精品解析：辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 考生注意：1、本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟． 2、所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 答案：B． 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：， 一次函数图像必过二、四象限， 又， 一次函数图像必与轴负半轴相交， 一次函数的图象不经过第一象限， 故选：A． 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项运算即可判断求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、和不是同类二次根式，不能合并，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 4. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 6. 在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（　　） A. 9，9 B. 7，9 C. 9，7 D. 8，9 【答案】A 【解析】 【详解】解：出现次数最多的是9，故众数是9； 将这组数据按照从小到大的顺序排列为：7、8、9、9、10． 故中位数为9． 故选A． 7. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数图象过（3，0）知x＞3时，y=kx+b＜0，从而得出答案． 【详解】解：由函数图像可得一次函数y=kx+b经过点（3，0）， ∴当x＞3时，y=kx+b＜0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质及解一元一次不等式的能力． 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点分别是线段的中点．若的长为2，则的周长是为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，根据平行四边形的性质，得到，三角形的中位线定理，得到，再根据三角形的周长公式，计算即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， ∴的周长； 故选B． 9. 在某次20千米跑步比赛中，甲、乙两名选手的行程随时间变化的图像如图所示，给出下列四个结论：①起跑后1小时内，甲在乙的前面：②在第1小时，两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲在第小时跑了12千米．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像和图像中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图像可得， 起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确； 第1小时两人相遇，都跑了10千米，故②正确； 乙比甲先到达终点，故③错误； ∵甲在的速度为， ∴甲在第小时，其行程为千米，故④正确； 综上，①②④正确； 故选：B． 【点睛】此题考查了函数图像的意义．解题的关键是根据题意理解各段函数图像的实际意义，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程． 10. 如图①，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b分别为（　　） A. 17，34 B. 17，32 C. 19，36 D. 19，32 【答案】C 【解析】 【分析】作于D，于F，由图②知，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长．由，可求出P点从B点运动到C点的时间，从而可求出a的值．再在中，求出的长，即可求出P点从C点运动到A点所用的时间，从而可求出b的值． 【详解】如图所示，作于D，于F， 由图②知P点从A点运动到B点需要， ． 由图②知， ， ， 解得， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴P点从B点运动到C点需要， ． ， ． ， ， ， ， ∴P点从C点运动到A点需要， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、用勾股定理求三角形的边长，解题的关键是掌握数形结合法，结合图①，理解图②中每条线段及每个转折点所表示的意义． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________； 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可直接进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式的性质；根据题意得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 13. 当______时，函数是一次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数，一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 14. 为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选7株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 第七株 平均数 甲 79 81 80 80 78 82 80 80 乙 79 77 80 82 81 82 79 80 则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”） ． 【答案】甲 【解析】 【分析】分别求解甲、乙的方差，然后进行比较作答即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∵， ∴甲更稳定， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了用方差判断稳定性．解题的关键在于正确求解方差． 15. 如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，根据，得出是解题的关键．连接，，交于，根据，从而，进一步得出结论． 【详解】解：连接，，交于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先化简，再进行加减运算即可； （2）先化简，计算括号内，再进行除法运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 先化简，再求值．已知，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，平角求出，全等三角形的性质，求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，即 在与中 （） ； 【小问2详解】 ， ， ， 由（1）知，，则． 19. 计算 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图所示： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 0.08 n 14 0.28 11 0.22 m 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4 d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 5.8 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，n的值为______； （2）表2中的值为______； （3）在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______； A．甲 B．乙 C．无法推断 （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个? 【答案】（1）10，0.18 （2）6.15 （3）A，A （4）估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个 【解析】 【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得的值； （2）根据中位数的意义进行计算； （3）根据中位数及方差的意义进行判断稳即可； （4）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵这一组对应的频率为， ∴， ∴这一组对应的频数为： 频率； 【小问2详解】 解：由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为这组数的第1个与第2个的平均数， 故中位数； 小问3详解】 解：由题意可知，穗长为的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲， 因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲． 故答案为：A，A； 【小问4详解】 解：甲试验田中穗长在范围内频率为， 故甲试验田所有“良好”的水稻约为（万个）， 答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为万个． 【点睛】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键． 20. 在学校开展“绿意满校园”主题系列活动中，八年级三班负责校园东北绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共36盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆6元，吊兰每盆4元． （1）采购组计划将预算经费200元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）规划组认为有比200元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】（1）购买绿萝28盆，吊兰8盆 （2）购买两种绿植最少花费为192元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用： （1）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买绿萝a盆，购买吊兰盆，总费用为w元，根据题意得到w关于a的函数关系式，再求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意得： 解方程组得 ，符合题意， 答：购买绿萝28盆，吊兰8盆； 【小问2详解】 解：设购买绿萝a盆，购买吊兰盆，总费用为w元，根据题意得： ， 总费用要低于200元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍 ， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为192， 故购买两种绿植最少花费为192元． 21. 如图，A点坐标为，直线经过点和点，交x轴于点D． （1）求直线的函数表达式． （2）点为线段上的一点，过点作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求的值． ②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，或 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，点和点代入，利用待定系数法即可求解； （2）①求出，直线的解析式为，可得，故，根据，得，解得； ②求出，，根据是以为底边的等腰三角形，可得，从而可得的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①∵点为上一点， ∴， ∵轴交于点， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点和点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②存在以为底边的等腰三角形，理由如下： 如图： 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，两点间距离公式等，解题关键是掌握以上知识． 22. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、． （1）如图，当点在上时，______度； （2）如图，当落在边上时，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上，并且折痕交边于点，交直线于点，把纸片展平，请求出线段的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，，，于是得出，从而得到是等边三角形，即可求出的度数； （2）由轴对称的性质得出，，根据平行线的性质得出，，从而证得，得出，于是推出四边形是平行四边形，再根据即可证得四边形是菱形； （3）由轴对称的性质得出，根据，即可得出，再根据当点与点重合时，有最大值为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， 是的垂直平分线， ，， 以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2， 折叠矩形纸片，点在边上， 垂直平分， ，， 又， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 小问3详解】 解：如图3， 折叠纸片，点落在边上， ， 在中，， 又， ， ， 又点在边上， 当点与点重合时，有最大值为， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”. （1）若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; （2）设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）函数是函数的“友好函数”，理由见解析 （2）①;②, 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质,弄懂“友好函数”的定义是解题的关键. (1)根据定义进行判断即可; (2)①求出点的坐标为,再求出函数的“友好函数”,根据点在函数的“友好函数”图象的上方得到,整理后根据即可得到p的取值范围;②将点的坐标代入“友好函数”得到由得到将代入“友好函数”得到,把代入得到 解得,进一步即可求出定点Q的坐标. 【小问1详解】 解：是函数的“友好函数”, 理由:由函数的“友好函数”为: 把代入上式, 得, 函数是函数的“友好函数”; 【小问2详解】 解:①解方程组 得, 函数与的图象相交于点, 点的坐标为 的“友好函数”为 点在函数的“友好函数”图象的上方, 整理得, 的取值范围为; ②存在,理由如下: 函数的“友好函数”图象经过点. 将点的坐标代入“友好函数”,得 将代入, 把代入 得 解得: 当,则 , 对于不等于2任意实数,存在“友好函数”图象与轴交点的位置不变. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 考生注意：1、本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟． 2、所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 6. 在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（　　） A. 9，9 B. 7，9 C. 9，7 D. 8，9 7. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，点分别是线段的中点．若的长为2，则的周长是为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 11 9. 在某次20千米跑步比赛中，甲、乙两名选手的行程随时间变化的图像如图所示，给出下列四个结论：①起跑后1小时内，甲在乙的前面：②在第1小时，两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲在第小时跑了12千米．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图①，在平行四边形中，，动点P从A点出发，以的速度沿着的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知的面积y（单位：）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b分别为（　　） A. 17，34 B. 17，32 C. 19，36 D. 19，32 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_________； 12. 在函数中，自变量x的取值范围是__________． 13. 当______时，函数是一次函数． 14. 为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选7株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 第七株 平均数 甲 79 81 80 80 78 82 80 80 乙 79 77 80 82 81 82 79 80 则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”） ． 15. 如图，是边长为的正方形的对角线上一点，且为上任一点，，则的值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 先化简，再求值．已知，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数 19. 计算 某研究所甲、乙试验田各有水稻稻穗5万个，为了考察水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）： b．乙试验田穗长频数分布直方图如图所示： 甲试验田穗长频数分布表（表1） 分组 频数 频率 4 0.08 n 14 0.28 11 0.22 m 0.20 2 合计 50 1.00 c．乙试验田穗长在这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4 d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）： 试验田 平均数 中位数 众数 方差 甲 5.924 58 5.8 0.454 乙 5.924 w 6.5 0.608 根据以上信息，回答下列问题： （1）表1中的值为______，n的值为______； （2）表2中的值为______； （3）在此次考察中，穗长为的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是______；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是______； A．甲 B．乙 C．无法推断 （4）若穗长在范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为多少万个? 20. 在学校开展“绿意满校园”主题系列活动中，八年级三班负责校园东北绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共36盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆6元，吊兰每盆4元． （1）采购组计划将预算经费200元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）规划组认为有比200元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 21. 如图，A点坐标为，直线经过点和点，交x轴于点D． （1）求直线的函数表达式． （2）点为线段上的一点，过点作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求的值． ②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 22. 在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、． （1）如图，当点上时，______度； （2）如图，当落在边上时，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上，并且折痕交边于点，交直线于点，把纸片展平，请求出线段的取值范围． 23. 定义:对于一次函数,我们称函数为函数“友好函数”. （1）若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由; （2）设函数与的图象相交于点M. ①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围; ②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$