第2章 大招专题6 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 八年级上册 XJ 1 2 3 第2章 三角形 4 大招专 题6 与等腰三角形相关的常用 辅助线的作法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招8 作中线法 1.【2023湖南永州冷水滩区校级期中，中】如图， 中， ，点，分别在，上，是 的中点.若 ，，则 的长是( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】连接，如图.，是的中点， ， ， ， . ，，， ， .故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 大招解读 作中线法 遇等腰三角形底边的中点时，常连接底边上的中线，构造“三线合一” 的模型解题. ,, . 关键点拨 连接,由等腰三角形“三线合一”的性质得到 是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 子题练变式 2.［中］如图所示，中，，于点 ， 于点，交于 . （1）若 ，求 的度数. 【解】 ， ， ， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 （2）若点是的中点，求证： . 【证明】如图，连接，且点是的中点， ， ， , ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 母题学大招9 作平行线法 3.【2024山东菏泽调研，较难】如图，在中，，点从点 出发沿 线段移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点， 移动的 速度相同，与直线相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 大招解读 作平行线法 _____________________________________________ 【模型】作腰的平行线 【条件】 ， 【结论】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 _______________________________________ 【模型】作底边平行线 【条件】 ， 【结论】 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 _____________________ 【模型】过顶点作底边平行线 【条件1】， 【结论1】 【条件2】， 【结论2】 关键点拨 作平行线构造全等三角形是解题的关键. 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （1）如图（1），当点为的中点时，试说明： ； 【解】过点作交于 ，如图（1）. 因为点和点同时出发，且速度相同，所以 . 因为,所以, .因为 ,所以,所以,所以 , 所以 . 因为,,,所以 ,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）如图（2），过点作直线的垂线，垂足为，点， 在移动的过程中， 线段， , 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【解】 存在， 的长度保持不变.理由如下： 过点作交于点，如图（2）.由（1）知 . 因为,所以 . 由（1）知,所以 , 所以 , 所以 为定值，长度保持不变. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 子题练变式 4.［较难］如图，在中，，平分 ， 交于，，垂足为.试说明 . 【解】如图，过点作，交的延长线于点 ，所以 ，.因为，平分 ， 所以，所以 ， ，所以，.因为，所以 .因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 思路分析 过点作，交的延长线于点.结合，平分 易得 ，，是等腰三角形.由三线合一的性质可得 ，即可 得出 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 5.【2023重庆永川区期中，较难】如图，点在等边三角形的边上，点 在 边上，连接并延长交的延长线于点 . 刷有所得 作平行线的目的是构造8字型得到相等的角. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （1）如图（1），若，试说明 . 【解】如图（1），过点作交于点 ，所以 .在和中， 所以,所以.因为 是等边三角形， 所以 .因为，所以 ，所以 是等边三角形,所以.因为，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）如图（2），若，，过点作，垂足为点， 的长 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【解】 的长是定值.如图（2），过点作交于点 . 由（1）知，所以.因为 是 等边三角形，所以.因为 是等边三角形，所以 ，所以，所以.因为 ，所以 ，所以 ，即 的长是定值，为1. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 6.【2023辽宁营口期末，中】如图，已知，以 为边 在第二象限作等边 . （1）求点 的横坐标； 【解】如图（1），过作于点 . 为等边三角形，点， ， ， . 点在第二象限， 点的横坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （2）点，分别为，边上的动点，以为边在轴上方作等边 ， 连接，当 时，求 的度数. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解】 如图（2），过点作交于点 ， ， 为等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， . 在和中， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $$