第2章 大招专题5 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（浙教版）

数 学 八年级上册 ZJ 1 2 3 第2章 特殊三角形 4 大招专 题5 与等腰三角形相关的常用 辅助线的作法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招16 作中线法 1.【2023陕西西安雁塔区期中，中】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 （1）如图（1），在中， ，，是的中点，， 分 别是，边上的点，且，试说明： . 【解】连结.因为中， ,,所以 .因 为为的中点，所以，平分 ,所以 ， ，所以 ， .因为，所以 ，所以 ， 所以.在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 （2）如图（2），是边长为4的等边三角形，是的中点，， 分别是 ，边上的点，且 ，试说明： . 【解】 如图，连结，过点作于，于 .因为 是等边三角形，为的中点，所以是 的平分线， ，所以， .又因为 ，所以，所以 .在 与中， 所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 大招解读 作中线法 遇等腰三角形底边的中点时，常连结底边上的中线，构造“三线合一” 的模型解题. 【条件】,点在上， . 【结论】, . 关键点拨 正确作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得到相关条件，从 而证明三角形全等. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 子题练变式 2.【2023湖南长沙校级期末，较难】在中，，为的中点， ， 分别为， 上的点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （1）如图（1），于，于，试说明 ； 【解】如图（1），连结 . 因为，所以是等腰三角形.因为为的中点，所以平分 . 因为，，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 （2）如图（2）， ，请判断和 之间的数量关系，并 说明理由； 【解】 .理由如下：如图（2），过点作 于 ，于，连结 . 因为 ， ，所以 .因为，所以 是等腰三角形.因为 为的中点，所以平分.因为， ， 所以.在和中， 所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 （3）如图（3），点与点重合，点为上的一点，且， ， 求 的值. 【解】 如图（3）,连结，过点作.因为 ，所以 .因为，，所以 .因为 ，所以，所以.因为 ，所以 .因为，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .因为，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 母题学大招17 作平行线法 3.【2024山东菏泽调研，较难】如图，在中，，点从点 出发沿 线段移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点， 移动的 速度相同，与直线相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 （1）如图（1），当点为的中点时，试说明： . 【解】过点作交于 ，如图（1）. 因为点和点同时出发，且速度相同，所以 . 因为,所以, . 因为,所以,所以 , 所以,所以 . 因为,, , 所以,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 （2）如图（2），过点作直线的垂线，垂足为，点， 在移动的过程中， 线段，, 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【解】 存在， 的长度保持不变.理由如下： 过点作交于点，如图（2）.由（1）知 . 因为,所以 . 由（1）知,所以 , 所以 , 所以 的长度保持不变. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 大招解读 作平行线法 【模型】作腰的平行线. ____________________________________________ 【条件】， . 【结论】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 【模型】作底边的平行线. _____________________________________ 【条件】， . 【结论】 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 _____________________ 【模型】过顶点作底边的平行线. 【条件】，点在的延长线上， . 【结论】 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 子题练变式 4.［较难］如图，在中，，平分 ， 交于，，垂足为.试说明： . 【解】如图，过点作，交的延长线于点 ，所以 ，.因为，平分 ， 所以，所以 ， ，所以，.因为，所以 .因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 思路分析 过点作，交的延长线于点.结合 ， 平分易得，， 是等腰三角形.由三线合一的性质可得 ，即可得出 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 $$