拓展1-1 集合与常用逻辑用语的五类含参问题-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

拓展1-1集合与常用逻辑用语的五类含参问题 一、元素与集合求参数 三、交、并、补运算求参数 ①根据元素与集合的关系求参数 四、根据充分与必要条件求参数 ②根据集合中元素的个数求参数 ①根据充分条件或必要条件求参数 二、利用集合间的关系求参数 ②根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 ①利用集合间的相等关系求参数 五、根据含量词命题的真假求参数 ②利用集合间的包含关系求参数 一、元素与集合求参数 方法点拨：利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出宇母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. ①根据元素与集合的关系求参数 1．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 3．（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 4．不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 5．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 7．（多选）设非空集合满足当时，有，下列命题判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ②根据集合中元素的个数求参数 8．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 10．若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 11．若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 12．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 .（用集合表示） 二、利用集合间的关系求参数 方法点拨：（1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， ①利用集合间的相等关系求参数 13．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知集合、．若，则 ． 15．若集合，则 . 16．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 17．设，若集合，则 ． 18．由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． ②利用集合间的包含关系求参数 19．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 20．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 21．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．集合，，且，则实数的取值范围是 ． 23．若集合，，且，求满足的条件． 24．已知集合，，，且，求实数的取值范围． 三、交、并、补运算求参数 方法点拨：（1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 25．已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 26．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 28．若，，且，则实数组成的集合是 ． 29．设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 30．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 31．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 四、根据充分与必要条件求参数 方法点拨：（1）利用充分、必要条件求参数的思路：:根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解； （2）从集合角度看充分、必要条件:设命题分别对应集合,若,则p是q的充分条件;若，则是的必要条件. ①根据充分条件或必要条件求参数 32．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 34．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 35．已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 36．若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是 . 37．设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 38．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. ②根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 39．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 41．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 42．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 43．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 44．已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 五、根据含量词命题的真假求 方法点拨：（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决； （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设 45．已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 46．已知命题：，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ． 48．已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 49．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是 ． 50．已知命题p：“，”，命题q：“，没有实数根”．若p与q均为真命题，求实数m的取值范围． 51．是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-1集合与常用逻辑用语的五类含参问题 一、元素与集合求参数 三、交、并、补运算求参数 ①根据元素与集合的关系求参数 四、根据充分与必要条件求参数 ②根据集合中元素的个数求参数 ①根据充分条件或必要条件求参数 二、利用集合间的关系求参数 ②根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 ①利用集合间的相等关系求参数 五、根据含量词命题的真假求参数 ②利用集合间的包含关系求参数 一、元素与集合求参数 方法点拨：利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出宇母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. ①根据元素与集合的关系求参数 1．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由题意知，当时，可变为，符合题意； 当时，由，得， 即，解得或且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 2．已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 3．（多选）若，则实数的可能取值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】ABD 【详解】①若，即时，此时集合中的元素为，满足题意； ②若，即时，，不满足集合中元素的互异性； ③若，即， 当时，此时集合中的元素为，，满足题意； 当时，此时集合中的元素为，满足题意. 故选：ABD. 4．不等式的解集为A，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5．已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意， 解得. 故答案为： 7．（多选）设非空集合满足当时，有，下列命题判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，若，因为时，有， 所以有，解得，故A正确； 对于选项B，若，因为时，有， 所以，解得，则，故B正确； 对于选项C，若，则， 因为时，有，所以， 因为，则，故，即， 所以，解得，故C错误； 对于选项D，若，因为，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD ②根据集合中元素的个数求参数 8．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 9．（多选）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】AB 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 10．若方程的解集为单元素集，则m的值为 ． 【答案】或 【详解】当时，方程的解为，其解集为单元素集，则， 当时，由，解得，原方程有等根，其解集为单元素集， 所以m的值为或. 故答案为：或 11．若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【详解】由集合中有且仅有一个元素， 当时，集合为成立， 当时，方程有两个相等的实根， 则，解得，集合为成立， 综上所述实数的取值集合为. 故答案为：. 12．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 .（用集合表示） 【答案】 【详解】当时，方程为有实数解，符合题意； 当时，由，解得； 则实数的取值范围是. 故答案为： 二、利用集合间的关系求参数 方法点拨：（1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， ①利用集合间的相等关系求参数 13．已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，，，∴，∴， 若，则， 故选：B． 14．已知集合、．若，则 ． 【答案】 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 15．若集合，则 . 【答案】 【详解】依题意，， 则或， 由解得或. 由解得. 当时，不满足集合元素的互异性. 当时，两个集合为，符合题意，此时. 当，两个集合为，符合题意，此时. 综上所述，. 故答案为： 16．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 17．设，若集合，则 ． 【答案】 【详解】由集合， 当时，不符合题意，舍去； 当，即时，不符合，舍去； 当时，， 若，则， 此时； 若，则，舍去. 故答案为： 18．由a，，1组成的集合中有3个元素，该集合和由，，0组成的集合是同一个集合，求的值． 【答案】1 【详解】由题意可得集合和集合为相等集合， 则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得： 或， 结合互异性，联立解得： 所以． 故答案为： ②利用集合间的包含关系求参数 19．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 20．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 21．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，, 由，可得，解得. 故选：A. 22．集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由合，，且， 则， 故答案为：. 23．若集合，，且，求满足的条件． 【答案】答案见解析 【详解】由可知是的子集， ①当时，，所以； ②当时，， 所以，解得； ③当时， 所以，解得； ④当时，， 所以，解得； 综上可知，满足的条件为或或或. 24．已知集合，，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为，则，由集合得， 所以，即，即． 又，则，所以． 又，则，解得． 所以实数的取值范围是． 三、交、并、补运算求参数 方法点拨：（1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 25．已知集合，，且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由题意知，则用数轴画图可得. 故答案为： 26．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为. 故选：B. 27．设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 28．若，，且，则实数组成的集合是 ． 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，实数组成的集合为. 故答案为：. 29．设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【详解】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 30．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，， ∴； （2）∵，（）， ，∴， ∴， 又，解得. ∴实数a的取值范围是：. 31．已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 四、根据充分与必要条件求参数 方法点拨：（1）利用充分、必要条件求参数的思路：:根据充分、必要条件求参数的取值范围时,先将等价转化,再根据充分、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解； （2）从集合角度看充分、必要条件:设命题分别对应集合,若,则p是q的充分条件;若，则是的必要条件. ①根据充分条件或必要条件求参数 32．集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 33．已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由可得，所以或； 或， 可得或， （2）若“”是“”的充分条件，可得， 当时，可得，即，此时满足, 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是. 34．（多选）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 35．已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 【考查意图】已知充要关系求参数的取值范围． 36．若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，不等式的解集为空集，满足题意； 当时，因为，所以，因为不等式的一个必要条件为，所以，无解. 故实数的取值范围是. 故答案为： 37．设集合 . (1)若，试求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1）根据题意由可得， 所以或， 因此或； （2）由是的充分条件可得， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 38．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)． 【详解】（1）当时，由，得，符合题意； 当时，可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． （2）由题意可知且. 可得解得， 综上，实数的取值范围是．. ②根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数 39．已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以. 故选：A 40．不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 41．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 42．已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 43．已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 44．已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. （2）由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. 五、根据含量词命题的真假求 方法点拨：（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质;也可以根据函数等数学知识来解决； （2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设 45．已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为命题“存在，使等式成立”是假命题， 所以命题“任意，使等式成立”是真命题， 即任意，恒成立， 令，则 在上为增函数， 所以， 因为， 即或， 所以命题“存在，使等式成立”是假命题时， 实数m的取值范围为或 故选：C 46．已知命题：，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意是假命题， 故命题，为真命题， 由得，即在上恒成立， 又在上单调递增， 故， 故选：C 47．写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】依题意，“恒成立”是假命题， 当时，恒成立，不符合题意. 当时，可以为负数，符合题意. 当时，，解得. 综上所述，或. 故答案为：（答案不唯一） 48．已知命题“，”，命题“，”．若命题和命题都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由命题“，”，可得， 因为命题为真命题，所以； 又由命题“，”，可得，解得或， 因为命题和命题都是真命题，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 49．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为命题“”是真命题，所以恒成立， ①当时不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，要使得恒成立，则， 解得， 综上可知， 故答案为： 50．已知命题p：“，”，命题q：“，没有实数根”．若p与q均为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】因为命题p：“，”是真命题，且， 所以； 又“，没有实数根”是真命题， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围是. 51．是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【详解】假设存在整数m，使得命题“”是真命题． 当时，， ， 解得． 又m为整数，． 故存在整数，使得命题“”是真命题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$