式为，下边缘抛物线解析式为； (2)该行人不会被洒水车淋到水 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意知，，，，把两个抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解析式即可， （2）将代入，解得，，据此进行判断作答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：上边缘抛物线的顶点是， 设上边缘抛物线的解析式是：， 把点代入得：， 解得：； ∴上边缘抛物线解析式为； ∵下边缘抛物线的顶点是， ∴设下边缘抛物线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴下边缘抛物线解析式为； （2）解：令，则 解得：，， ∵ ∴该行人不会被洒水车淋到水． 10．如图（1），濮阳市市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，H点是下边缘抛物线最高点，上边缘抛物线y₁最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边线l的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由； (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围．说明：运算结果保留2位小数． 【答案】(1)喷出水的最大射程为米 (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带 (3)的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性 质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点的横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 【题型2增长率问题】 11．某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 12．2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 14．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 15．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 16．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 17．某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元． （1）求y关于x的函数关系式． （2）当x=20%时，今年的总产值为多少？ （3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？ 【答案】（1）；（2）万元；（3）万元． 【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可. 【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ； (2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元； (3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元). 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解． 18．科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量/mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】（1）；（2）－1℃；（3）． 【详解】解：（1）选择二次函数，设， 得，解得 ∴关于的函数关系式是． （2）由（1），得， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大． （3）由题意得：y＞25， 即：-x2-2x+49＞25， ∴． 19．在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量y(吨)与月份x(月)之间的函数关系是y=－2x+50． （1）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p(万元)与月份x(月)的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？ （2）受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）． （参考数据：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35） 【答案】(1)4000万；(2)a=13 【详解】试题分析：（1）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元； （2）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%． 试题解析：（1）根据图象知道当x=1，p=80， 当x=4，p=95， 设p=kx+b， ∴ ，解得， ∴p=5x+75；根据k＞0，y随x增大而增大， ∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元； ∴5月份的利润是：100万×40=4000万元； （2）（2）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%， 而当x=5时，y=40， ∴6月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）， 7月份的二氧化碳排放量为40（1-a%）2， 5月份的利润为4000万元， ∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1-a%）， 7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2， ∴100（1+50%）×40（1-a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1-a%）2=3×4000， ∴a=13． 考点：二次函数的应用. 20．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【题型3动态几何问题】 21．如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当时，的形状是 ． (2)当点与点重合时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证； （2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案； （3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， ∴当时，点在中点上， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； （2）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴此时点的运动的距离为， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点． ∴， 如图，当时，点在上运动， ， 此时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）可得，， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，点在上运动，作于， ， 同理可得：四边形为矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）． (1)的长为______cm（用含x的代数式表示）． (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键． （1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可； （2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可． 【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=， 当时，作于点，如图所示， 在中，，， 在中，，。 故答案为：或； （2）点F运动的路程就是线段的长，即， 当时，，即； 当时，作于点，如图所示， ∴， ∵， ∴， 综上可得，求y关于x的函数解析式为：； （3）当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， 当时，是直角三角形，如图所示， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或． 23．已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，再根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，然后根据根据平行分线段即可得出答案； （2）过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定及性质得出，从而得出，再根据代入化简即可得出答案； （3）首先得，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． （4）连接，过点作于点，根据垂直平分线的性质得出，再根据平行线分线段成比例定理得出，然后根据勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， 若，则，即， 解得：， 即当为时，； （2）如图1，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 与的函数关系式为； （3）存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为， 理由如下： 若和四边形面积比为，则， ∵， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为，t的值为； （4）如图2，连接，过点作于点， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得（舍去），， 答：为时，在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为． (1)写出线段的长（用含的式子表示）． (2)当平分菱形面积时，求的值． (3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)当时，，当时， (2)2.5 (3) 【分析】分两种情况：当时，当时，由题意可得出答案； 连接，过点作于点，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，列出方程可得出答案； 分三种情况：当时，点在边上，如图；当时，当点在边上，点在线段上，如图；当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图由直角三角形的性质及三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 当时，， 当时，． （2）解：连接，过点作于点，则四边形为矩形， ， ，， ， 平分菱形的面积， 经过的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ≌， ， ， ； （3）解：分三种情况：当时，点在边上，如图． ，， ，， ， ； 当时，当点在边上，点在线段上，如图． 由可知，， ， ， ； ； 当时，当点在边上，点在线段的延长线上，如图． ，， ， ， ， ． 综上所述，与的函数关系式为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，求函数解析式，正确进行分类讨论是解题的关键． 25．如图，在矩形中，，动点E从点A出发，以的速度沿射线方向运动，以为底边，在的右侧作等腰直角三角形，当点F落在射线上时，点E停止运动，设与矩形重叠部分的面积为S，运动的时间为． (1)当t为何值时，点F落在射线上； (2)当线段将的面积二等分时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出，再由运动得出，即可； （2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形面积平分，判断出点F在上，即可； （3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解． 【详解】（1）如图1， 过点F作于H． 在矩形中， ，， ∵点F落在射线上， ∴， 是等腰直角三角形，, ， ∴； （2）如图2， ∵是等腰直角三角形，, , , ∴将 的面积二等分， , ∴， ∴； （3）当时，如图3， 过点F作， 由运动知，， ， ， 当时，如图4， 过点F作， 由运动知，， ， , 当时，如图5， 过点F作， , , 综上所述，； 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积公式，用运动时间表示线段是解本题的关键． 26．如图1，在正方形中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：），四边形的面积为y（单位：），y与x之间的函数图象如图2所示． (1)正方形的边长为 ，点P的运动速度为 ； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若P在上运动时，点P，Q的位置记为，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为，且点P从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了二次函数动点问题，正确求得函数的解析式是关键，还应注意分类讨论思想在解题中的运用． （1）根据题意结合函数图象进行解答即可； （2分为当点在上运动时及当点在上运动时两种情况进行讨论，，分别求得函数关系式； （3）设点位于时，运动时间为，则点位于时，运动时间为，六边形的面积为，求出二次函数关系式并求出其最值即可； 【详解】（1）由题意得：当点在起点时，四边形的面积最大，为8， 则有，得． 当点分别运动到点时，四边形的面积最小，为0， 则点的运动速度为． 故答案为：； （2）①当点在上运动时， 正方形的边长为， ， ②当点在上运动时， ， 与之间的函数关系式为 （3）设点位于时，运动时间为，则点位于时，运动时间为，六边形的面积为， 可得， 所以，当时，的最大值为12，即六边形面积的最大值为12． 27．如图，在菱形中，对角线，．点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作，交折线于点Q，以、为边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长； (2)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)作射线，当截矩形所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形性质结合得到是等腰三角形，得到，根据含的直角三角形性质结合，即得；（2）分类讨论：当时，点Q在上运动，设交于点F，证明 ，，得到，,根据计算即得；当时，点Q在上运动，根据，，得到，计算即得； （3）分类讨论：设射线交于点G，过点C作，交延长线于点H，根据含的直角三角形性质得到，，当时，若是等腰直角三角形，推出，得到，解方程即得；当时，设交于点K，若是等腰直角三角形，推出，得到，得到，解方程即得． 【详解】（1）∵在菱形中，，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， （2）当时，如图1，点Q在上运动，设交于点F， ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，, ∴ ； 当时，如图2，点Q在上运动， ∵， ∴, ∴； ； （3）设射线交于点G，过点C作，交延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图3， 若是等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，设交于点K，如图4， 若是等腰直角三角形， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故或． 【点睛】本题主要考查了菱形，矩形，三角形综合，熟练掌握菱形性质，矩形性质，含的直角三角形性质，等腰直角三角形性质，分割法求图形面积，动点产生的图形面积函数问题，分类讨论，是解决问题的关键． 28．综合与探究 如图，在中，，，长方形的边在边上，边在边上，点与点重合，，，长方形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向作匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设长方形运动的时间为，长方形与重叠部分的面积为． (1)当时，判断点是否在线段上？通过计算说明理由； (2)当点F运动到线段上时，求长方形的运动时间； (3)当时，求与之间的函数关系式及当，时的值． 【答案】(1)点在线段上，理由见解析 (2)长方形运动的时间为6s (3)与之间的函数关系式为及，当时，；当时， 【分析】 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论． （1）由题意可得，再根据，即可得点在线段上； （2）当点F运动到线段上时，可得，从而求得，则可求得长方形的运动时间； （3）分两种情况：当时，此时重叠部分图形为梯形，过点作于点， 求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可；把x的值代入所求函数解析式中即可求得函数值． 【详解】（1）解：如图1，长方形运动的速度为，且， ． ，， ． ， ∴． ， 点在线段上． （2）解：如图2，当点F运动到上时， ， ． ， ， ． ， ， ． 点运动的速度为， 点运动的时间， 长方形运动的时间为6s． （3）解：分两种情况： ①当时，如图3，设交于点G，过点作于点， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ，当时，． ②当时，如图4，设与交于点G，． ， ， ，当时，． 综上所述，与之间的函数关系式为及； 当时，；当时，． 29．如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求： (1) ； ． (2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？ (3)当运动多少秒时，的面积最大？ 【答案】(1)， (2)当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形 (3)3秒 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用、等腰三角形的性质，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据动点P和动点Q的运动速度和路径进行解答即可； （2）当时，恰好是等腰直角三角形，则，解方程即可得到答案； （3）设同时出发后经过，的面积为，则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案 【详解】（1）解：∵动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动． ∴；； 故答案为：， （2）根据题意可知，当时，恰好是等腰直角三角形， 此时，； 解得， 即当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形； （3）解：设同时出发后经过，的面积为， 则，， 则， ，点的运动速度为，点的运动速度为， ， ， 时，S有最大值9，即的最大面积为． 即当运动3秒时，的面积最大 30．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． （3）由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 【题型4其他问题】 31．某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为 设抛物线的函数表达式为 将代入 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ∴当时， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 32．“昔日荔枝进长安，今朝草莓遍三秦．”行走在秦岭脚下的长安区，随处可见成片的草莓种植大棚．其中一种植户雷莹借助现有地势，将大棚的一端固定在离地面2米高的墙体的端点外，另一端固定在离地面1米高的墙体的端点处，墙体均垂直于水平面．测得两墙体之间的水平距离为4米，且大棚横截面顶部为抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足：．    请根据以上信息解决下列问题： (1)求大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系式． (2)雷芗家大棚的最高处到地面的距离为 ； (3)现要对入口处进行加固，如图所示： 方式一：雷莹在距离墙体左侧1米处垂直地面放置一根管材，管材一端固定在地面上，另一端点刚好能支撑在大棚主体钢架（抛物线段）上，用角铁固定另一根管材，使，且管材的另一端固定在墙体上； 方式二：在距离墙体等距（即中点）处以相同的方式放置管材．已知两种方式都等起到加固的作用，请通过计算说明，哪种方式所使用的管材更少？ 【答案】(1) (2)米 (3)方式二使用管材更少 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，再将代入建立方程组计算可以得解； （2）依据题意，由，又，进而结合二次函数的性质可以判断得解； （3）方式一：依据题意可得，米，米，，从而(米)，再由证得四边形是矩形，故米，可，进而求出即可得解；方式二：依据题意，可得米，点是的中点，故米，再由四边形是矩形，有米，故令，可得，从而可得所使用的管材长度为：(米)，进而结合题意可以得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 将代入得： ， 解得：， ． （2）∵， 当时，雷莹家大棚的最高处到地面的距离为米； （3）方式一：根据题意可得：米，米，， 米， ， 四边形是矩形， 米， 令，则， ， 米， 所使用的管材长度为：米； 方式二：米，点是的中点， 米， 同理可证明四边形是矩形， 米， 令，则， ， 米， 所使用的管材长度为：米； ， 方式二使用管材更少． 33．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）从原点O点起跳，在空中运动的路线是经过点O的抛物线．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线．一个运动员在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请求运动员入水最大水深的范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)不会失误，见解析 (3)至之间 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设空中运动的地物线表达式为，又因抛物线经过原点，代入求出a即可得解析式，又当时，，进而判断可得B的坐标； （2）依据题意，由，运动员调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5m，从而运动员调整入水姿势的点的横坐标为4，又当时，，可调整点的坐标为，从而求得运动员此时距离水面，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，，，可得，，再结合入水点，可得，又当抛物线经过点M时，故，当抛物线经过点N时，，结合出水点D在之间（包括M，N两点），进而可以得解． 【详解】（1）解：设空中运动的抛物线表达式为 ， ∵抛物线过原点O， ， 解得， 抛物线的解析式为； 当时，， 解（舍）或， ； （2）运动员此次跳水不会失误． ，运动员调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5m， 运动员调整入水姿势的点的横坐标为4， 当时，， 调整点的坐标为， 运动员此时距离水面， ， 运动员此次跳水不会失误； （3），，， ，， 入水点， ， 当抛物线经过点M时，， 解得，， 当抛物线经过点N时，， 解得，， 出水点D在之间（包括M，N两点）， ， 所以该运动员人水最大水深的范围为1.96m至4m之间． 34．“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 【答案】(1) (2)， P的最大值为4418辆/时 (3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 【分析】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式． （1）用待定系数法即可求解； （2）由题知：当时，；当时，，进而求解； （3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：由图象知，当时，， 当时，设该段一次函数表达式是， 把两点坐标，，分别代入， 得， 解得， 关于的一次函数表达式是， 即； （2）解：由题知：当时，． 当时，， 当时，车流量有最大值4418辆时． ， 当时，车流量有最大值4418辆时； （3）解：由题意得：，解得， 而， 当时，，当时，， 即， 即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 35．某厂房因用电需求增大，经审批现从米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．如图，已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔米的点处最低，到地面的距离为米．以为原点，以，所在直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)厂房在保护区外，理由见解析 【分析】本题考查是二次函数的应用； （1）由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，解方程，结合题意取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入中，得， 解得， 所以，抛物线的解析式为； （2）由题意，将代入中， 解得或， ， 厂房在保护区外． 36．阅读材料：当平行光线照射到抛物线形状的反射镜面上时，经过反射后能够聚集成一点，即焦点．这种特性使得抛物面反射镜在许多应用中发挥重要作用，例如射电望远镜，雷达天线，远光灯和投影仪等． 如图1，某射电望远镜的天线采用了抛物面的设计，当天线竖直对准天顶时，其主视图可以抽象为图2，天线截面为抛物线的一段，天线中心O为抛物线顶点，天线边缘A，B为抛物线的两端．测得A，B距地面高度为5.35米，天线中心O距地面高度为4米， A， B距离为6米． (1)如图2 ，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．求天线截面的抛物线表达式； (2)距离地面高度4.6米的D，E两个位置安装有支架和，可恰好将天线接收器固定在抛物面的焦点F处，试求D，E两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2)4米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，解题的关键是： （1）由题意知，顶点，抛物线过，设抛物线的函数表达式为，把代入求解a值，进而可得抛物线的函数表达式； （2）将代入得，求出x，根据D，E两点之间的水平距离，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得顶点，，即， 设抛物线的函数表达式为， 则， 解得， ∴； （2）解：根据题意得，D、E的纵坐标， 代入，得， 解得，， ∴D，E两点之间的水平距离为米． 37．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组 合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径 与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为， 把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)解析式为，解析式为 (2)将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和中当时，y的值，然后求出两个y值的差值的绝对值，若大于等于3则可以盖上，若小于3，则不可以盖上． 【详解】（1）解；设解析式为，解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴解析式为； 把代入中得，， ∴， ∴解析式为； （2）解；将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上，理由如下： 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上． 38．悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一． 如图为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标； (3)现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当米时，造价最低，最低造价为117800元 【分析】此题考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得米得到点C的横坐标为，进而求得，根据二次函数的对称性求解点D坐标即可； （3）设，则，，则，，设总长度为l米，根据坐标与图形性质得到根据二次函数的性质求得l的最小值，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵米，点E的坐标为 ∴米， ∴点C的横坐标为， 将代入中，得，则， ∵抛物线对称轴为直线，且轨道上的点D和C到地面的距离相等， ∴点D坐标为； （3）解：设，则，， 由题意，，， 设总长度为l米， 则 ， ∵，， ∴当时，l最短，最短值为23.56，此时，造价最低，最低造价为（元）， 答：当米时，造价最低，最低造价为117800元 39．图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识， 小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，为直线的一部分，点A在y轴上，滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低，其中点B到y轴的距离为2，轴于点G，滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当过山车沿滑道从点A 运动到点F 的过程中，它到y轴的水平距离为多少时到x轴的距离达到最大？最大是多少？ (3)点M 为上的一点，求点M 到和到x 轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M 的坐标． 【答案】(1) (2)到轴的水平距离为8时到轴的距离达到最大，最大为4 (3)最大值为4，此时的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键． （1）先求得，根据顶点得，代入求得的值，即可求解函数解析式； （2）根据两段抛物线形状相同，开口方向相反求得滑道的函数解析式为，再结合图象求得最高点的坐标即可； （3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵点B到y轴的距离为2， 即对于直线，当时，， ∴， ∵滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低， ∴， 代入得，，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）∵滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线， ∴，即：滑道的函数解析式为， 当过山车在滑道段时，在点时到轴的距离达到最大，最大为3； 当过山车在滑道段时，在抛物线的顶点时到轴的距离达到最大，最大为4； 即：它到轴的水平距离为8时到轴的距离达到最大，最大为4； （3）解：设，则，， ， 点为上一点， ，且的值随的增大而增大， 当时，， 当时，和长度之和的最大值为4，此时的坐标为． 40．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手、离地面高度都为1米，现以地面为轴，过点向地面作的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，米，绳子甩到最高处点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内． (1)求此时绳子所对应的抛物线表达式； (2)身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？ (3)若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？ 【答案】(1) (2)她离A点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米 (3)此绳最多可容纳6人一起跳 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得抛物线解析式是解题关键． （1）由抛物线的对称性确定顶点，设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案； （3）首先计算出满足条件的两点距离，结合同学之间的间距，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，由抛物线的对称性可知顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入中， 解得， ∴绳子所对应的抛物线表达式为； （2）当时，，整理得， 解得：，， ∴她离点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米； （3）米，， 答：此绳最多可容纳6人一起跳． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$