精品解析：山东省济南市莱芜区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末考试七年级 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查确定事件与不确定事件的判断，理解不确定事件的判断方法是解题关键．根据不确定事件及确定事件的区别依次判断即可． 【详解】解：①明天会下雨，是不确定事件，符合题意； ②随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是不确定事件，符合题意； ③13名同学中一定有两人的出生月份相同，是确定事件，不符合题意； ④同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，是不可能事件，不符合题意； 故不确定事件有2个． 故选B． 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数是无理数 B. 平方根与立方根相等的数有1和0 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据无理数的定义、平方根和立方根的概念、平行公理、同位角的概念判断即可． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、平方根与立方根相等的数是0，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示，，将一块三角板如图所示放置（直角顶点C在上），，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判断是解题的关键． 过点作，则，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】过点作， ． ． ，． ， ． 故选：A． 4. 已知x、y满足方程组：，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出x，y的值．得，进而即可求解． 【详解】解： 得， ∴， 故选：C． 5. 如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴或，原选项不一定成立； B．∵，∴，原选项不正确； C．∵，∴，原选项不正确； D．∵，∴，∴，正确； 故选D． 7. 已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案． 【详解】解：由不等式，得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知平分，， ， 在与中， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在中，，，，平分，交于点D，则（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出，，再根据三角形面积公式计算即可得出的长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得． 故选：A． 10. 如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M， 平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 在一个不透明的盒子里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率出现的情况数与总情况数之比．黑色棋子除以对应概率算出棋子的总数，再减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数． 【详解】解：∵盒子里装有4个黑色棋子，摸到黑色棋子的概率是， ∴白色棋子的个数为： （个）． 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：∵一次函数和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是． 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故答案为：17． 14. 如图，已知，．依据尺规作图的痕迹可求出的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法，等边三角形的判定和性质，先根据作图得出，平分，证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出． 【详解】解：根据作图可知：，平分， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ． 故答案为：3． 15. 某校举行篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，七年级一班要想在10场比赛中得分不低于24分．则该班至少要胜______场． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，难度一般，解答本题的关键是表示出胜场得分和输场得分并列出不等式．设这个班要胜x场，则负场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至少要胜几场． 【详解】解：设这个班要胜x场，则负场，由题意得： ， 解得：， 故答案为：7． 16. 一副直角三角尺叠放如图①所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺有一组边互相平行，例：如图②，当时，．则其他所有可能符合条件的度数______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、旋转的性质，根据题意画出不同情况的图形是解答本题的关键．分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如图：当时，， ∵， ∴此时点B在上， ∴不符合题意； 如图：当时，， ∴； 如图：当时，； 如图：当时，（不符合题意舍去）； 综上分析可知：或或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 18. 解不等式组：，并写出该不等式组所有的非负整数解． 【答案】，非负整数解有：0，1，2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再确定其非负整数解． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为 ∴该不等式组所有非负整数解有：0，1，2． 19. 在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份） （1）转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式及游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，分别求得两种情况的概率，比较后即可确定答案． 【小问1详解】 ①转盘被均分为3份，标有3的只有1份， ∴转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：该游戏对双方不公平，理由如下： 如图， 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 一共有9种情况：5、6、7；6、7、8；7、8、9； ∴P（和为奇数）；P（和为偶数）， ∴不公平． 20. 如图，，，． （1）与的位置关系如何？为什么？ （2）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出； （2）根据，得出，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 阅读下面材料： 设x是实数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，． （1）比较大小：______x，______；（用“>”或“<”或“≥”或“≤”填空） （2）根据（1）中的关系式，求满足的x的取值范围． 【答案】（1）≥，< （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键． （1）利用，其中得出，进而得出答案； （2）利用（1）中所求，得出不等式组，进而得出x的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：≥，<； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：． 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买2根A种跳绳和1根B种跳绳共需80元；购买4根A种跳绳和3根B种跳绳共需190元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共60根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，要使此次购买跳绳的费用最少，A种跳绳和B种跳绳各需购买多少根？购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）A种跳绳和B种跳绳的单价分别为25元和30元 （2）购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 设A种跳绳和B种跳绳的单价分别为x元，y元， 根据题意得： ， 解得 ， 答：A种跳绳和B种跳绳单价分别为25元和30元； 【小问2详解】 设购买A种跳绳m根，购买的总费用为w元，则购买B种跳绳根， 根据题意，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，W取最小值，最小值为， 此时，， 故购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元． 答：购买A种跳绳20根，购买B种跳绳40根，总费用最少，最少费用为1700元． 23. 已知：如图，平分，于点F，于点D，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】（1）证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可； （2）由勾股定理可得，再根据及可得，再计算的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴， ∵在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质以及勾股定理，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有． 24. 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送两把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价9折优惠．现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把（）． （1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、； （2）该公司选择哪一个厂家购买更划算？ 【答案】（1） （2）当时，两个厂家费用相同：当时，到甲厂家购买更划算；当时，到乙厂家购买更划算 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． （1）根据题意和题目中的数据，可以分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、； （2）根据题意，可以列出不等式，然后分别求解即可． 【小问1详解】 由题意可得， ， ， 由上可得，； 小问2详解】 由得：，解得：， 由得：，解得：， 由得：，解得：， 答：当时，两个厂家费用相同：当时，到甲厂家购买更划算；当时，到乙厂家购买更划算． 25. 如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． （1）猜想线段、、之间数量关系并证明； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）；理由见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【小问1详解】 解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 26. 已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． （1）如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； （2）如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． （1）根据直线l，直线l得，再根据得，由此得，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得线段的数量关系； （2）同（1）可证和全等，则，由此可得线段的数量关系； （3）先证，再证，根据在（2）的条件下得，由此可依据“”判定和全等，则，在中由勾股定理得，再根据，可得线段的数量关系． 【小问1详解】 线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 （1）中的结论不成立，线段的数量关系是，证明如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图： 线段的数量关系是，证明如下： ∵， ∴，即， ∵直线l，则， ∴， ∵，则， ∴， ∵在（2）的条件下，则， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末考试七年级 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡的规定位置将自己的学校、班级、姓名、座位号填写准确． 2．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列事件：（1）明天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）13名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13．其中不确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数是无理数 B. 平方根与立方根相等的数有1和0 C 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 3. 如图所示，，将一块三角板如图所示放置（直角顶点C在上），，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知x、y满足方程组：，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，．以下结论正确的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，，，平分，交于点D，则（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 10. 如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．） 11. 在一个不透明的盒子里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为______． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于x，y的方程组的解是______． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______． 14. 如图，已知，．依据尺规作图的痕迹可求出的长为______． 15. 某校举行篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，七年级一班要想10场比赛中得分不低于24分．则该班至少要胜______场． 16. 一副直角三角尺叠放如图①所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺有一组边互相平行，例：如图②，当时，．则其他所有可能符合条件的度数______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组：． 18. 解不等式组：，并写出该不等式组所有的非负整数解． 19. 在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份） （1）转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______； （2）若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由． 20. 如图，，，． （1）与的位置关系如何？为什么？ （2）与相等吗？请说明理由． 21. 阅读下面材料： 设x是实数，我们用表示不小于x的最小整数，如，，，． （1）比较大小：______x，______；（用“>”或“<”或“≥”或“≤”填空） （2）根据（1）中的关系式，求满足的x的取值范围． 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买2根A种跳绳和1根B种跳绳共需80元；购买4根A种跳绳和3根B种跳绳共需190元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共60根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，要使此次购买跳绳的费用最少，A种跳绳和B种跳绳各需购买多少根？购买跳绳所需最少费用是多少元？ 23. 已知：如图，平分，于点F，于点D，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 24. 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送两把椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价9折优惠．现某公司要购买5张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把（）． （1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额、； （2）该公司选择哪一个厂家购买更划算？ 25. 如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． （1）猜想线段、、之间的数量关系并证明； （2）若，，求的周长． 26. 已知，，直线l是过点B的一条动直线（不与直线重合），分别过点A，C作直线，的垂线，垂足为D，E直线，与直线的夹角为． （1）如图1，当直线l在的外部时，猜想线段的数量关系并证明； （2）如图2，当直线l在∠ABC的内部时，且，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请写出线段的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点D作于H，过点A作交的延长线于点F，则线段的数量关系是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$