精品解析：辽宁省大连市沙河口区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

沙河口区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分选 择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面图案是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，2.5 B. 1，1，2 C. 5，12，13 D. 1，， 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有两条边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第一、三、四象 7. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解我国初中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 在一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数6 C. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据较稳定 D. 一般来讲，鞋店要关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数 8. 如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 食用油的沸点一般都在以上，适当地掌握加热时间和油的温度，能使菜肴酥松香脆．为了掌握家中的食用油加热时间，小明用刻度不超过的温度计，在锅内倒入一些油，用煤气灶均匀加热，每隔测量一次锅中的油温，测量得到的数据如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小明家的油是花生油，他在网上查得以下信息：①花生油的沸点是；②炸薯条时在油温达到沸点的8成时将薯条下锅，口感最好．若花生油按上述实验中的速度继续升温，小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点E，F分别在，上且，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 13. 如图为一次函数的图象，不等式的解为________． 14. 如图，矩形对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长为________． 15. 如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 18. 目前，水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素，我国是世界上用水量最多的国家，也是世界上13个贫水国家之一． 某校为鼓励学生节约用水，展开“用数学知识宣传节水”的活动．他们成立研究小组，收集了学校附近的某小区居民的用水量．通过简单的随机抽样，获得50个家庭去年的月平均用水量． 将这些数据从小到大排列后分成5个组，A：，B：，C：，D：，E：，绘制了表1，又绘制扇形统计图，图2是扇形图的一部分． A B C D E 1.5 5.1 10.1 15.9 22.2 2 5.2 10.2 16.7 24.8 2.1 5.4 10.7 17.5 2.4 5.5 11.1 18 3.1 5.6 11.3 19 3.4 5.7 11.4 3.5 5.9 12 3.9 6.2 12.5 4.2 6.2 13.6 45 6.4 13.8 4.8 6.8 14.4 4.9 6.9 7.1 7.3 7.3 7.7 79 8.3 8.9 9.7 （1）填空：A组共有户数①________，②________； （2）为了鼓励节约用水，要先确定一个月用水量的标准，同学们经过计算，得出本小区家庭月用水量的平均数是，并提出下面的问题： ①哪个范围的用水量最多？ ②小区有1200户家庭，要使600户被评为“节约用水之家”光荣称号，那么“节约用水之家”的月用水量的标准是什么，为什么？ （3）根据上述对数据的分析，对本小区家庭如何进行节约用水给出一个建议． 19. 如图，利用一面长为的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，已知花园的面积是，求的长． 20. 如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使，连接AE． （1）求证：四边形ABDE平行四边形； （2）连接OE，若，，求OE的长． 21. P、Q两地相距，甲和乙都由P地出发去Q地，甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．如图为甲，乙两人离开P地的路程分别与甲出发时间的图象． （1）解释图中点A的实际意义； （2）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）甲和乙何时相遇？ 22. “从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 23. 设是x轴上的一点，它与点和的距离和是y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中，按照列表、描点、连线的步骤画出y关于x的函数图象； （3）利用（2）中的图象解决问题： ①若直线与图象有两个交点，求k的取值范围； ②点C是图象上一点，点D是平面内一点，是否存在这样的点C，使四边形是菱形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙河口区2023~2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分选 择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面图案是巴黎奥运会的部分比赛场馆标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：C． 2. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质对各个选项中的式子进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1.5，2，2.5 B. 1，1，2 C. 5，12，13 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，， ， 能组成直角三角形，故不符合题意； B、， 不能组成三角形，故符合题意； C、，， ， 能组成直角三角形，故不符合题意； D、，， ， 能组成直角三角形，故不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 有两条边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四个角相等的菱形是正方形 D. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有两条邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、四个角相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意； D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5. 用配方法解方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解一元二次方程变形即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6. 函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第一、三、四象 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确当，，一次函数的图象经过第一、三、四象限．根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到该函数经过哪几个象限． 【详解】解：中，，， 该函数图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解我国初中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 在一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数是6 C. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据较稳定 D. 一般来讲，鞋店要关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数据分析有关的知识，关键是审清题意，并熟知调查的方式，平均数、中位数、众数和方差的意义和区别． 【详解】解：A．为了解我国初中学生的心理健康情况，应选择抽样调查，故A选项不符合题意； B．一组数据7，6，6，6，5，5，8中，平均数是，故B选项不符合题意； C．方差越小越稳定，，甲组数据更稳定，故C选项不符合题意； D．一般来讲，鞋店要关心卖出鞋的尺码组成的一组数据的众数，故D选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 9. 食用油的沸点一般都在以上，适当地掌握加热时间和油的温度，能使菜肴酥松香脆．为了掌握家中的食用油加热时间，小明用刻度不超过的温度计，在锅内倒入一些油，用煤气灶均匀加热，每隔测量一次锅中的油温，测量得到的数据如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 小明家的油是花生油，他在网上查得以下信息：①花生油的沸点是；②炸薯条时在油温达到沸点的8成时将薯条下锅，口感最好．若花生油按上述实验中的速度继续升温，小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式．由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把代入即可求出答案． 【详解】解：由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，设油温与时间的函数关系，把分别代入得， 则， 解得 ∴， 当时，， 解得， 即小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是， 故选：D． 10. 如图，正方形中，点E，F分别在，上且，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．根据正方形的性质可得，，将 绕点顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，由此即可求解，掌握一元二次方程根于系数的关系，解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 13. 如图为一次函数的图象，不等式的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分所有的点的横坐标所构成的集合；直接根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，根据矩形的性质可求解的长，再利用菱形的性质可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形为菱形， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：8． 15. 如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算． （1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可； （2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 或， 所以，． 17. 如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底面放置时，最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，即可得出答案． 【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时 当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图， 在中，根据勾股定理得 的范围是：． 18. 目前，水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素，我国是世界上用水量最多的国家，也是世界上13个贫水国家之一． 某校为鼓励学生节约用水，展开“用数学知识宣传节水”的活动．他们成立研究小组，收集了学校附近的某小区居民的用水量．通过简单的随机抽样，获得50个家庭去年的月平均用水量． 将这些数据从小到大排列后分成5个组，A：，B：，C：，D：，E：，绘制了表1，又绘制扇形统计图，图2是扇形图的一部分． A B C D E 1.5 5.1 10.1 15.9 22.2 2 5.2 10.2 16.7 24.8 2.1 5.4 10.7 17.5 2.4 5.5 11.1 18 3.1 5.6 11.3 19 3.4 5.7 11.4 3.5 5.9 12 3.9 6.2 12.5 4.2 6.2 13.6 4.5 6.4 13.8 4.8 6.8 14.4 4.9 6.9 7.1 7.3 7.3 7.7 7.9 8.3 8.9 9.7 （1）填空：A组共有户数①________，②________； （2）为了鼓励节约用水，要先确定一个月用水量的标准，同学们经过计算，得出本小区家庭月用水量的平均数是，并提出下面的问题： ①哪个范围的用水量最多？ ②小区有1200户家庭，要使600户被评为“节约用水之家”光荣称号，那么“节约用水之家”的月用水量的标准是什么，为什么？ （3）根据上述对数据的分析，对本小区家庭如何进行节约用水给出一个建议． 【答案】（1）12，40； （2）①在这个范围的家庭最多；②标准定为“月用水量不超过的家庭可以获得节约用水家庭”，理由见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据表1可知，A组共有户数12，B组共有户数20，根据百分比公式计算即可得到答案； （2）①根据表1可得到答案；②根据题意，获得“节约用水家庭”称号户数占总数的一半，则应该以月用水量的中位数为标准，计算中位数即可； （3）根据平均用水量和中位数分析即可． 【小问1详解】 解：根据表1可知，A组共有户数12，B组共有户数20 则B组的占比 故答案为：12，40． 【小问2详解】 解：①根据表1可知，B组的户数是20，频数最多 在这个范围的家庭最多 ②根据题意，获得“节约用水家庭”称号户数占总数的一半，则应该以月用水量的中位数为标准． 一共有50个数据 中位数是从小到大排序后的第25个和第26个数字的平均数，即 标准定为“月用水量不超过的家庭可以获得节约用水家庭” 【小问3详解】 解：该小区的平均月用水量是，中位数为，从表中也看出有些家庭月用水量较大，建议对月用水量大于的家庭开展水管检查、制定节水计划等措施． 【点睛】本题考查了频数分布表，扇形图，样本估计总体，中位数，平均数等，熟练掌握以上知识点并准确从统计图获取信息是解题的关键． 19. 如图，利用一面长为的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，已知花园的面积是，求的长． 【答案】长为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为．根据花园的面积是列方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：设的长为，则的长为． 根据题意，得 解方程，得 当时， 不符合题意，舍去，则符合题意， 答：的长为． 20. 如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接OE，若，，求OE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据DE=AB，DE∥AB，即可得出四边形ABDE是平行四边形． （2）过O作OF⊥CD于F，依据矩形的性质即可得到OF以及EF的长，再根据勾股定理即可得到OE的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵DE=CD， ∴DE=AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）如图所示，过O作OF⊥CD于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC， ∴F是CD的中点， ∴DF=CD=×2=1， 又∵DE=CD=AB=2， ∴EF=3， ∵O是AC的中点， ∴OF是△ACD的中位线， ∴OF=AD=2， ∴Rt△OEF中，OE=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定方法． 21. P、Q两地相距，甲和乙都由P地出发去Q地，甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．如图为甲，乙两人离开P地的路程分别与甲出发时间的图象． （1）解释图中点A的实际意义； （2）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）甲和乙何时相遇？ 【答案】（1）乙在甲出发小时后，离开P地； （2）的解析式为，自变量取值范围是； （3）甲出发2小时后甲和乙相遇． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获正确信息是解题的关键． （1）甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．据此即可得到点A的实际意义； （2）先求出，利用待定系数法求出函数解析式，并写出自变量的取值范围即可； （3）利用待定系数法求出的解析式，联立和的解析式，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，甲骑自行车出发小时后，乙乘汽车以的速度出发．则点A的实际意义是：乙在甲出发小时后，离开P地； 【小问2详解】 解：由题意可得， ∴ 设的解析式为 ∵经过 解得， ∴解析式为，自变量取值范围是 【小问3详解】 解：设的解析式为，由图可知，经过 ∴ 解得， ∴的解析式为 解方程组 解得， ∴甲出发2小时后甲和乙相遇· 22. “从一般到特殊”是数学思想方法中的一种，在解决一般问题后，用得到的规律解决同类事物的新问题，这种认识事物的过程和方法就体现“从一般到特殊”的思想． 【一般问题】 （1）如图1，和是以点A为直角顶点的两个等腰直角三角形，绕点A旋转，直线，相交于点M． 求证：①；②． 【特例应用】 （2）在（1）的条件下，点E恰好旋转到射线上．在图2中把图形补充完整，若，求的长度． 【综合拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，线段绕点A顺时针旋转，点P的对应点为F．在点P的运动过程中，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）图形见解析，；（3）OF的最小值． 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，添加辅助线是解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形的性质，证明，即可解答；②根据全等三角形的性质及三角形内角和定理，即可解答； （2）根据勾股定理求出，，，进而求出，即可解答； （3）、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、，证明，根据勾股定理求出的坐标，进而求出直线的解析式，得到直线与轴的交点，求得，即可解答． 【详解】（1）证明：①∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ②由①，， ， ， （2）画图见下， 在中，由勾股定理得， 同理可得，， 在和中，分别由勾股定理得， ， 解得，， ， （3）解：如图，、绕点顺时针旋转，对应点分别为、，过点、作轴与的垂线段，垂足分别为、， ，， ∴ ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，带入其中， ， 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为， ，为点到直线的最小距离， 点为直线上的动点， 的最小值． 23. 设是x轴上的一点，它与点和的距离和是y． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中，按照列表、描点、连线的步骤画出y关于x的函数图象； （3）利用（2）中的图象解决问题： ①若直线与图象有两个交点，求k的取值范围； ②点C是图象上一点，点D是平面内一点，是否存在这样的点C，使四边形是菱形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）①当时，直线与函数图象有两个交点；②存在，当或时，四边形是菱形． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、一次函数的图象和性质、解一元二次方程等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据题意可得，，再根据的取值范围求出函数解析式即可； （2）按照列表描点连线的方法作出函数图象即可； （3）①求出直线与x轴交于，若与平行，可得其解析式为；若过，则，解得 ，结合函数图象即可得到答案；②分两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ 【小问2详解】 列表： x 1 2 5 6 y 5 3 3 5 描点并连线，得图象如下： 【小问3详解】 ①如图， 当时，，则， ∴直线与x轴交于 若与平行，可得其解析式为； 若过，则， 解得， ∴为 结合图1可得，当时，直线与函数图象有两个交点 ②若四边形是菱形，则是邻边 ，即， 由图2可知，满足条件的点C有两个： （Ⅰ）当C在上时， 设，可列方程，， 解得，， 结合图2，不合题意，舍去， ， 此时， （Ⅱ）当C在上时， 过作轴于点H， 在中，由勾股定理得， ， 综上，当或时，四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$