3.2 勾股定理的逆定理-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 八年级上册 SK 1 2 3 第3章 勾股定理 4 3.2 勾股定理的逆定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 勾股定理的逆定理 1.如图，在单位长度为1的正方形组成的网格图中有， ， ， 四条线段，下列能作为一个直角三角形三边的线段是( ) A A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】由题意得，，， ， ，， 能作为直角三角形的三边.故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 刷有所得 计算三条线段长度的平方，满足两条线段长的平方和等于第三条线段长的平方的 三条线段可以作为直角三角形的三边. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2023江苏苏州姑苏区期中】已知中，，，分别是，， 的对 边，下列条件不能判断 是直角三角形的是( ) B A. B. C.，， D. 【解析】A选项，，， 是直角三角形，故A不 符合题意；B选项，， ， ， 不是直角三角形，故B符合题意；C选项， ，，， 是直角 三角形，故C不符合题意；D选项， ， ， ， ， 是直角三角形，故D不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 3.用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成的三 角形（阴影部分）是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不 可以是( ) C A.1，2，3 B.2，2，4 C.3，4，5 D.2，3，5 【解析】由题意可得，三角形各边长的平方是对应的各个正方形的面积. 所围成 的三角形是直角三角形， 斜边对应的正方形的面积等于两直角边对应的正方形 的面积和.又，，，， 选取的三个正方 形纸片的面积不可以是3，4，5.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （第4题图） 4.【2024贵州黔西南州质检】如图，在四边形 中， ， ，，，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连接， ， 是等边三角形， ，，， ， ，， 是直角三角形， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第5题图） 5.【2024江苏无锡梁溪区期中】如图所示，在 中， ，，在中，为上的高， ， ，则 的面积是____. 24 【解析】 ， ， ，， ， ，是直角三角形， ， .故答案为24. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （第6题图） 6.如图，内有一点， ．已知 ，，， ，则 图中阴影部分的面积 ________. 【解析】 因为 ，由勾股定理得 ，即 ，所以 .在中，因为 ， 所以是直角三角形， ，所以 , 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （第7题图） 7.如图，已知中，，，， 的 垂直平分线交于点，垂足为，连接，则 的长为 ___. 5 【解析】 ，， ， ， 是直角三角形, 是的垂直平分线，， .又 ， ，, ， ．故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 知识点2 勾股数 8.【2023江苏无锡惠山区期中】下列各组数中，是勾股数的是( ) B A.，， B.6，8，10 C.，， D.，， 【解析】 A ，， 都不是正整数，故不是勾股数，A选项不符合题意 B ，且三个数都是正整数，故是勾股数，B选项符合题意 C ，， 都不是正整数，故不是勾股数，C选项不符合题意 D ，故不是勾股数，D选项不符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 刷有所得 能作为直角三角形的三边长的三个数不一定是勾股数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 9.观察下列各组勾股数： （1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）7，24，25； （4）9，40，41； …… 照此规律，将第 组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数为_________. （用含 的代数式表示） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】 在3，4，5中，；在5，12，13中， ；在7，24，25 中，；在9，40，41中， 以此类推，第 组勾股数中，最 小的数为，则排在中间的数为，即.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 知识点3 勾股定理及其逆定理的综合 10.如图，是的中线，于点，是 的中 线，且，， . （1）求证： . 【证明】于点， .在 中， ， ，同理 ，， ， ，是直角三角形， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）求 的长. 【解】是的中线， ，垂直平分 ， 在中， ,是 的中线， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 提升 1.【2024江苏苏州姑苏区期中，中】如图，是等边 内一点， 连接，，，，以为边在 外作 ，连接 ，则以下结论错误的是( ) D A.是等边三角形 B. 是直角三角形 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】是等边三角形， .又 ， ，， ， 是等边三角形， 故A选项正确， 设，则 ， ，，， 是直角三角形，且 ，故B选项正确是等边三角形， ， ，故C选项正确.无法得出 ，故D选项错误. 故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 2.【2023湖北武汉武昌区期中，中】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明 发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中,则当时， 的值为( ) 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … B A.250 B.288 C.300 D.574 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】从表中可知，依次为， ， ， ，则，依次为， ， ， ，即当时，，依次为 ， ，， ，即当时， ，所以当 时， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.【2023山东济南槐荫区期末，中】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1,点，，，，均是网格线的交点，则____ . 45 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】 如图，标出点，,连接， .由勾股定理得 ， ，则，所以 是等腰直 角三角形， ，所以 .因为 ，所以 .在和中， 所以，所以 ，所以 .故答案为45. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 标出,连接,,根据勾股定理的逆定理可得 ,再根据平行线的性 质和三角形全等，得到 ,即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （第5题图） 4. 传统文化【2023江苏南通中考，中】勾股数是指能成为直 角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的 是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中， 均小于，，，是大于1的奇数，则 ___（用含 的式子表示）. 【解析】 ，，是勾股数，其中，均小于，， ， 是大于1的奇数，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.［较难］如图所示，在中，，且周长为，点 从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点 以 的速度移动，若两点同时出发，则当移动时间为时， 的面积为 ____ 18 【解析】 由题意可设为，为，为. 的周长为 ，，解得，， ， .，是直角三角形, .当运动 时间为时，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 关键点拨 利用勾股定理的逆定理得到 是直角三角形是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.［较难］的三边长分别是，，，且，， （,且 为正整数）． （1）判断三角形的形状，并说明理由. 【解】 是直角三角形.理由如下： 在中，三条边长分别是，，，且，， （,且 为正整数）， ， ，， ， 是直角三角形． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）若以边为直径的半圆的面积为 ，求 的面积. 【解】 以边为直径的半圆的面积为 ，则 ，解得 （负值已舍去），，，， 的面积为 . （3）若以边，为直径的半圆的面积分别为，，求以边 为直径的半圆的面 积．（用含， 的式子表示） 【解】 以边，为直径的半圆的面积分别为，， ， .， 以边 为直径的半圆的面积为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力【2024福建福州期中，较难】定义：若某三角形的三边长 ，，满足 ，则称该三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义 解决下列问题： （1）判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； 【解】等边三角形不是“类勾股三角形”.理由：设等边三角形的三边长分别为 ，，，则，， 等边三角形不是 “类勾股三角形”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）若等腰是“类勾股三角形”，其中，，求 的度数； 【解】 等腰是“类勾股三角形”，， ， ，， 是直角三角形，且 ， ，的度数为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （3）在中，，且.求证： 为“类勾股三角形”. 【证明】令,,的对边分别为,,.如图，过点 作 ，垂足为，在上截取，连接，是 的垂直平分线，， ， ，， ， ， ， . 在 中，.在 中， ， ， ， 为“类勾股三角形”. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $$