精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

沈阳二中2023-2024学年下学期期末考试 高二（25届）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，.若，，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 若命题“,”是假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 图②中第2023行的黑心圈的个数是 11. 已知函数其中，且，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，且，则___________. 13. 函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________. 14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数的极值； （2）若关于方程有三个零点，求实数的取值范围. 16. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数取值范围． 17. 定义在上的函数满足，，且时，. （1）求； （2）判断在上单调性并证明； （3）若，求取值范围. 18. 已知是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳二中2023-2024学年下学期期末考试 高二（25届）数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可. 【详解】由题意可知，， ， 所以. 故选：B. 2. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对称轴与区间端点值之间的关系,列式可解得结果. 【详解】因为函数在区间上是减函数, 所以,解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用二次函数的单调性求参数的取值范围,抓住图象的开口方向以及对称轴与区间端点的关系是解题关键,属于基础题. 3. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 等差数列前项和为，则（ ） A. 44 B. 48 C. 52 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及对数函数的单调性即可解出． 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是减函数，所以，函数在上是增函数，所以，即有，所以或，解得或． 故选：D． 6. 设，，.若，，则最大值为（ ） A 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 7. 若命题“,”是假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为命题的否定“,”为真命题.用关于的一次函数来考虑，即可解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“,”为真命题. 令,,解得. 故选:C. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对数、指数和幂函数的单调性比大小，结合选项依次判断即可. 【详解】A：因在上单调递增，所以，故A正确； B：因为在R上单调递增，所以，故B错误； C：因为在R上单调递减，所以，故C错误； D：由，所以，故D正确. 故选：AD 10. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 图②中第2023行的黑心圈的个数是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，的值判断选项AB；利用等比数列定义判断选项C；求得图②中第2023行的黑心圈的个数判断选项D. 【详解】由题可得，，故A正确，B错误； ，，，且有，， 故有 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 为常数列，且， 所以是以为首项，1为公比的等比数列，故C正确； 由上可得故 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数其中，且，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是奇函数，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 13. 函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解. 【详解】解：由题意可知， 把的图象向右平移1个单位长度后得， 故答案为：. 14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 【答案】9 【解析】 分析】根据题意列不等式，运算求解即可. 【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为， 则，解得， ∵，则的最小值为9， 故至少经过9次过滤才能达到市场要求. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序： （1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题； （2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）； （3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数极值； （2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程组即可得解析式； 对函数求导，令，并解导数不等式，分类讨论即可得答案； （2）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案； 【小问1详解】 ，由题意知，解得， 故所求的解析式为；， 令，得或，列表如下： 极大值 极小值 当时，有极大值，当时，有极小值； 【小问2详解】 由（1）知，得到当或时，为增函数； 当时，为减函数， ∴函数的图象大致如图， 由图可知当时，与有三个交点，有三个零点， 所以实数的取值范围为． 16. 已知等比数列的公比，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【小问1详解】 因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． 【小问2详解】 因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 17. 定义在上的函数满足，，且时，. （1）求； （2）判断在上的单调性并证明； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求出结果； （2）根据条件，利用证明函数单调性的定义法，再结合条件，即可求出结果； （3）利用（2）中结果，根据条件得到，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，令，得到，所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下， 任取，且， 则， 又时，，且，所以，得到， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 因为， 由（2）知，解得， 又由，得到，所以的取值范围为. 18. 已知是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式； （2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可； （3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值. 【小问1详解】 由题意知， 即，所以，故. 【小问2详解】 由（1）知，，易知在上单调递增， 所以不等式恒成立，等价于， 即恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为存在，对任意的，都有， 所以在上的最小值不大于在上的最小值. 因为在上单调递增， 所以当时，. 图象的对称轴方程为， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得； 当时，在上单调递减，，解得， 所以. 综上，实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）4 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$