精品解析：河南省许昌市禹州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

YZS2023—2024学年下学期期末质量检测 八年级数学 （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 如下是不完整的推理过程： 证明： ， . __________, 四边形是平行四边形. 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 5. “赏中华诗词，寻文化基因”，某校举办了首届“诗词大会”，八年级（1）.班选出了6名同学参加，他们的成绩分别为80，86，90，83，95，90，则这6名同学成绩的中位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 86 D. 80 6. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某火龙果种植基地，先进灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 1.7 1.6 1.6 1.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ） A. 3 B. C. －3 D. 9. 如图，在菱形中，垂直平分，若，则的长为（ ） A 8 B. C. D. 10. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 方程的解是 C. D. 不等式的解集是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 在中，，，则的度数为______． 13. 已知点，是一次函数的图象上的两点，则a_____b（填“>”“<”或“=”）． 14. 将直线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为______． 15. 矩形中，M为对角线中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分，75分） 16. 已知，求的值． 17. 如图，小明对自己家所在小区进行调查后发现，小区车库入口宽为，在入口一侧安装了起落杆，其中为支架，当起落杆仰起并与地面成角时，起落杆的端点C恰好与地面接触，此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗?请你通过计算说明．（参考数据：） 18. 某校团委组织了“讲好党史故事，传承红色基因”系列活动，下表是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 班级 党史知识问答比赛 讲述先烈故事比赛 “永远跟党走”主题板报创作 甲 90 97 93 乙 96 91 92 如果将上述三项成绩按的比确定最终成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 19. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取份，并对数据进行了整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： ，，，，，； 抽取的对款设备的评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）经统计，共有名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）. 20. 如图，在平行四边形中，是它的一条对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F，O（不写作法；保留作图痕迹） （2）在（1）的图形中，连接，求证：． 21. 某市为鼓励广大农户种植草莓，并将这种草莓精加工成A，B两种草莓饮料进行销售．某经销商购进A，B两种草莓饮料，A种草莓饮料进价为30元/箱；B种草莓饮料的进货总金额y（单位：元）与B种草莓饮料进货量x（单位：箱）之间的关系如图所示．已知A，B两种草莓饮料的售价分别为42元/箱和50元/箱． （1）求出和时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进A，B两种饮料共4000箱，并能全部销售．其中B种草莓饮料的进货量不低于1000箱，且不高于3000箱，求销售完A，B两种草莓饮料所获总利润W的最大值． 22. 如图，已知一次函数的图象与y轴交于点D，点在一次函数的图象上，一次函数的图象经过点A且与y轴交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求m的值及一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，则的最小值为_________． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ YZS2023—2024学年下学期期末质量检测 八年级数学 （满分120分，时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，根据被开方数为非负数以及分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解得且 故选：D 2. 在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，绝对值，二次根式以及平方的非负性，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据非负性求出a，b，c，即可判断． 【详解】解：， ， ， 这个三角形一定是直角三角形． 故选：B． 3. 如下是不完整的推理过程： 证明： ， . __________, 四边形是平行四边形. 若要保证推理成立，在横线上添加的条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故横线上添加的条件可以是， 故选A． 4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形和矩形的性质，根据正方形和矩形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、正方形和矩形的对边平行且相等，故不符合题意； B、正方形和矩形的对角线互相平分，故不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线相等且不互相垂直， D、正方形和矩形的对角线相等，故不符合题意； 故选：C． 5. “赏中华诗词，寻文化基因”，某校举办了首届“诗词大会”，八年级（1）.班选出了6名同学参加，他们的成绩分别为80，86，90，83，95，90，则这6名同学成绩的中位数是（ ） A. 90 B. 88 C. 86 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义即可得到答案． 【详解】解：将成绩从小到大排列：， 故中位数为， 故选：B． 6. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：∵茶杯上下细中间粗， ∴水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意，   故选：A ． 7. 某火龙果种植基地，先进的灯光补给系统模拟不同时段的太阳光波，专门给火龙果补光催花，促进火龙果光合作用．技术员随机从甲、乙、丙、丁四个品种的火龙果树中各选50棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差（单位：千克2）如下表所示，种植基地准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的火龙果树进行种植，则应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 20 20 19 18 1.7 1.6 1.6 17 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】先比较平均数得到甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好，然后比较方差得到乙品种的火龙果树的状态稳定，从而求解．本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 【详解】解：∵ ∴甲品种的火龙果树、乙品种的火龙果树的产量的平均数大， 甲品种的火龙果树和乙品种的火龙果树产量较好， ∵ ∴乙品种的火龙果树产量的方差比丙品种的火龙果树产量的方差小， ∴乙品种的火龙果树的产量比较稳定， 故选：B 8. 正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ） A. 3 B. C. －3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于，的方程，变形后即可求出的值． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，垂直平分，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由菱形的性质得出，结合垂直平分，得出是等边三角形，根据勾股定理列式计算，得出，即可作答． 【详解】解：如图：连接交于一点O ∵四边形是菱形 ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴是等边三角形 ∴ 在中， ∴ 故选：C 10. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. B. 方程的解是 C. D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质以及与一元一次不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可得到，．根据直线与直线的交点即可继续判断，得出答案． 【详解】解：由图象可知，，，故选项A、C正确，不符合题意； 直线与直线的交点的横坐标为，即方程的解是，故选项B正确，不符合题意； 根据图象可知，不等式的解集是，故选项D错误，符合题意． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘法再运算加法，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 12. 在中，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．根据题意可知，，在根据题意进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知点，是一次函数的图象上的两点，则a_____b（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．根据，得出y随x的增大而减小，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是一次函数的图象上的两个点，， ∴， 故答案为：． 14. 将直线先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解，掌握一次函数图形平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线先向上平移3个单位长度，得， 再向左平移2个单位长度，得， 故答案为： ． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况，①当时，②当时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出的长，即可得出结论． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当时， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵M为对角线的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当时， 则， ∵M为对角线的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分，75分） 16. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入式子即可得到答案． 【详解】解：， . 17. 如图，小明对自己家所在小区进行调查后发现，小区车库入口宽为，在入口的一侧安装了起落杆，其中为支架，当起落杆仰起并与地面成角时，起落杆的端点C恰好与地面接触，此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗?请你通过计算说明．（参考数据：） 【答案】不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在之间找一点F，使，过点F作，交于点G，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：不能. 理由如下：在之间找一点F，使， 过点F作，交于点G， 如图所示， ，，， . ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过． ， 这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过． 18. 某校团委组织了“讲好党史故事，传承红色基因”系列活动，下表是八年级甲、乙两个班各项目的成绩（单位：分）： 班级 党史知识问答比赛 讲述先烈故事比赛 “永远跟党走”主题板报创作 甲 90 97 93 乙 96 91 92 如果将上述三项成绩按的比确定最终成绩，请通过计算说明甲、乙两班谁将获胜． 【答案】乙班将获胜 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握平均数等于所有数据的总和除以数据的个数是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，求出各自成绩，再比较大小，即可解题． 【详解】解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， ， 乙班将获胜． 19. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取份，并对数据进行了整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： ，，，，，； 抽取的对款设备的评分数据： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）经统计，共有名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数； （3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）. 【答案】（1），，； （2）名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为人； （3）款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由见解析． 【解析】 【分析】（）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，； （）利用样本估计总体即可； （）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论； 本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份， ∴“满意”所占百分比为：， ∴“比较满意”所占百分比为：， ∴， 抽取的对款设备的评分数据排序：，，，，，，，，，，，，，，，， ，， ，，则的中位数是第份和第份数据的平均数， ∴第份和第份数据为“满意”，评分分别为，， ∴， ∵抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是， ∴， 故答案：，，； 【小问2详解】 解：名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人）， 答：名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为人； 【小问3详解】 解：款自动洗车设备更受欢迎， 理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）． 20. 如图，在平行四边形中，是它的一条对角线． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F，O（不写作法；保留作图痕迹） （2）在（1）的图形中，连接，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质得到根据平行线的性质得到，．根据线段垂直平分线的性质．根据全等三角形的性质得到．根据平行四边形的性质即可得到结论． 本题考查了作图基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 猜想， 证明：四边形是平行四边形． ，． 是的垂直平分线 ． 在和中 ． ． 四边形是平行四边形 ． ． ． 21. 某市为鼓励广大农户种植草莓，并将这种草莓精加工成A，B两种草莓饮料进行销售．某经销商购进A，B两种草莓饮料，A种草莓饮料进价为30元/箱；B种草莓饮料的进货总金额y（单位：元）与B种草莓饮料进货量x（单位：箱）之间的关系如图所示．已知A，B两种草莓饮料的售价分别为42元/箱和50元/箱． （1）求出和时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进A，B两种饮料共4000箱，并能全部销售．其中B种草莓饮料的进货量不低于1000箱，且不高于3000箱，求销售完A，B两种草莓饮料所获总利润W的最大值． 【答案】（1） （2）70000元 【解析】 【分析】（1）当时，设，把代入求出即可；当时，设，代入，两点坐标求出，即可． （2）设购进种草莓箱，则购进种草莓饮料箱，列出关于的一次函数关系式，求出最大值即可． 本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理清题意，正确找出等量与不等关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，设， 根据题意，得，解得， ∴. 当时，设， 根据题意，得，解得， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：设购进B种草莓饮料箱，则购进A种草莓饮料箱， 由题意得， ∵，， ∴当时，W的最大值为（元）， ∴销售完A，B两种草莓饮料所获总利润W的最大值为70000元． 22. 如图，已知一次函数的图象与y轴交于点D，点在一次函数的图象上，一次函数的图象经过点A且与y轴交于点，与x轴交于点C，连接． （1）求m值及一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，则的最小值为_________． 【答案】（1）， （2）15 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入求得，再利用待定系数法求解析式即可； （2）把代入求得，把代入求得，可得，，再利用面积公式求解即可； （3）过点A作关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点作轴于点E，由轴对称的性质得，，即，可得当点B、P、A三点共线时，的值最小，最小值为的值，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴把点代入得，， ∴， 把，代入得，， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，过点作轴于点E， ∵点A与点关于x轴对称， ∴， ∴， 当点B、P、A三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵点A与点关于x轴对称，， ∴，， ∴，， ∴， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形、一次函数与坐标轴的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式、求自变量或函数值、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握相关知识得出当点B、P、A三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折边长为6的正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平． 【数学思考】 （1）如图①，当点M落在上时，则的度数为_________. 【猜想证明】 （2）如图②，在（1）的条件下，延长交于点N，猜想与的数量关系为_________，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接，当点M落在上时（如图③），过点P作于点I，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到答案； （2）连接，证明，即可证明结论； （3）连接，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）由题意得，点是的中点，且， 又， 故是等边三角形， 是角平分线，， ； （2）连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； （3）连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $