拓展1-2集合与逻辑用语的六个易错点-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展1-2集合与逻辑用语的六个易错点 一、对描述法理解不准确 四、忽略对空集情况的讨论 二、忽视集合中的互异性 五、充分、必要混淆 三、忽视最高项系数为0 六、忽视“充分”与“充分不必要”的不同 一、对描述法理解不准确 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知集合，，则 ． 变式1-2．已知，，则 ． 变式1-3．已知集合， ，则 ． 二、忽视集合中的互异性 易错分析：当集合含字母时，要记得检验，否则可能导致集合中出现相同元素 例2．设集合，若，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 变式2-1．已知集合，则 变式2-2．已知集合，，且，求集合． 变式2-3．集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 变式3-1．（多选）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 变式3-2．已知集合， (1)集合，且，求实数m的值； (2)集合，且Q是P的真子集，求实数a的取值范围． 变式3-3．已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 四、忽略对空集情况的讨论 易错分析：若小集合含参，则需考虑可能是空集的特殊性 例4．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 变式4-1．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 变式4-2．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 变式4-3．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 五、充分、必要混淆 易错分析：“是的充分条件”与“的充分条件是” 例5．下列四个条件中，是“”成立的充分不必要的条件为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 变式5-2．实数，满足“”是“”的 条件． 变式5-3．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 六、忽视“充分”与“充分不必要”的不同 易错分析：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件 例6．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式6-1．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 变式6-2．已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 变式6-3．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ）. A．2 B．4 C．7 D．8 6．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 二、多选题 7．已知：，则下列条件中是成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 三、填空题 9．若，，且，则实数组成的集合是 ． 10．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知全集，集合，集合． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件______（从下列三个条件中任选一个作答），求实数m的取值集合． 条件①是的充分条件；②；③，，使得， 12．已知集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-2集合与逻辑用语的六个易错点 一、对描述法理解不准确 四、忽略对空集情况的讨论 二、忽视集合中的互异性 五、充分、必要混淆 三、忽视最高项系数为0 六、忽视“充分”与“充分不必要”的不同 一、对描述法理解不准确 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 所以， 又， 所以. 故选：C 变式1-1．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】解方程组，得，故. 故答案为：. 变式1-2．已知，，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 变式1-3．已知集合， ，则 ． 【答案】 【详解】当时，; 当时，； 当时，. 所以 故答案为： 二、忽视集合中的互异性 易错分析：当集合含字母时，要记得检验，否则可能导致集合中出现相同元素 例2．设集合，若，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】集合，则，且，解得，且， 由，得，或， 解，得或（舍去）；解，得（舍去）或（舍去）， 所以. 故选：A 变式2-1．已知集合，则 【答案】2 【详解】若，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 若，此时，则，满足， 若，此时，此时不满足， 若，此时，此时不满足， 综上，. 故答案为：2 变式2-2．已知集合，，且，求集合． 【答案】 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 变式2-3．集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 变式3-1．（多选）设，，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C．4 D．1 【答案】ABD 【详解】，因为，所以，所以或或或， 若，则； 若，则； 若，则； 若，无解． 故选：ABD 变式3-2．已知集合， (1)集合，且，求实数m的值； (2)集合，且Q是P的真子集，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），，，则 当时，，满足题意； 当时，则或者， 将和分别代入，解得，. 综上所得，实数m的值为. （2）,,且Q是P的真子集,则 当时，则，解得，满足题意； 当时，则当时，满足题意； 当时，则当时，，则，此时，不满足Q是P的真子集. 综上所得， 实数a的取值范围或. 变式3-3．已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若集合有且仅有两个子集，则集合中只有1个元素， 即方程只有1个根， 时，方程解得，符合题意； 时，一元二次方程只有1个根，，解得. 所以实数的取值集合为 （2）若，则-4是方程的根，则有， 方程解得或，得. ，则6是方程的根，则有， 方程解得或，得. 满足， 所以. 四、忽略对空集情况的讨论 易错分析：若小集合含参，则需考虑可能是空集的特殊性 例4．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 变式4-1．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 变式4-2．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 变式4-3．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 五、充分、必要混淆 易错分析：“是的充分条件”与“的充分条件是” 例5．下列四个条件中，是“”成立的充分不必要的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时一定有，但反之不一定，是充分必要条件，A正确； 时满足但不满足，不是充分条件，B错； 时满足，但不满足，不充分，C错； 根据不等式的性质与是等价的，即为充要条件，D错， 故选：A． 变式5-1．判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 变式5-2．实数，满足“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【详解】由，得此时，充分性成立； 由，得或，此时不一定成立，必要性不成立. 故答案为：充分不必要. 变式5-3．（多选）已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解不等式得， 解不等式得， 所以的充要条件为，A错误； 记，因为A，A，A， 所以，BD为命题的必要不充分条件，C为命题的充分不必要条件. 故选：BD 六、忽视“充分”与“充分不必要”的不同 易错分析：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件 例6．已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 变式6-1．已知集合 (1)若，求和; (2)若“”是 “”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， （2）因为“”是 “”的充分条件， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以实数的取值范围为 变式6-2．已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以， 所以，即. 变式6-3．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 2．设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，解得或， 所以集合的元素的个数为个. 故选：. 3．褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”， 所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件. 故选：B 4．若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 5．设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为（   ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】, 因为， 当时，， 当时，即时，令，解得， 则或，则对应实数的值为， 则实数a组成的集合的元素有3个， 所以实数a组成的集合的真子集个数有， 故选：C. 6．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】A 【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，. 情况一：若时 当时，，，， 的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为； 当时，，，， 的所有元素和为，不符题意； 情况二：若时，此时，，， 但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为； 情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素， 则，由题意，即， 此时，矛盾. 综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为. 故选：A 二、多选题 7．已知：，则下列条件中是成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】利用不等式的性质以及指数函数的单调性，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】为负数且时，不能推出，A错误； 是增函数，能推出,B正确； 为负数且时，不能推出,C错误； 因为是增函数， 所以，D正确， 故选：BD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，考查了指数函数的单调性以及基本不等式的应用，属于中档题. 8．已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】CD 【详解】，因为，所以，则有： 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，不符合集合元素的互异性； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 综上所述：或. 故选：CD. 三、填空题 9．若，，且，则实数组成的集合是 ． 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，实数组成的集合为. 故答案为：. 10．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 四、解答题 11．已知全集，集合，集合． (1)若，求； (2)若集合A，B满足条件______（从下列三个条件中任选一个作答），求实数m的取值集合． 条件①是的充分条件；②；③，，使得， 【答案】(1); (2). 【详解】（1）集合， 当时，集合， 所以； （2）集合，集合． 当选择条件①时，满足是的充分条件，即， 则集合，即，， 要使，只需，解得， 所以，即实数m的取值集合是． 当选择条件②时，，则集合，即，， 由集合，得，或， 要使，只需，解得， 所以，即实数m的取值集合是． 当选择条件③时，，，使得， 则集合,且，即，, 要使，只需解得， 所以，即实数m的取值集合是． 12．已知集合，集合 (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 所以，或， 所以. （2）当时，即，即，满足； 当时，即， 由得或， 解得或； 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$