第1章 分式 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（湘教版）
2024-07-22
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 XJ
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第1章 分式
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全章综合训练
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中考
考点1 分式有意义的条件
1.【2023广西中考】若分式有意义，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为分式有意义，所以，解得 .故选A.
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考点2 分式值为0的条件
2.【2023四川凉山州中考】分式的值为0，则 的值是( )
A
A.0 B. C.1 D.0或1
【解析】因为分式的值为0，所以且，解得 ，故选A.
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考点3 分式的计算及化简求值
3.【2023河北中考】化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .故选A.
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4.【2023湖北武汉中考】已知，计算 的值是
( )
A
A.1 B. C.2 D.
【解析】 .因
为，所以，所以原式 ，故选A.
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5.【2023福建中考】已知,且,则 的值为___.
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【解析】 因为，所以，所以 ，所以
.故答案为1.
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6.【2023湖南怀化中考】先化简，再从 ，0，1，2中选择一个
适当的数作为 的值代入求值.
【解】 ，
当取，1，2时分式没有意义，所以或0，当 时，原式
.
或当时，原式
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考点4 零次幂和负整数指数幂
7. 跨学科综合【2023江苏泰州中考】溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.
常温下的溶度积约为，将数据 用科学记
数法表示为___________.
【解析】 .故答案为 .
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8.【2023重庆中考A卷】计算： _____.
1.5
【解析】 .故答案为1.
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考点5 分式方程的解及增根
9.【2023黑龙江牡丹江中考】若分式方程的解为负数，则 的取值范
围是( )
D
A.且 B.且 C.且 D.且
【解析】方程两边同乘，得，所以 .因为解为负数，
所以，即.要使分式有意义，则，即 ，所以
，所以且 .故选D.
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思路分析
先求出分式方程的解，然后根据解为负数列出不等式，解之即可得出 的取值范围.
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10.【2023湖南永州中考】若关于的分式方程（ 为常数）有增根，
则增根是______.
【解析】 因为关于的分式方程（ 为常数）有增根，所以
，所以，故答案为 .
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考点6 分式方程的实际应用
11.【2023湖南郴州中考】小王从A地开车去B地，两地相距 .原计划平均速
度为，实际平均速度提高了 ，结果提前1小时到达.由此可建立方程为
( )
B
A. B. C. D.
【解析】由题意，得，即 .故选B.
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12.【2023湖南岳阳中考】水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡
村振兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总
产量是 ，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少
，求今年龙虾的平均亩产量.
【解】设今年龙虾的平均亩产量是，则去年龙虾的平均亩产量是 .
由题意得，解得，经检验， 是分式方程的解且符合题意.
答：今年龙虾的平均亩产量为 .
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章测
一、选择题（本大题共32分,每小题4分）
1.【2024湖南怀化期中】下列各式：，，，，， 中，是分式
的共有( )
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】由题意知，， 是分式，故选A.
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2.【2024湖南郴州期末】“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来.”
出自宋代诗人王安石的《梅花》，梅花的花粉直径约为 ，用科学记
数法表示为，则 的值为( )
B
A. B. C.4 D.5
【解析】 ，故选B.
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3.【2024河南安阳期末】根据下表信息，分式 可能为( )
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
C
A. B. C. D.
【解析】因为当时，分式无意义，所以分式的分母可能是 .因为当
时，分式为0，所以分式的分子可能是，所以分式可能是 ，故选C.
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4.下列运算结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】A选项，，故错误；B选项， ，故错误；C
选项，，故正确；D选项， ，故错误.故选C.
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5.下列等式成立的是( )
C
A. B.
C. D.
【解析】，所以A错误； 不一定成立，所以B错误；
，所以C正确； ，所以D错误.故选C.
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6.【2024湖南益阳期中】若方程的解为，则 的值是( )
C
A.0 B.3 C. D.1
【解析】因为方程的解为，所以将代入，得 ，解
得 .故选C.
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7.如图，若为正整数，则表示 的值的点落在( )
B
A.段① B.段② C.段③ D.段④
【解析】因为，又因为 为正整数，
所以，故表示 的值的点落在段②.
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思路分析
原式第一项变形后约分，两进行计算得到最简结果，再结合 为正整数判断其值的
范围,即可作出判断．
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8.【2024湖南怀化期末】若关于的分式方程无解，则 的值是
( )
B
A. B.或 C.1 D.1或
【解析】，， ，
.因为关于的分式方程无解，所以当 ，
即时，分式方程无解.当时， ，当分式方程有增根时，分
式方程无解，所以，解得或，当时， ，解得
；当时，，无解.综上所述，的值是或 .故选B.
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思路分析
方程两边同时乘，得,由于方程无解，则 或
，进而即可求解.
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二、填空题（本大题共12分,每小题4分）
9.【2023江苏苏州调研】若正数，，满足，， ，则
___.
【解析】 因为，，，都为正数，所以.因为 ，所以
.① 因为，所以.② 由①②解得 ，
，所以，，所以 .
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10. 【2023湖南娄底中考】若干个同学参加课后社团——
舞蹈活动，一次排练中，先到的个同学均匀排成一个以 点为
圆心， 为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了
两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移 米，再左右调
整位置，使这个同学之间的距离与原来 个同学之间的距
离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等（如图所示）.这 个同学排成圆
圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移__米
（请用关于的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来 个同
学之间的距离相等.
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【解析】 由第一次操作可得，所以 .设第二次操作时每位同学
向后移动了米，则，所以 ，故答案
为 .
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11.【2022湖南张家界中考】有一组数据：，， ，
，.记，则 ____.
【解析】 ；
； ；
，，所以当 时，
.
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三、解答题（本大题共56分.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
12.（1）【2023湖南郴州质检】计算:
.
【解】 .
（2）【2023四川眉山调研】解方程： .
【解】 方程两边同乘,得，解得 ，检验：
当时，，所以 是原方程的解.
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13.【2024河北唐山期末】嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下.
设每支圆珠笔为 元.
关键点拨
根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，然后解方程即可.
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（1）请你通过计算分析淇淇为什么说嘉嘉搞错了.
【解】由题意可知，每支中性笔为元.由题意得，解得 ，
经检验，是原方程的解，此时，圆珠笔的数量为 （支）.因
为圆珠笔的数量为整数，所以 不符合题意，所以淇淇说嘉嘉搞错了.
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（2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠
笔的差值算错了，其他都正确.若每支中性笔比圆珠笔贵 元，求出
整数 的值.
【解】 由题意可知，每支中性笔为元.由题意得，解得 .
因为中性笔和圆珠笔的单价均为整数，,为整数，所以 ，经检验，
符合题意.
答：整数 的值为3.
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14.【2023北京海淀区校级期末】已知关于的分式方程 .
关键点拨
解决分式方程的整数解问题时，只需使分式方程的解中分母是分子的因数即可求解．
（1）若这个方程的解为整数，求 的值；
【解】方程两边同乘,得 ，整理得
,解得.由题意得为整数，且 ，所以
，，，即的值为0,2,4,6, ,24.
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（2）若这个方程无解，则 ___________.（直接写出答案）
3或10或
【解析】 由（1）得，由题意得或 ，解得
或或，故答案为3或10或 .
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15.我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是 的
“雅中式”，这个常数称为关于 的“雅中值”．
如分式，，，则是 的
“雅中式”，关于 的“雅中值”为2．
（1）已知分式，，判断是否为 的“雅中式”.若不是，请
说明理由;若是，请求出关于 的“雅中值”；
【解】不是 的“雅中式”.理由如下：
,所以不是 的“雅
中式”．
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（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于 的“雅中值”
是2，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的 的值
之和；
【解】 ．因为是的“雅中式”，
关于的“雅中值”为2，所以，所以 ，所
以．因为的值为整数， 的值也为整数，且分式有意义,所
以或或或,且和3，所以 的值为0，1，2，4，5，6，
9．符合条件的的值之和为 ．
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（3）已知分式，（，，为整数），是 的“雅
中式”，且关于的“雅中值”是1，求 的值．
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【解】 因为是的“雅中式”，且关于 的“雅中值”是1，所以
．整理得 ，则
消去得,所以 ,
所以．因为,,为整数，所以， 也是整数．当
，时，，，此时，所以 ；当
，时，，，此时，所以 ；当
，时，，，此时，所以 ；当
，时，，，此时，所以 ．综
上，的值为16或8或 或4．
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