精品解析：辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023－2024学年度第二学期期末学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的面积为50，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10 7. 某同学记录了平时体质健康测试成绩，其中立定跳远和50米跑的10次测试成绩如图所示，立定跳远和50米跑成绩的方差分别为，，则和大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 在中，，高，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，连接，则四边形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 10. 一辆汽车油箱中有汽油，该汽车耗油量为．如果不再加油，则油箱中的油量（单位：L）与行驶路程（单位：）之间的函数关系用图象表示为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：=_______． 12. 命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题是_________命题（填“真”或“假”）． 13. 已知一组数据是：5，6，6，6，7，则这组数据的方差是_____________． 14. 我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为_____________分． 15. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．研究发现华氏温度值与摄氏温度值之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 则y与x之间的函数解析式为_____________．（不用写出自变量的取值范围） 三、解答题（本题共8小题、共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程：． 17. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 18. 如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． （1）求点的坐标； （2）点在线段上，横坐标为，设面积为，请用含的式子表示． 20. 大连樱桃种植至今已有130多年的历史，樱桃果实光泽鲜艳闪亮，酸甜可口，深受人们喜欢，某校开展劳动教育实践活动，组织同学们到樱桃基地，了解樱桃成熟时间和采摘方式，感受樱桃采摘、筛选、洗净等劳动过程．甲、乙两位同学从自己采摘的樱桃中，各随机选取15个樱桃，他们测量了每个樱桃的质量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：甲同学选取樱桃质量 141，14.2，14.2，14.2，14.2，14.3，14.3，14.4，14.5，14.6，14.6，14.9，15，15，15 信息二：乙同学选取樱桃质量的统计图如下 信息三：甲、乙两位同学选取的15个樱桃质量的平均数、中位数、众数 平均数 中位数 众数 甲 14.5 14.4 乙 14.5 15 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________； （2）同学们用采摘的樱桃点缀蛋糕，一个蛋糕中需要5个樱桃．如果这5个樱桃质量的方差越小，则认为这个蛋糕的品相越好，甲、乙两位同学从各自选取的15个樱桃中，选出5个樱桃点缀蛋糕．甲同学选出樱桃的质量分别为15，14.9，14.6，14.6，14.5；乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，，． 若乙同学想要选出的樱桃的平均质量不低于甲同学选出樱桃的平均质量，且樱桃蛋糕品相尽可能好，于是乙同学设计了三个方案： 方案1：，，此时5个樱桃质量的方差为： 方法2：，，此时5个樱桃质量方差为 方法3：，，此时5个樱桃质量的方差为： 请你利用学过的统计量，帮助乙同学选择最优方案，并分析选择的理由． 21. 【问题情境】 水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水水量和漏水时间的关系，实践小组在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量，并收集、整理相关数据． 【问题发现】 实践小组将收集的数据整理成下面的表格，检查后发现时，的值是错误的，请你改正过来． 次数（次） 1 2 3 4 5 6 … 漏水时间（min） 0 10 20 30 40 50 … 漏水量（ml） 1 7 … （1）的值是__________； 【问题探究】 实践小组把上表中，各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出草图，猜想并验证与之间的函数关系； （2）请你在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象，求出这个函数解析式并进行验证； 【问题解决】 （3）如果这个水龙头持续漏水，且每分钟的漏水量不变，那么一个月的漏水量能否超过十瓶矿泉水的总容量？（一个月按30天计算，一瓶矿泉水容量约为） 22. 【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 23. 定义：对于给定的一次函数，当时，自变量对应的函数值不变；当时，自变量对应的函数值为原函数值的相反数，我们称这样的函数是一次函数的级反联函数． 例如：当时，一次函数的1级反联函数为，对应的函数图象如图所示． （1）若点在一次函数的1级反联函数的图象上，求的值； （2）已知一次函数． ①当时，求这个函数的1级反联函数的函数值的取值范围； ②当时，此时这个函数的1级反联函数的函数值的取值范围为，则的取值范围为___________；（直接写出答案） ③已知点，点，在轴上方作矩形，使，当矩形与这个函数的级反联函数的图象有两个交点，且矩形与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积为1时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末学习质量抽测 八年级数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一般步骤是：先把二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，即完成了配方；根据配方过程即可完成． 【详解】解：配方，得：， 即， 则； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念，二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； 、，正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减混合运算，掌握以上计算方法是解题的关键． 3. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：D． 4. 一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据销售量统计图知，尺码为的该款运动鞋销量最多， 因而应多进些，这是众数的影响，因而可作出判断． 【详解】由于尺码为的该款运动鞋销量最多，因而影响鞋店这一决策的统计量是众数 故选：C． 【点睛】本题考查了众数这一统计量，一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，众数反映一组数据的集中趋势． 5. 在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 6. 如图，正方形的面积为50，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质与勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据已知条件求出边长，再由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为50， ， ． 故选D． 7. 某同学记录了平时体质健康测试成绩，其中立定跳远和50米跑的10次测试成绩如图所示，立定跳远和50米跑成绩的方差分别为，，则和大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由题意知，50米跑的成绩波动幅度小于立定跳远成绩的波动幅度， 故， 故选A． 8. 在中，，高，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得是等边三角形，从而得，利用勾股定理即可求解．本题主要考查等边三角形的性质，解答的关键是明确等边三角形的高线，也是相应的边的角平分线． 【详解】∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵是高 ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：B． 9. 在中，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，连接，则四边形的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据作图过程得到，为的平分线，即可证明四边形为平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 根据作图过程得到，为的平分线， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形的周长为， 故选B． 10. 一辆汽车油箱中有汽油，该汽车耗油量为．如果不再加油，则油箱中的油量（单位：L）与行驶路程（单位：）之间的函数关系用图象表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由图形理解对应函数关系及其实际意义，准确理解题意是解题的关键．油箱中的油量总油量公里消耗的油量，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故图像是选项D． 故选D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12. 命题“平行四边形两条对角线互相平分”的逆命题是_________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行线的判定方法判定逆命题的真假． 【详解】解：“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题是：“对角线互相平分的四边形为平行四边形”，它是真命题． 故答案为：真． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 13. 已知一组数据是：5，6，6，6，7，则这组数据的方差是_____________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，先计算这组数据的平均数，再利用方差公式计算即可． 【详解】解：由题意得，这组数据的平均数为， ∴， 故答案：0.4． 14. 我国2024年六五环境日主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为_____________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，熟记公式是解题的关键．根据加权平均数的计算方法解答即可． 【详解】解：小红的综合成绩为， 故答案为：． 15. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．研究发现华氏温度值与摄氏温度值之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 则y与x之间的函数解析式为_____________．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法解函数解析式即可． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题、共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，，， ∴． ∴， ，． 17. 如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形的对应边相等及对角线相等，找出等量关系求解即可． 主要考查了矩形的性质．要掌握矩形的性质：对角线相等，对应边平行且相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 又∵， 四边形是平行四边形， ， ． 18. 如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？ 【答案】2520元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，先利用勾股定理求出的长，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据求出四边形的面积，即可解题． 【详解】解：连接， 在中，，根据勾股定理，得． ，， ． ，， ． ， ． 为直角三角形． ， ． ． 答：铺这块空地需要投入资金2520元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． （1）求点的坐标； （2）点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设点的坐标为，证明，得到，，即可求出答案； （2）求出直线的解析式，表示出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：点在正比例函数上， 设点的坐标为． ，． ， ， ． 四边形为矩形， ，． ． ． ， ． ，． 点的坐标为， ． 即． ． ∴ ∴ 点的坐标为； 【小问2详解】 解：设所在直线的解析式为，由（1）得，， ， 直线的解析式为 点在线段上， 点的坐标为． ． 20. 大连樱桃种植至今已有130多年的历史，樱桃果实光泽鲜艳闪亮，酸甜可口，深受人们喜欢，某校开展劳动教育实践活动，组织同学们到樱桃基地，了解樱桃成熟时间和采摘方式，感受樱桃采摘、筛选、洗净等劳动过程．甲、乙两位同学从自己采摘的樱桃中，各随机选取15个樱桃，他们测量了每个樱桃的质量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：甲同学选取樱桃质量 14.1，14.2，14.2，14.2，14.2，14.3，14.3，14.4，14.5，14.6，14.6，14.9，15，15，15 信息二：乙同学选取樱桃质量的统计图如下 信息三：甲、乙两位同学选取的15个樱桃质量的平均数、中位数、众数 平均数 中位数 众数 甲 14.5 14.4 乙 14.5 15 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________； （2）同学们用采摘的樱桃点缀蛋糕，一个蛋糕中需要5个樱桃．如果这5个樱桃质量的方差越小，则认为这个蛋糕的品相越好，甲、乙两位同学从各自选取的15个樱桃中，选出5个樱桃点缀蛋糕．甲同学选出樱桃的质量分别为15，14.9，14.6，14.6，14.5；乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，，． 若乙同学想要选出的樱桃的平均质量不低于甲同学选出樱桃的平均质量，且樱桃蛋糕品相尽可能好，于是乙同学设计了三个方案： 方案1：，，此时5个樱桃质量的方差为： 方法2：，，此时5个樱桃质量的方差为 方法3：，，此时5个樱桃质量的方差为： 请你利用学过的统计量，帮助乙同学选择最优方案，并分析选择的理由． 【答案】（1）14.2，14.6 （2）方案1为最优方案，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了方差，加权平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）找出甲同学选取樱桃质量出现次数最多为众数，即为的值；观察乙同学选取樱桃质量的统计图，找出从小到大排在第8位的为中位数，即为的值； （2）把三种方案中的与的值代入求出乙同学选出樱桃的平均质量，根据乙同学想要选出的樱桃的平均质量不低于甲同学选出樱桃的平均质量且这5个樱桃质量的方差越小即可． 【小问1详解】 根据题意得：甲同学选取樱桃质量出现次数最多的为14.2，即众数； 乙同学选取樱桃质量为：13，13.8，13.9，14.4，14.4，14.4，14.6，14.6，14.8，15，15，15，15，15，最中间的为14.6，即中位数； 故答案为：14.2，14.6； 【小问2详解】 乙同学选择方案1，理由为： 甲同学选出樱桃的质量分别为15，14.9，14.6，14.6，14.5，平均质量为14.72， 方案1：乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，15，14.6，平均质量为14.72，方差为0.0256， 方案2：乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，15，15，平均质量为14.8，方差为0.032， 方案3：乙同学选出樱桃的质量分别为14.8，14.6，14.6，14.6，14.4，平均质量为14.6，方差为0.016， ，， 方案3排除，方案1，2中选择方差较小的方案1． 21. 【问题情境】 水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水水量和漏水时间的关系，实践小组在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量，并收集、整理相关数据． 【问题发现】 实践小组将收集的数据整理成下面的表格，检查后发现时，的值是错误的，请你改正过来． 次数（次） 1 2 3 4 5 6 … 漏水时间（min） 0 10 20 30 40 50 … 漏水量（ml） 1 7 … （1）的值是__________； 【问题探究】 实践小组把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出草图，猜想并验证与之间的函数关系； （2）请你在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象，求出这个函数解析式并进行验证； 【问题解决】 （3）如果这个水龙头持续漏水，且每分钟的漏水量不变，那么一个月的漏水量能否超过十瓶矿泉水的总容量？（一个月按30天计算，一瓶矿泉水容量约为） 【答案】（1）；（2）见解析；，见解析；（3）超过 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式． （1）根据表格可知，每分钟漏水量为，即得； （2）描点画出图像，用待定系数法求出函数解析式； （3）求出一个月的漏水量比较即可． 【详解】（1）根据表格可知，每分钟漏水量为，即得， 故答案为：； （2）描点画出图像， 设 把代入得， ， 解得， ； 验证：当时，， 时，， 时，， 时，， （3）当时， 故超过十瓶矿泉水的总容量． 22. 【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，根据菱形的性质，证明，得到，，结合，，得到，证明，进而证明，利用等角对等边得到，由此得证；方法二：过点作交于点，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形菱形，可证四边形为平行四边形，由此得证； （2）① 连接交于点，可得，根据勾股定理求得、，由此可得的长； ② 方法一：过点作于点，证明四边形为矩形，从而得到，即可得解；方法二：过点作交延长线于点，证明四边形为矩形，即可得解； （3）过点作，连接，连接交于点，由已知可证四边形是正方形，设，则，，利用勾股定理，可求得，进而求得，从而证明四边形为平行四边形，为中点，证明，，进而证得，设，在和中，利用勾股定理，求得，由此得解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，如图， 四边形菱形， ，． ， ． ，． ， 又， ． ． ． ． ． ． 方法二：证明：过点作交于点，连接，． ， 又， ． ． ，， 四边形是平行四边形， ， 又 四边形菱形， ，， ，． 四边形为平行四边形． ． （2）解：①连接交于点， 四边形菱形， ，，． 由（1）得，， 为的中位线． 在中，． 在中，． ． ②方法一：过点作于点， ． 由（1）得，， ． ． 四边形为矩形． ，，． ． ． ． ． 方法二：过点作交延长线于点，如图所示， ， ， 由（1）得，， ， ， 四边形为矩形． ，，， ， ，又， ， ． （3）解：过点作，连接，连接交于点，如图， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 根据第（1）问，，又， 为中位线， ， ， ，又， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 23. 定义：对于给定的一次函数，当时，自变量对应的函数值不变；当时，自变量对应的函数值为原函数值的相反数，我们称这样的函数是一次函数的级反联函数． 例如：当时，一次函数的1级反联函数为，对应的函数图象如图所示． （1）若点在一次函数的1级反联函数的图象上，求的值； （2）已知一次函数． ①当时，求这个函数的1级反联函数的函数值的取值范围； ②当时，此时这个函数的1级反联函数的函数值的取值范围为，则的取值范围为___________；（直接写出答案） ③已知点，点，在轴上方作矩形，使，当矩形与这个函数的级反联函数的图象有两个交点，且矩形与这个反联函数的图象所围成的三角形的面积为1时，求此时的值． 【答案】（1） （2）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）把代入求出t； （2）①根据定义写出一次函数的一级反联函数，再根据对应的范围和一次函数增减性求的范围即可； ②根据定义分段求出值，求出对应范围即可； ③分别考虑一级反联函数两支图象，将临界点代入，再确定m范围，再根据面积求出m值进行取舍． 【小问1详解】 解：由定义可知：一次函数的一级反联函数 点在一级反联函数的图象上，， 把代入得：． ． 【小问2详解】 ①由定义可知：一次函数的一级反联函数． ，当时，． ，当时，． 当时，；当时，， 一次函数，，随的增大而增大． 当时，． 一次函数，，随的增大而减小． 当时，． 综上所述：． ②当时，， 当时，； 当时，； ∴， 故答案为． ③情况一：当时， 点，四边形为矩形， 把代入，此时点坐标为． 如图1所示：矩形与这个函数的级反联函数的图象有两个交点， ，即． ． 把代入， ． 点坐标为． ，． ， （舍），． 情况二：当时， 点， 把代入，此时点坐标为． 如图2所示：把代入． 矩形与这个函数的级反联函数的图象有两个交点， ，即． ． 把代入，． 点坐标为． ，． ． ，（舍） 综上所述：的值为或． 【点睛】此题考查了一次函数的性质和新定义的问题，解答关键是利用分类讨论和数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$