第3章 勾股定理 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第3章 勾股定理 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 勾股定理及其应用 （第1题图） 1. 【2023山东日照中考】已知直角三角形的三边，， 满 足，分别以，， 为边作三个正方形，把两个较小的正 方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积 为，均重叠部分的面积为 ，则( ) C A. B. C. D.， 大小无法确定 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】 直角三角形的三边，，满足， 该直角三角形的斜边为 ，，，， .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.【2022山东济宁中考】如图，三角形纸片 中， ，，．沿过点 的直线将纸片折叠， 使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点 重合， 若折痕与的交点为，则 的长是( ) A A. B. C. D. 【解析】由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ，.设，则 ， ，解得， .故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第3题图） 3. 传统文化【2023江苏南京中考】我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜 一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田 几何？”问题大意：如图，在中，里， 里， 里，则 的面积是( ) C A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，过点A作于D.设里，则 里.在中，，在 中， ， ，即 思路分析 过点作，利用勾股定理求出 的长，再利用三角形的面积公式求出 的面积即可. ，解得.在 中， ，里， 的面积是 （平方里），故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.【2023湖北随州中考】如图，在中， ，，， 为上一点，若是的平分线，则 ___. 5 （第4题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 【解析】 如图，过点作于点 ， 是的平分线，.在 和 中， ， .在中， , ，.设 ，则 .在中， ， ，解得， .故答案为5. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 考点2 勾股定理的逆定理的应用 5.【2023山东济宁中考】如图，在正方形方格中，每个小正方形 的边长都是一个单位长度，点，，，， 均在小正方形方格 的顶点上，线段，交于点，若 ，则 等于 ( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，过B点作，连接 ， ， ， ，， 是直角三角形， 且 ， .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 考点3 勾股数 6.【2022湖北黄冈中考】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三， 股修四，径隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25； ，这 类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相 差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17； ，若此类勾股数的勾为 ，为正整数)，则其弦是________（结果用含 的式子表示）. 【解析】 为正整数，为偶数.设其股是，则弦为 .根据勾股定理 得，，解得， 弦是 .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 刷新考向 从教材到中考拓展 拓展 教材P88阅读勾股定理验证图形中的面积问题 7.【2022湖北武汉中考】如图，在中， , ,分别以的三边为边向外作三个正方形 , ,,连接.过点作的垂线，垂足为 ,分别交 ,于点,.若,,则四边形 的面积是____. 80 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 【解析】 如图，过点作，交的延长线于点 ，过点 作于点为直角三角形，四边形， 为正方形，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，，， ， ，，， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 .在 中，由勾股定理可得 ，， ， ， ， 四边形为正方形， .由题易 知四边形为长方形， 四边形的面积为 ，故答案 为80. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 过点作，交的延长线于点，过点作于点 ，证明 ，，可得， ，可证得 ，由直角三角形斜边上的中线的性质可得 ，由勾股定 理可得的长，从而可得， 的长，即可求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 章测 一、选择题（共32分） 1.【2024江苏镇江期中】若的三边分别是，， ，则下列条件能判断 是直角三角形的是( ) D A. B. C.，， D.，， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 【解析】，且 ， ， ，不是直角三角形，选项A不符合题意. ， ， 不是直角三角形，选项B不符合题意. ，，，， 不是直角三角形，选项C不符合 题意.，， ， ， 即， 是直角三角形，选项D符合题意.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 （第2题图） 2.【2024江苏盐城调研】如果正整数，， 满足等式 ，那么正整数，， 叫做勾股数，某同学将自己探 究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的 值为( ) C A.47 B.62 C.79 D.98 【解析】由题可得，，， ； ，,； ， ， ，， 当 时， ,，， ， .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 （第3题图） 3.【2024江苏苏州质检】如图所示的一段楼梯，高 为3米，斜 边 为5米，现打算在这段楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度 为( ) C A.5米 B.6米 C.7米 D.8米 【解析】由题可知是直角三角形，米， 米， ，米， 如果 在这段楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯的长度为 米，故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 （第4题图） 4.【2023天津中考】如图，在中，分别以点和点 为圆 心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等）,两弧 相交于,两点，直线分别与边,相交于点, ，连接 .若,,,则 的长为( ) D A.9 B.8 C.7 D.6 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 【解析】由作图可知，直线为边的垂直平分线. ， ，， , , , ，即 .，, , .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 思路分析 根据垂直平分线的性质可得，，从而可得 ， 再结合已知易得，从而可得 ，然后利用三角形外角的性质 可得 ，从而在 中，利用勾股定理进行计算，即可解答. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 （第5题图） 5.如图，点在的边上，点是 的中点，若 ，，，，则 的长为( ) D A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】，，， ， 为直角三角形，．在中，点 是斜边 的中点，且， ，由勾股定理，得 ， ．故选 D． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 6.【2024河北石家庄调研】如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 处绕着 点经过最低点，最终荡到最高点处.若 ，点与点 的高度差 米，水平距离米，则点与点的高度差 为( ) B A.4米 B.4.5米 C.5米 D.5.5米 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 【解析】如图，作于， 于 ， ， .由题意得 . 在与 中， ，米.设米，则 米.在中，，即，解得 ， （米）.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 思路分析 作于，于，根据可证 ，根据全等三角形 的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，从而可得点 与点 的高度差 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 （第7题图） 7.如图，已知 ，，， ，若 点到的距离为5，则点在四边形 边上的个数为( ) A A.0 B.2 C.3 D.4 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 【解析】如图，过点B，D分别作，，垂足分别为， ．在 中，由勾股定理，得 ， ， ， ，，由勾股定理，得， .又 ， 到直线的距离为5的两条平行线与四边形的边没有交点， 点在四边形 边上的个数为0.故选A． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 （第8题图） 8.【2024浙江舟山期末】如图，在和 中， ，点是边的中点，若 ， ，连接，则 的值为( ) D A.14 B.15 C.16 D.17 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 【解析】延长到，使得，连接， ，如图所 示.， ， ， ，， ， ， . ， ， ， ，， ， ， 点A为的中点，， ， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 二、填空题（共20分） 9.【2024江苏苏州期末】如图，将长方形沿直线 折叠，顶 点恰好落在边上点处，已知， ，则图 中阴影部分的面积是____ . 30 【解析】 由折叠的性质可知 ， ，由勾股定理可得 .设 ，则.在 中，由勾股定理，得 ，解得，, 阴影部分的面积为 .故答案为30. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 （第10题图） 10.【2024吉林长春调研】如图是由小正方形组成的网格，点 ，，，，是网格线的交点，则 的度数为 ____ . 45 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 【解析】 连接，，如图所示.由图易得 ， ， . 设每个小正方形的边长为，则 ， ，,， 是等腰直角三 角形， ， .故答案为45. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （第11题图） 11. 传统文化如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的 图形.记图中正方形、正方形、正方形 的面积 分别为，，.若正方形的边长为4，则 ____. 48 【解析】 设八个全等的直角三角形的长直角边的长为 ，短直角 边的长是，则，， ，且 ， . 故答案为48. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 （第12题图） 12.【2024江苏江阴期中】如图，将沿 翻折得到 ，交于点，为中点，连接并延长交 的延 长线于点，连接，若，， 的面积为42， 则 的面积为____. 15 【解析】 将沿翻折得到，， ， ，， 的面积为 42，为中点，， ， ， ， ， 的面积为15.故答案为 15. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 （第13题图） 13.【2024江苏盐城质检】如图，笔直的河流一侧有一营地 ， 河边有两个漂流点，，其中，由于周边施工，由 到的路 现在已经不通，为方便游客通行，在河边新建一个 漂流点，，在同一直线上)，并新修一条路 ，测得 千米，千米，千米，则原路线 的长为 ____千米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 【解析】 千米，千米， 千米， ，，， 是直 角三角形且 .设千米，则 千米. 在中，由勾股定理得， ，解得 ，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、解答题（共48分） 14.如图是某种拉杆箱的示意图，箱体长 ，拉杆最大伸长距离 ，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为 .当拉杆拉到最长时， 滚轮的圆心在图中的处；当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移 到处.请求出拉杆把手的位置离地面的距离（假设 点的位置保持不变）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 【解】如图所示，过作于，延长交于 ，则 . 设，则 .由题可得 ， . 关键点拨 关键是从题中抽象出可运用勾股定理的数学模型，并准确计算. 中，，中， ， ，解得，， .由 题意得，， 拉杆把手的位置 离地面的距离 为． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 15.如图，在中， . 关键点拨 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （1）若为的中点，求证： . 图（1） 【证明】如图（1）所示，连接 . ，是中点，，.在 中， ，.又 ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （2）若为 上的任意一点，（1）中的结论是否还成立？请说明理由. 图（2） 【解】成立．理由：如图（2）所示，连接，作交 于 ，，.在 中， .同理， ， .又 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 （3）若为延长线上一点，说明，，， 之间的数量关系． 图（3） 【解】 ．如图（3），是 延长线上任意 一点，连接，并作交于， ， .在中，，在 中， ， .又 ， ， ， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 16. 【2024江苏苏州吴江区质检】定义：在一个图形上画一条直线，若这条 直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的 “等分积周线”. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 （1）如图（1），已知，，过点能否画出 的一条“等分积 周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由； 图（1） 图（1） 【解】不能.理由：如图（1），若直线平分 的面积，那么 ，，， 过点不能画出 的一条“等分积周线”. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 （2）如图（2），在四边形中， ，垂直平分 ，垂足为 ，交于点，已知，，.求证：直线为四边形 的 “等分积周线”. 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 图（2） 【证明】如图（2），连接，，设 垂直平分 ，， ， ，， ， ， 在和 中，根据勾股定理可得 ，即 ，解得，， ， ， ， ， ，， 直线 为四边形 的“等分积周线”. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 $$