3.2勾股定理的逆定理同步练习 2024-2025学年 苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．，， D．1，2， 2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是(    ) A．5，6，7 B．1，4，8 C．5，12，13 D．5，11，12 3．在下列条件中，△ABC不是直角三角形的是（        ） A．b2＝a2－c2 B．a2：b2：c2＝1：3：2 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C 4．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．6，7，8 5．下列各组数中是勾股数的一组是（ ) A．0.3、0.4、0.5 B．2、3、4 C．5、12、13 D．11、12、13 6．下列说法中，错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形 7．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．6，8，10 C．，，1 D．13，12，5 8．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（） A． B． C． D． 9．在下列长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各组数不能构成直角三角形的是(        ) A．12，5，13 B．40，9，41 C．7，24，25 D．10，20，16 11．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(   ) A．3，4，5 B．6，7，8 C．，， D．，2， 12．下列各组数中，能构成直角三角形的是（    ） A．2，4，3 B．6，8，9 C．3，4，6 D．1，1， 二、填空题 13．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于 ． 14．若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高是 ． 15．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ． 16．如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则 ． 17．在中，，，上的高长为，则的面积为 ． 三、解答题 18．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图（1），等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则 ．由于不在同一个三角形中，我们可以将绕顶点A逆时针旋转，得到 ．这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段长度转化到一个三角形中，从而求出的度数．请给出计算证明过程． (2)请你利用（1）题的解答思想和方法，解答下面的问题： 已知：如图（2），，D、E为上的点且，请你探索线段，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)请你利用第（2）题的结论，解答下面的问题 已知：如图（3），中，，D，E为边上的点，，，求的长． 19．如图，在△ABC中，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm．    （1）作出△ABC的高线CD（保留痕迹，不写作法）； （2）求CD的长． 20．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，江西赣州某中学决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定的依据，并说明理由； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为120元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 22．近年来，河南嵩县通过人居环境的不断提质发展，城乡绿化覆盖率达到以上，助力城乡人居环境提质“美颜”．如图，现有一块四边形空地，计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，A、C之间的距离是． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要100元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 23．已知：如图，，是上一点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，联结.求证：. 24．如图，，，； （1）求的长； （2）求证： 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B A D A D 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，故不是直角三角形，故此选项符合题意； C、，故是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，故是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项进行判断即可得. 【详解】A. 52+62≠72，构不成直角三角形，故不符合题意； B. 1+4<8，构不成三角形，也就不可能是直角三角形了，故不符合题意； C. 52+122=132，是直角三角形，故符合题意； D. 52+112≠122，组不成直角三角形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键. 通常是计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 3．C 【详解】∵∠A:∠B:∠C＝3:4:5，根据三角形的内角和进行计算可得: ∠A=45°, ∠B=60°, ∠C=75°, 所以C选项符合题意, 故选C. 4．C 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】A．∵12+22≠32， ∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵22+22≠42， ∴以2，2，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵32+42=52， ∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵62+72≠82， ∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．C 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】A. ∵0.32+0.42≠0.52，∴此选项不符合题意； B. ∵22+32≠42，∴此选项不符合题意； C. ∵52+122=132，∴此选项符合题意； D. ∵112+122≠132，∴此选项不符合题意． 故选C. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 6．B 【分析】A、B、C选项先根据三角形内角和定理计算出△ABC中最大角的度数，再依据直角三角形定义进行判断，D选项根据勾股逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，可得∠A＝180°×（1++）＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，则△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意； D、12+（）2＝22，所以△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 7．A 【分析】根据勾股定理逆定理判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 8．D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故此选项错误； B、1.52+22=2.52，故是直角三角形，故此选项错误； C、，故是直角三角形，故此选项错误； D、62+7282，故不是直角三角形，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 9．A 【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断即可． 【详解】解：A、 ，错误，正确，故此选项符合题意； B、 ，正确，故此选项不符合题意； C、 ，正确，故此选项不符合题意； D、 ，正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理知识是解决本题的关键． 10．D 【详解】试题分析：如果一个三角形中三条边满足较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形.根据勾股定理的逆定理可得：D选项不符合题意. 考点：勾股定理的应用 11．A 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故本选项正确； B、∵62+72≠82 ， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误； D、∵， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 12．D 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．50 【详解】试题解析：∵所有的三角形都是直角三角形， ∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积， 同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积， ∴四个小正方形的面积=2×5×5=50. 故答案为50. 14．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而利用等面积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵， ∴边长为，，的三角形是直角三角形， 设这个三角形最长边上的高是， ∴， ∴， ∴这个三角形最长边上的高是， 故答案为：． 15．40海里 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里， 根据勾股定理得：=40（海里）． 故答案为：40海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 16．90° 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，进而求出∠ACD的度数． 【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm， ∴在Rt△ABC中， 由勾股定理得：cm， 在△ACD中， ∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2， ∴△ACD是直角三角形， 即：∠ACD=90°． 故答案为：90°． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 17．或 【分析】分情况讨论，①当是锐角三角形时，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，可求出的长，即可得的面积，②当是钝角三角形时，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，可得的长，即可得的面积． 【详解】解：①当是锐角三角形时，如图所示， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的面积为：， ②当是钝角三角形时，如图所示， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴的面积为：， 综上，的面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理，分情况讨论． 18．(1)；；证明见解析 (2)；理由见解析 (3)的长为5 【分析】（1）由旋转的性质可得，再利用等边三角形的判定得出为等边三角形，即可得出的度数，由勾股定理的逆定理可求，即可得出答案； （2）由“”可得，可得，然后可证明是直角三角形,从而根据勾股定理即可证明； （3）将数据代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转，连接， ∵将绕顶点A旋转到处， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 即：； 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即； （3）由（2）可得， ∵， ∴， ∴． 【点晴】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 19．（1）详见解析；（2） 【分析】（1）根据过直线外一点作一条直线垂直于已知直线的方法作图即可； （2）先用勾股定理的逆定理判定△ABC的形状，再用面积法求斜边上的高即可． 【详解】（1）以C为圆心，以大于C到AB的距离为半径画弧，交AB于M、N两点；分别M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于E点，作射线AE交AB于D点，线段就是所求作的图形．    （2）∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， 在中， ， 即， ∴． 【点睛】本题考查的是尺规作图-过直线外一点作一条直线垂直于已知直线及勾股定理的逆定理，掌握尺规作图的方法、勾股定理的逆定理及用三角形的面积法求高是关键． 20．(1)施工人员测量的是之间的距离．依据：若，则．理由见解析 (2)学校建成这块塑胶场地需花费13680元 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再利用直角三角形的面积公式求出答案． 【详解】（1）解：施工人员测量的是之间的距离．依据：若，则． 理由：连接， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，且． （2）解：在中，，， ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费13680元 21．(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 22．(1) (2)3600元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理逆定理得到，利用求出四边形空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，，A、C之间的距离是， ∴， 即的长度； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形空地种植草皮需要元． 23．见解析 【分析】解法一：取的中点,联结，证得AC=AF,由得到是等边三角形，求出，再根据等腰三角形的性质得到，结论得到证明. 解法二：过作边上的高，设，由求出，AC=2m，由AB=2AC=4m，求出BH、BC，利用勾股定理求得BC，由此即可利用勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，且. 【详解】解法一：取的中点,联结. ∵ ∴ ∵, ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解法二：过作边上的高. 设. 中，, ∴, ∴, ∴ ∵, ∴, ∴△ABC是直角三角形，且. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，判断一个角是直角时，可以用勾股定理的逆定理，证明该角所在的三角形是直角三角形，由此证明结论. 24．（1）；（2）见解析 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】解：（1），， ； （2），，， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$