第2章 专题4 等腰三角形中的分类问题-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（浙教版）

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 3 第2章 特殊三角形 4 专题4 等腰三角形中的分类问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 遇边或角需讨论 1.【2022江苏宿迁中考，中】若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个 等腰三角形的周长是( ) D A. B. C.或 D.或 【解析】当腰长为时，长为，， 的边能组成三角形；当腰长为 时，长为，，的边能组成三角形，则三角形的周长为 或 .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 关键点拨 没有明确等腰三角形中腰和底边的题目一定要考虑两种情况，分类进行讨论，还 应验证各种情况下三边是否能组成三角形． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2023山东聊城校级期中，中】已知等腰三角形的一个角为 ，则底角等于 __________. 或 【解析】 根据题意，①当底角为 时， ，该情况成立； ②当顶角为 时，底角为 .综上所述，底角为 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 类型2 遇高、中线或垂直平分线需讨论 3.【2024湖北武汉武昌区校级期中，较难】已知等腰三角形中， ， 两腰的垂直平分线交于点， ，则等腰三角形的顶角为( ) C A. B. C. 或 D. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】分两种情况：当点在内部时，如图（1），连结 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 因为和的垂直平分线交于点，所以，所以 ， ，.因为 ，所以 .因为 ，所 以 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 当点在外部时，如图（2），连结.因为和 的垂直 平分线交于点，所以，所以 ， .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .综 上所述，等腰三角形的顶角为 或 .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 4.［中］在中，，的垂直平分线与 所在直线相交所得的锐角 为 ，则底角 的度数是__________． 或 【解析】 当为锐角三角形时，如图（1），设的垂直平分线交线段 于 点，交于点 ，， .又 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 图（1） 图（2） 当为钝角三角形时，如图（2），设的垂直平分线交于点，交 的 反向延长线于点 ， ， ， ， .综上可知,的度数为 或 ，故答案为 或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 关键点拨 分两种情况：当为锐角三角形时，如图（1），先求出 的度数，进而可 求得的度数；当为钝角三角形时，如图（2），先求出 的度数，再 利用外角的性质及等边对等角即可求得 的度数． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 5.［中］已知等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长分为两 部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的腰长为____ . 15 【解析】 如图，设等腰的腰长.因为 是中线，所以.当 时， 即，解得 .长为15，15，10的边能 够组成三角形.当 时，即 ，解得 .长为5，5，10的边不能组 成三角形.故这个三角形的腰长为 .故答案为15. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 类型3 遇动点需讨论 6.［较难］如图，直线，相交于点， ，点是直线 上的一个定点， 点在直线上运动，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 的度 数是______________________. 或 或 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解析】 如图，分四种情况讨论：①当时， ；② 当时， ；③当 时， ；④当 时， .综上所述，的度数是 或 或 或 .故答案为 或 或 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 7.［较难］如图，在中，， ，边 绕点顺时针旋转得到线段，连结, .若 为等腰三角形，则 所有可能的取值是_______________. 130或100或160 【解析】 由旋转的性质得.因为 为等腰三角形，所以分三种 情况：①当时，易得 ，所以 ；②当时，易得 ，所以 ；③当 时，易得 ，所以 ，所以.综上所述, 所有可能的取 值为130或100或160.故答案为130或100或160. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 类型4 构造等腰三角形时需讨论 8.［中］如图，有一张三角形纸片， ，是边上一点，沿 方 向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的度数可以是____ ____________. 或 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】 由题意知与 均为等腰三角形，分情况讨论如下： 时， ，所以 ，所以 ; 时， ，所以 ， 所以 ;时， ,所以 ，所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 ， 所以 .综上所述，的度数可以为 或 或. 故 答案为 或 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 易错警示 注意剪切角度不同得到的等腰三角形的底角可能不同，注意分类讨论，不要漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 9.［较难］如图，在边长为4的正方形中，请画出以 为一个顶 点，另外两个顶点在正方形 的边上，且一边长为3的所有大小 不同的等腰三角形.（要求：只画出示意图，并在所画等腰三角形长 为3的边上标注数字3） 【解】满足条件的所有图形如图（1）~（5）,共5个. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 关键点拨 需要分别讨论 是顶角顶点还是底角顶点，也要讨论腰长为3还是底边长为3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 $$