精品解析：河南省洛阳市新安县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023 ~2024 学年第二学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列解方程变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C 由得 D. 由去分母得 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则对于结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形（m、n为正整数），则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 6. 某车间有28名工人生产螺钉和螺母，每人每小时平均能生产螺钉12个或螺母18个，1个螺钉需要配2个螺母，若安排名工人生产螺钉时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10 如图，将沿直线翻折后得到，再将绕点A旋转后得到，对于下列两个结论： ①“绕一点旋转后能与重合”；②“ 沿一直线翻折后能与重合”的正确性判断是(　　) A. 结论①、②都正确 B. 结论①、②都错误 C. 结论①正确、②错误 D. 结论①错误、②正确 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可 12. 已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：________（只写一个即可）． 13. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 14. 若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 15. 如图，将绕点旋转60度得到．，且，则____________ 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④；⑤阴影部分的面积为．以上结论正确的有_____（填序号）． 17. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点、分别落在点、的位置，且平分，则的度数是__________． 18. 三元一次方程组的解是______． 19. 若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 20. 已知中，．在图1中的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设的两条三等分角线分别对应交于，则_______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分60分）． 21. 解方程或方程组： （1） （2） 22. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 23. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1正方形）中完成下列各题： （1）画出将向下平移5个单位长度后的； （2）画出关于点成中心对称的； （3）画出绕点逆时针旋转的； （4）在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 24. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）观察猜想：将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ； （2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 25. 小明学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于点．猜想，，的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 上表中__________，于是得到，，的数量关系为__________； （2）小明继续探究，如图2，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出，，之间数量关系，并说明理由； （3）小明突发奇想，交换，两个字母位置，如图3，过的延长线上一点作交的延长线于点，当，时，的度数为__________． 26. 为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗诵比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买1本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买1个笔记本的价格和购买3支笔的价格相等． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1本《诗经》 1本《诗经》 1个笔记本 2个笔记本、1支笔 2支笔 2支笔 （1）请计算购买1个笔记本和1支笔的价格分别是多少？ （2）据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的，则最少需要多少费用来购买奖品，并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． 27. (1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； (2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式; (3)用你发现的结论解决下列问题: 如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023 ~2024 学年第二学期期末教学质量检测试卷 七年级数学 友情提示： 1．本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答题前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 下列解方程变形错误的是（ ） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D 由去分母得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：由得，故选项A不符合题意； 由得，故选项B不符合题意； 由得，故选项C不符合题意； 由去分母得，故选项D不符合题意； 故选D． 2. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知正确，不符合题意； B、根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知正确，不符合题意； C、根据不等式性质，由于的正负不确定，可知错误，符合题意； D、由于，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式加减乘除的性质是解决问题的关键． 3. 下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．将一个图形沿着一条直线翻折后，直线两侧能完全重合的图形是轴对称图形，将一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合的图形是中心对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 如图，，，，则对于结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，故①③正确； ∴， ∴，故④正确； 根据已知条件无法判断与大小关系． 故选：C 5. 用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形（m、n为正整数），则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，结合镶嵌的条件即可求出答案． 【详解】解：∵正三角形和正方形的一个内角分别是60°，90°， ∴60m+90n=360，且m，n为正整数， ∴m=3，n=2， ∴m+n=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 6. 某车间有28名工人生产螺钉和螺母，每人每小时平均能生产螺钉12个或螺母18个，1个螺钉需要配2个螺母，若安排名工人生产螺钉时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目已经设出安排m名工人生产螺钉，则（28-m）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知，螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设安排m名工人生产螺钉，则（28-m）人生产螺母，由题意得： ， 故选：C. 【点睛】本题是一道列一元一次方程解的应用题，考查了列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 7. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，平行线的性质，先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角，再根据平行线的性质即可求解，掌握正多边形的性质和平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵多边形是正五边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：． 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程组的两个方程组相减得到，再根据得到，然后解出即可； 【详解】把两式相减得到， ∵， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了方程组与不等式的结合，准确计算是解题的关键． 9. 甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意找出等量关系即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 故选：B． 10. 如图，将沿直线翻折后得到，再将绕点A旋转后得到，对于下列两个结论： ①“绕一点旋转后能与重合”；②“ 沿一直线翻折后能与重合”的正确性判断是(　　) A. 结论①、②都正确 B. 结论①、②都错误 C. 结论①正确、②错误 D. 结论①错误、②正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，熟记性质并准确识图理解图形的变化是解题的关键． 【详解】由图可知，①“不能绕一点旋转后与重合”，故①错误； ②“沿的垂直平分线翻折后能与重合”，故②正确； 综上所述，结论①错误、②正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定义得出，即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 解得， 的值可以是． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程定义是解题关键． 12. 已知三角形两边的长分别是4和10，写出第三边长的一个整数值：________（只写一个即可）． 【答案】7(答案不唯一) 【解析】 【分析】已知三角形的两边长分别为4和10，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三边长的范围． 【详解】解：设第三边长为x， 则由三角形三边关系定理得即． 所以第三边长的一个整数值可以为：7、8、9、10、11、12、13， 故答案：7(答案不唯一)． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 13. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°##720度 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 14. 若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为__________． 【答案】，0和1 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 15. 如图，将绕点旋转60度得到．，且，则____________ 【答案】85 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=60°，∠C=∠E=65°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ∴∠C=∠E=65°，∠BAD=∠CAE=60° ∵AD⊥BC ∴∠AFC=90° ∴∠CAF= 90°-∠C=25° ∴∠DAE=∠CAF+∠CAE=85° ∴∠BAC=∠DAE =85° 故答案为：85°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，结合图形灵活运用旋转的性质是解决本题的关键． 16. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④；⑤阴影部分的面积为．以上结论正确的有_____（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平移的性质，得出，，，，然后再逐项进行判断即可． 【详解】∵将沿方向平移得到， ∴①正确；②正确； ∵由已知条件无法判断，的长度， ∴③错误； ∵由平移可知， ∴． ∵由平移可知， ∴④正确； ∵由平移可知， ∴，即， ∵，， ∴． ∵阴影部分面积， ∴⑤阴影部分的面积为错误． 故答案是①②④． 【点睛】本题主要考查了平移的性质和直角三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 17. 如图，将一张长方形的纸片沿折痕翻折，使点、分别落在点、的位置，且平分，则的度数是__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．由折叠的性质得到，再根据平分，即可求出，即可求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得到，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 三元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得：，即， 把代入④得：， 把代入②得：， 则方程组的解为， 故答案为： 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握解法是解本题的关键． 19. 若不等式组的解集为，则m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 20. 已知中，．在图1中的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设的两条三等分角线分别对应交于，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理可得，再由三等分角线可得，由三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条三等分角线分别对应交于， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，满分60分）． 21. 解方程或方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程以及二元一次方程组，熟练掌握运算规则是解题的关键． （1）根据去分母进行计算即可； （2）根据加减消元法进行求解即可； 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得． 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得； 【小问2详解】 解：原方程组整理，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 故方程组的解为． 22. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了求解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，注意“>”和“<”用空心圆点，“”和“”用实心圆点表示．分别求出两个不等式的解集，找到不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得 ∴． 解不等式②，得， ∴． 将不等式组的解集表示在数轴上如图： 所以原不等式组的解集是． 23. 如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出将向下平移5个单位长度后的； （2）画出关于点成中心对称的； （3）画出绕点逆时针旋转的； （4）在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 （4）图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键． （1）根据平移的方向和距离，即可得到向下平移个单位后的图形； （2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像； （3）分别找出对应点，连接即可； （4）找出关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时，则，使的周长最小． 【小问1详解】 解：即为所求 【小问2详解】 解：即为所求 【小问3详解】 解：即为所求 【小问4详解】 解：点P即为所求 24. 如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）观察猜想：将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ； （2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 【答案】（1）105° （2）150° （3）75°或255° 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得出，最后根据平行线的性质即可求解； （3）根据题意，画出图形，进行分类讨论：①在上方时，设与相交于F，②当在的下方时，设直线与相交于F． 【小问1详解】 解：∵，， ∴在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图1，在上方时，设与相交于F， ∵， ∴， 在中，， ， ， 当在的下方时，设直线与相交于F， ∵， ∴， 在中，， ∴旋转角为， 综上所述，当边旋转或时，边恰好与边平行． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键． 25. 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于点．猜想，，的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 上表中__________，于是得到，，的数量关系为__________； （2）小明继续探究，如图2，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出，，之间的数量关系，并说明理由； （3）小明突发奇想，交换，两个字母位置，如图3，过的延长线上一点作交的延长线于点，当，时，的度数为__________． 【答案】（1）20； （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可求出的度数，进而可得的值；由得，再由角平分线的定义得，然后可得出之间的数量关系； （2）过点A作于F，由（1）可知，再根据得，然后由平行线的性质得，据此可得之间的数量关系； （3）过点B作交于点G可得，进而得，根据求出，再由角平分线的定义得，然后再求出，进而由三角形外角定理得，据此即可得出的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即：． 之间关系是：． 理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20，． 【小问2详解】 解：之间的数量关系是：．理由如下： 如图：过点A作于F， 由（1）可知：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点B作交EF于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理、垂直的定义、平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角定理是解答本题的关键． 26. 为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗诵比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买1本《诗经》的价格是32元，购买1个笔记本和2支笔的价格是20元，购买1个笔记本的价格和购买3支笔的价格相等． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1本《诗经》 1本《诗经》 1个笔记本 2个笔记本、1支笔 2支笔 2支笔 （1）请计算购买1个笔记本和1支笔的价格分别是多少？ （2）据统计，共有30名同学参加比赛，若要求每位同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的，则最少需要多少费用来购买奖品，并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． 【答案】（1）购买1个笔记本的价格为12元，购买1支笔的价格为4元 （2）最少需要1000元来购买奖品，此时设置二等奖10名，三等奖15名 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设购买1个笔记本的价格为元，购买1支笔的价格为元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设共设置二等奖个，则设置三等奖个，即个，根据题意得出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购买1个笔记本的价格为元，购买1支笔的价格为元． 根据题意，得解得 答：购买1个笔记本的价格为12元，购买1支笔的价格为4元． 【小问2详解】 解：设共设置二等奖个，则设置三等奖个，即个． 由题意，可得，解得． 设购买奖品的费用为元． 则． 当时，有最小值，最小值为． 此时． 答：最少需要1000元来购买奖品，此时设置二等奖10名，三等奖15名． 27. (1)如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； (2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式; (3)用你发现的结论解决下列问题: 如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240°,求∠E的度数. 【答案】(1)∠1+∠2=∠3+∠4；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 60°. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5＋∠6表示出∠3＋∠4，再根据平角的定义用∠5＋∠6表示出∠1＋∠2，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）的结论求出∠MDA＋∠NAD，再根据角平分线的定义求出∠ADE＋∠DAE，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 试题解析： （1）∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角， ∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6). ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6). ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4. （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和. （3）∵∠B＋∠C＝240°， ∴∠MDA＋∠NAD＝240°. ∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD. ∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝120°. ∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°. 点睛：本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$