以集合为背景的含参问题、以常用逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

以集合为背景的含参问题、以常用逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 以集合为背景的含参问题、以常用逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练 考点目录 以集合为背景的含参问题 以常用逻辑用语为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 以集合为背景的含参问题 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 3．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 6．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 7．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，.若，则实数a的取值范围是 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 10．（24-25高一上·陕西·期末）设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知集合为实数. (1)当时，求； (2)若，求的值. 12．（24-25高一上·山东威海·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 考点二 以常用逻辑用语为背景的含参问题 1．（24-25高一上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·三模·多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川凉山·期末·多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 13．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 14．（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点三 集合新定义问题 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东·期中·多选）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 9．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 12．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 14．（24-25高一下·湖南·阶段练习）设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义. (1)当时，求和； (2)是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由； (3)当时，求的最小值，并给出此时的集合. 15．（24-25高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以集合为背景的含参问题、以常用逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题专项训练 以集合为背景的含参问题、以常用逻辑用语为背景的含参问题、集合新定义问题 专项训练 考点目录 以集合为背景的含参问题 以常用逻辑用语为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 以集合为背景的含参问题 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 3．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 4．（24-25高二下·河北·期末）已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 6．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 7．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，.若，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】由题设交集不为空，即即可，故. 故答案为： 8．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 又因， 所以 （2）因为，所以有， 解得， 所以的取值范围为． 10．（24-25高一上·陕西·期末）设全集为，集合，，其中． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，， 或，又， ． （2），， 当，即，即时，符合题意； 当，即时，，无解． 实数的取值范围是． 11．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知集合为实数. (1)当时，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，. （2）， （ⅰ）当时，.此时，不符合题意舍去. （ⅱ）当时，或2. 当时，，不符合题意舍去. 当时，符合. 综上：. 12．（24-25高一上·山东威海·期末）已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由或，所以； 当时，由，所以. 所以 （2）由，所以. 若，则方程无解，所以； 若，则； 若，则. 综上可得：的取值范围为或. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 14．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 考点二 以常用逻辑用语为背景的含参问题 1．（24-25高一上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 3．（2024·重庆·三模·多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 4．（23-24高一上·四川凉山·期末·多选）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. 7．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 9．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，则或， 且，则或； （2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合，集合． (1)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． (2)若；求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）命题，命题，若是的充分条件，则有． 所以解得：． 所以实数的取值范围． （2）因为，要使，只需或， 解得：或． 所以实数的取值范围． 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真命题，，解得， 又； （2）是的必要不充分条件，是的真子集， 解得，故实数的取值范围为 12．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则故且， 又， 故 （2）由于“”是“”的充分不必要条件， 所以, 当为空集时，则，解得， 当不为空集时，则或，解得， 综上可得 13．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知集合，集合， (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； （2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 14．（24-25高一上·甘肃·期末）已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 15．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，由得，， （2），. 又.实数的取值范围. （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是. 考点三 集合新定义问题 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 2．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 4．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 6．（24-25高一上·广东·期中·多选）设，为非空实数集，定义，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A，由题可知，，故正确； 选项B, , 所以， 同理 所以，故选项B正确； 选项C，，故当集合中没有元素时，选项C错误； 选项D，由题可知，但是可能为空集，所以选D错误； 故选：AB 7．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 8．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 12．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3)，，理由见解析 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 13．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 14．（24-25高一下·湖南·阶段练习）设，集合，且，称为的生成集，为的伴生集.用表示集合中元素个数，定义. (1)当时，求和； (2)是否存在含有三个元素的正整数集合，使得和同时取最小值？若存在，给出一种集合；若不存在，请说明理由； (3)当时，求的最小值，并给出此时的集合. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)， 【详解】（1）由，可得：； 所以. （2）不存在，理由如下： 假设存在这样的三元正整数集合满足条件，不妨设. 考虑：注意到，所以. 当时，，此时， 所以. 事实上，， 所以当取最小值时，一定有. 考虑：注意到，所以. 当时，，此时， 所以. 事实上，， 所以当取最小值时，一定有. 所以. 即，此时，矛盾. 所以满足上述条件的集合不存在. （3）当时，不妨假设， 此时总有，所以. 对应的，考虑中元素个数最多的情况， 此时显然有互不相同，所以. 所以 下面证明当时，等号成立. 事实上，，且在和之间的所有整数值都取得到，所以此时. 对于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 从小到大排序为：，，，，，，，，， ； 显然这10个数互不相等，此时. 综上，当时，， 即为的最小值. 15．（24-25高一上·云南昭通·期末）集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1348 【详解】（1）根据题意，由,则，； （2）由于集合，且， 所以中也只包含四个元素，即， 于是，剩下的， 由于 所以， 注意到，于是； （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ， 中最小的元素为，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则， 依题意有，即， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $