精品解析：四川省自贡市富顺县安和实验学校2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

2023—2024年度下学期第二次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8个小题，每题3分，共24分，每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中， ，解得：x≥-1且x≠2， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2. 化简的结果是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：. 故选B. 考点：二次根式的化简. 3. 如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于（ ） A. 110° B. 35° C. 80° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝100°， ∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣100°＝80°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键． 4. 下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果． 【详解】解：①， ∴， ∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形； ②， ∴， ∴， ∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形； ③， ∴=，即△ABC为直角三角形； ④， ∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k， ∴6k+3k+2k=180°， ∴k=， ∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形； ⑤， 设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°， 解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形； ⑥， 设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 5. 如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴， ∵点E为AC的中点， ∴， ∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 6. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标． 首先把代入，求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：把点代入得， ， 解得：， ， 不等式解集为． 故选：A． 7. 如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，推导得DE，根据直角三角形斜边中线的性质，得DF，再通过计算即可得到答案． 【详解】∵DE是△ABC的中位线，BC＝8， ∴DE＝BC＝4． ∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6， ∴DF＝AB＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 8. 如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A. 12 B. 14 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，点P从B向C运动时，AP的最小值为4，即BC边上的高为4，当AP⊥BC，AP＝4，由勾股定理可知BP＝3，再由于图象的曲线部分是轴对称图形，可得PC＝3，即可得BC＝6，由此即可求得△ABC的面积． 【详解】根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大， 由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5， 点P从B向C运动时，AP的最小值为4， 即BC边上的高为4， ∴当AP⊥BC，AP＝4， 此时，由勾股定理可知：BP＝3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PC＝3， ∴BC＝6， ∴△ABC的面积为：×4×6＝12． 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AP的长，以及点P运动到与BC垂直时最短是解题的关键． 二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 9. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再进行合并即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算的步骤及方法是解题的关键． 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为2，则线段AD的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝2，可证△AOB是等边三角形，可得AB＝1＝OA，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD＝2， ∴AO＝OB＝1， ∵∠ABO＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝1＝OA， ∴AD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键． 11. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深多少尺． 【答案】12 【解析】 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺，故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程式解题的关键． 12. 广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来________盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来________盆花摆另一条对角线． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等即可得到答案． 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 故答案为：，． 13. 同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 14. 如图，直线y＝ax＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象分别求出不等式和的解，再找出它们的公共部分即可得． 【详解】解：不等式表示直线的函数图象位于轴上方， 则不等式的解为， 不等式表示直线的函数图象位于轴下方， 则不等式的解为， 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 三、解答题（本题共5道题，每题5分，共25分） 15. 计算：﹣×（＋1）（﹣1）． 【答案】﹣． 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式＝3﹣2×（3﹣1） ＝3﹣4 ＝﹣． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，以及负整数指数幂的性质，零指数幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，，，B是上的一点，，．判断的形状，并说明理由 【答案】等腰直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．证明，得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 18. 已知：平行四边形，过点A、C分别作的垂线，交于E、F两点，连接．求证：四边形是平行四边形； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的判定和性质可得，可证由此进行证明即可． 【详解】证明：平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 端午节期间，小明一家自驾游去了离家的某地，下图是他们离家的距离y（）与汽车行驶时间x（）的函数图象，根据图象解答下列问题： （1）求出线段函数表达式； （2）求他们离家时，共用了多少小时？（提示：图中的，，均为线段） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像，熟练掌握求一次函数解析式是解题的关键． （1）设线段函数表达式为，将代入即可得到答案． （2）求出函数表达式，代入即可求值． 【小问1详解】 解：设线段函数表达式为， 将代入， 得， ． 【小问2详解】 解：设线段函数表达式为， 将代入， ，解得， ， 当时，， 解得． 答：求他们离家时，共用了小时． 四、解答题（本题有3个小题，每个小题6分，共计18分） 20. 已知一次函数与正比例函数在同平面直角坐标系内平行，当时，． （1）求一次函数的函数解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出一次函数图象． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握函数平行系数的关系是解题的关键． （1）根据题意得到，将代入即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可． 【小问1详解】 解：一次函数与正比例函数在同平面直角坐标系内平行， ， 将代入， ， ， ； 【小问2详解】 列表： 画出一次函数的图象为： 21. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东方向走了到达B地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C，则A、C两地之间的距离为_______m． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题意点C位于点B的西偏北60゜方向，再根据平行线的性质可得点A位于点B的西偏南30゜方向，从而可得AB⊥BC，由勾股定理即可求得AC的长． 【详解】如图所示，∠CBH=30゜，∠DAB=60゜ ∴∠BAE=90゜－∠DAB=30゜，∠CBF=90゜－∠CBH=60゜ ∵FB∥AE ∴∠FBA=∠BAE=30゜ ∴∠ABC=∠CBF+∠FBA=60゜+30゜=90゜ 在Rt△ABC中，， 由勾股定理得： 故答案为：100 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是知道方位角的含义并得出△ABC是直角三角形． 22. 如图，在□ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别与AD，BC交于点E，F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AC＝6，AE＝5，求菱形AECF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）菱形AECF的面积为24． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AF＝CF，AE＝CE，根据全等三角形的判定推出△AOF≌△COE，根据全等三角形的性质得出AF＝CE，求出AE＝EC＝CF＝AF，根据菱形的判定得出即可； （2）根据勾股定理得出OE，进而根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】证明：（1）∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、F、E， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAC＝∠FCA， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∵AF＝CF，AE＝CE， ∴AE＝EC＝CF＝AF， ∴四边形AECF为菱形； （2）∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵AC＝6，AE＝5， ∴OA＝3， 由勾股定理可得：， ∴EF＝2OE＝8， ∴菱形AECF面积． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）6﹣6． 【解析】 【分析】(1)由E是AC的中点知AE=CE，由AB//CD知∠AFE=∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF=CD，结合AB//CD即可得证； (2) 过C作CM⊥AB于M，先证明△BCM是等腰直角三角形，得到BM＝CM，再由含30°角的直角三角形的性质解得AC＝2AM，BM＝CM＝AM，最后根据AM+BM＝AB，解题即可． 【详解】（1）证明：∵E是AC中点， ∴AE＝CE， ∵CD//AB， ∴∠AFE＝∠CDE， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（AAS）， ∴AF＝CD， 又∵CD//AB，即AF//CD， ∴四边形AFCD是平行四边形； （2）解：过C作CM⊥AB于M，如图所示： 则∠CMB＝∠CMA＝90°， ∵CD//AB， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∴∠B＝180°﹣135°＝45°， ∴△BCM是等腰直角三角形， ∴BM＝CM， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ACM＝30°， ∴AC＝2AM，BM＝CM＝AM， ∵AM+BM＝AB， ∴AM+ AM＝6， 解得：AM＝3 ﹣3， ∴AC＝2AM＝6 ﹣6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连结、，①求证：；②求的度数； 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案； （2）①先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论；②由①知，证明是等边三角形，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：平行四边形， ， ， 的平分线交于点E，交的延长线于F， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ①证明：由题知，， 在平行四边形中，， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024年度下学期第二次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8个小题，每题3分，共24分，每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 化简的结果是（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 2 3. 如图，四边形是平行四边形，将延长至点，若，则等于（ ） A. 110° B. 35° C. 80° D. 55° 4. 下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ） ①；②；③； ④；⑤；⑥． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 16 6. 如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A. 12 B. 14 C. 20 D. 24 二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上） 9. 计算的结果是__________． 10. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABO＝60°，若矩形的对角线长为2，则线段AD的长是______． 11. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深多少尺． 12. 广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来________盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来________盆花摆另一条对角线． 13. 同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 14. 如图，直线y＝ax＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（2.8，0）．则的解集为________． 三、解答题（本题共5道题，每题5分，共25分） 15. 计算：﹣×（＋1）（﹣1）． 16. 计算 17. 如图，，，B是上的一点，，．判断的形状，并说明理由 18. 已知：平行四边形，过点A、C分别作的垂线，交于E、F两点，连接．求证：四边形是平行四边形； 19. 端午节期间，小明一家自驾游去了离家的某地，下图是他们离家的距离y（）与汽车行驶时间x（）的函数图象，根据图象解答下列问题： （1）求出线段函数表达式； （2）求他们离家时，共用了多少小时？（提示：图中，，均为线段） 四、解答题（本题有3个小题，每个小题6分，共计18分） 20. 已知一次函数与正比例函数在同平面直角坐标系内平行，当时，． （1）求一次函数的函数解析式； （2）在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象． 21. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东方向走了到达B地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C，则A、C两地之间的距离为_______m． 22. 如图，在□ABCD中，EF是对角线AC垂直平分线，分别与AD，BC交于点E，F． （1）求证：四边形AECF菱形； （2）若AC＝6，AE＝5，求菱形AECF的面积． 五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，连接AD，CF． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若AB＝6，∠BAC＝60°，∠DCB＝135°，求AC长． 24. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连结、，①求证：；②求度数； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$