精品解析：山东省济南市章丘区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

章丘区2023-2024学年第二学期期末考试 七年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分满分为40分；非选择题部分满分为110分，满分为150分，考试时间120分钟，本考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 以下是一些博物馆徽标（），下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 不期而遇 C. 水涨船高 D. 水中捞月 6. 已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则这个三角形的周长为(　　) A 13cm或17cm B. 17cm C. 13cm D. 不确定 7. 甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米A地，再下坡到距学校16 千米的B地，甲、乙两人行程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则下列结论：①乙往返行程中的平均速度相同；②乙从学校出发45 分钟后追上甲；③乙从B地返回到学校用时1小时18分钟；④甲、乙返回时在下坡路段相遇．其中正确的结论有（　　） A. ②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①④ 8. 如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间是x（秒），则下列结论不正确的是（　　） A. 点Q运动时间为16秒 B. 的长表示为或 C. 当或或时，P、Q两点相遇 D. 或 （非选择题部分共110分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若，互余，则___． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 13. 下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系， 距离地面高度（千米） 所在位置的温度（℃） h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：___． 14. 在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是___． 15. 如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 三．解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）若规定，已知，，求的值． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示，于点，于点，，．求证：． 证明：，， （　　　） （　　　） （　　　） ， （　　　） 　　　） ， （　　　） （　　　） 19. “五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； （4）若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 20. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 21. 如图，已知三角形ABC的位置如图所示，请完成下列各题： （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对称点分别为）； （2）在y轴上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置； （3）已知P为y轴上一点，若的面积为4，请直接在图中标出点P的坐标， 22. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E，当线段时，请证明． 23. 在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． （1）若，，则 ． （2）若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 24. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 25. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章丘区2023-2024学年第二学期期末考试 七年级数学试题 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分满分为40分；非选择题部分满分为110分，满分为150分，考试时间120分钟，本考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式的法则，进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，正确； D、，原选项计算错误； 故选：C． 2. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 以下是一些博物馆徽标（），下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形概念是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、B、D选项都不是轴对称图形，C选项是轴对称图形， 故选：C． 4. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 5. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 画饼充饥 B. 不期而遇 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟知随机事件的定义是解题的关键．根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．画饼充饥是不可能事件； B．不期而遇时随机事件； C．水涨船高时必然事件； D．水中捞月是不可能事件； 故选B． 6. 已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则这个三角形的周长为(　　) A. 13cm或17cm B. 17cm C. 13cm D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可. 【详解】由题意可知，等腰三角形的三条边分别为3cm，3cm，7cm或3cm，7cm，7cm， 当三边分别为3cm，3cm，7cm时，，不满足三边关系，舍去； 当三边分别为3cm，7cm，7cm时，满足三边关系，则周长为=17cm， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形的三边关系是解决本题的关键. 7. 甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16 千米的B地，甲、乙两人行程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则下列结论：①乙往返行程中的平均速度相同；②乙从学校出发45 分钟后追上甲；③乙从B地返回到学校用时1小时18分钟；④甲、乙返回时在下坡路段相遇．其中正确的结论有（　　） A. ②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从函数图形获取信息，从函数图形获取信息，分别求出甲，乙上坡和下坡的速度，根据时间等于路程除以速度，逐一进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，甲上坡和下坡的速度相同，均为（千米/小时）， 乙上坡速度为：（千米/小时），下坡速度为：（千米/小时）， ∵往返时上下坡的长度不同， ∴乙往返时所用时间不同， ∴乙往返行程中的平均速度不相同，故①错误； 当乙从学校出发追上甲时：，解得：，即：所用时间为分钟，故②正确； 乙从地返回学校所用时间为：（小时），即1小时18分钟；故③正确； 甲乙返回时，上坡时甲的速度大于乙的速度，两人的距离越来越大，下坡时，乙的速度大于甲的速度， ∵甲的速度不变，故返回所用总时间仍为时，即1小时20分钟，乙返回时间为1小时18分钟； ∴甲、乙返回时在下坡路段相遇，故④正确； 故选A． 8. 如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵的面积为36，，， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 10. 如图，在长方形中，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间是x（秒），则下列结论不正确的是（　　） A. 点Q运动时间为16秒 B. 的长表示为或 C. 当或或时，P、Q两点相遇 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，求出点的运动时间判断A，分点在和上两种情况，分别求出的长和，判断B和D，分三种情况，列出方程求出P、Q两点相遇所需的时间，判断C． 【详解】解：点Q运动时间为（秒），故A选项正确； 当时，点P在上运动， ∴；； 当时，点P在上运动， ∴；； 故B选项正确，D选项错误； 当P与Q第一次相遇时，根据题意，得，解得：； 当P与Q第二次相遇时，根据题意，得，解得：； 当P与Q第三次相遇时，根据题意，得，解得：； 综上，当或14或时，P、Q两点相遇．故C选项正确； 故选D． （非选择题部分共110分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若，互余，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查互余关系，根据两角和为90度，则两角互余，即可得出结果． 【详解】解：，互余，则； 故答案为：． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键．根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系， 距离地面高度（千米） 所在位置的温度（℃） h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数解析式，根据表格可知，每升高1千米，气温下降，进而列出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格可知，每升高1千米，气温下降， ∴； 故答案为：． 14. 在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 15. 如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 三．解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）若规定，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂乘法，幂的乘方的逆用： （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方和乘法运算，再进行减法运算即可． （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用进行计算． 【详解】解：（1）原式； （2）由题意，得：， ∵，， ∴原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，再将代入即可求解； 本题考查了代数式化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∴原式 18. 如图所示，于点，于点，，．求证：． 证明：，， （　　　） （　　　） （　　　） ， （　　　） 　　　） ， （　　　） （　　　） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】证明：，， （垂直定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等） ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， ， （内错角相等，两直线平行）， （平行于同一直线的两直线互相平行）． 19. “五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； （4）若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【答案】（1）个 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】此题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式． （1）用球的总数乘以红球的概率即可求解； （2）设白球有个，则黄球有个，根据题意列出方程求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，根据概率公式求解即可； （4）用乘以白球的概率即可求解． 【小问1详解】 解：红球的个数为： （个）； 【小问2详解】 设白球有个，则黄球有个， 根据题意得：， 解得：， 摸出一个球是白球的概率为：； 【小问3详解】 取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化， 从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是； 【小问4详解】 获得一等奖的人数：（人）． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． 问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：与全等，理由见解析；任务2： 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 任务1：利用，证得与全等； 任务2：根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：任务1：由题意，得，，，，， ∴， 又， ∴， 与中 ， ∴； 任务2：∵， ∴， ∴， 即小丽距离地面有高． 21. 如图，已知三角形ABC的位置如图所示，请完成下列各题： （1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对称点分别为）； （2）在y轴上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置； （3）已知P为y轴上一点，若的面积为4，请直接在图中标出点P的坐标， 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）作点关于轴的对称点，连接该点与点形成的线段，与轴的交点即为所求； （3）根据，求出点坐标，进而画出点位置即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，点Q即为所求； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴或， 如图，点即为所求； 22. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求两堵木墙之间的距离． （2）如图2，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E，当线段时，请证明． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可得出结果； （2）等边对等角，得到，外角的性质，得到，再结合，即可得证． 【小问1详解】 解：由题意，得：，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 23. 在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：． （1）若，，则 ． （2）若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； （3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值： （1）利用完全平方公式的变形求值即可； （2）设，进而得到，利用完全平方公式的变形求值即可； （3）设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，根据题意，求出，再根据分割法求出阴影部分面积，代值计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：33； 【小问2详解】 解：设， 则， 所以； 【小问3详解】 解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积 ． 24. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有　　　；线段和的数量关系是　　　． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，，求证： 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）同理先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证的结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）证明如图，作，，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∴． 25. 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$