第十三章 大招专题5 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 八年级上册 RJ 1 2 3 第十三章 轴对称 4 大招专 题5 与等腰三角形相关的常用 辅助线的作法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招14 作中线法 1. 【2023陕西西安雁塔区期中，中】 大招解读 作中线法 遇等腰三角形底边的中点时，常作底边上的中线，构造“三线合一” 的模型解题.如图. ,, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 技巧总结 当遇到等腰直角三角形以及斜边的中点时，直接连接直角顶点与斜边中点，构造 中线解题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （1）如图（1），在中， ，，是的中点，， 分 别是，边上的点，且，试说明 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解】连接 . 因为中， , , 所以 . 因为为 的中点， 所以，平分 , 所以， ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 因为 ， 所以 . 在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）如图（2），是边长为4的等边三角形，是的中点，， 分别是 ，边上的点，且 ，试说明 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 【解】 如图，连接，过点作于，于 . 因为是等边三角形，为 的中点， 所以是的平分线， ， 所以， . 又因为 ，所以 ， 所以 . 在与中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 子题练变式 2.【2023湖南长沙校级期末，较难】在中，，为的中点， ， 分别为， 上的点. 关键点拨 （3）证明 是解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （1）如图（1），于，于，试说明 ； 【解】如图（1），连接 . 因为 ， 所以 是等腰三角形. 因为为的中点，所以平分 . 因为，，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （2）如图（2）， ，请判断和 有什么数量关系,并说 明理由； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 【解】 .理由如下：如图（2）， 过点作于，于，连接 . 因为 ， ， 所以 . 因为 ， 所以 是等腰三角形. 因为为 的中点， 所以平分 . 因为， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 所以 . 在和中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （3）如图（3），点与点重合，点为上的一点，且， ， 求 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解】 如图（3）,连接，过点作 . 因为，所以 . 因为， ， 所以 . 因为，所以 ， 所以.因为 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 所以，所以 . 因为，所以 ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 母题学大招15 作平行线法 3.【2024山东菏泽调研，较难】如图，在中，，点从点 出发沿 线段移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点， 移动的 速度相同，与直线相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 大招解读 作平行线法 【模型】作腰的平行线 ____________________________________________ 【条件】， 【结论】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【模型】作底边的平行线 _____________________________________ 【条件】， 【结论】 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 【模型】过顶点作底边的平行线 【条件】，点在延长线上， 【结论】 _____________________ 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （1）如图（1），当点为的中点时，试说明： ； 【解】过点作交于 ，如图（1）. 因为点和点同时出发，且速度相同，所以 . 因为,所以, . 因为,所以,所以 , 所以,所以 . 因为,, , 所以,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 （2）如图（2），过点作直线的垂线，垂足为，点， 在移动的过程中， 线段， , 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【解】 存在， 的长度保持不变.理由如下： 过点作交于点 ，如图（2）. 由（1）知.因为,所以 . 由（1）知,所以 , 所以 , 所以 为定值，长度保持不变. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 子题练变式 4.［较难］如图，在中，，平分 ， 交于，，垂足为.试说明 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 【解】如图，过点作，交的延长线于点 ，所以 ， . 因为，平分 ，所以 ，所以，，所以 ， .因为，所以 .因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 思路分析 过点作，交的延长线于点.结合，平分 易得 ，，是等腰三角形.由三线合一的性质可得 ，即可 得出 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 5.【2023重庆永川区期中，较难】如图，点在等边三角形的边上，点 在 边上，连接并延长交的延长线于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 思路分析 刷有所得 作平行线的目的是构造8字型得到相等的角. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （1）如图（1），若,试说明 . 【解】如图（1），过点作交于点 ，所以 . 在和中， 所以,所以 . 因为 是等边三角形， 所以 . 因为，所以，所以 是 等边三角形,所以.因为，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （2）如图（2），若，，过点作，垂足为点， 的长 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 【解】 的长是定值.如图（2），过点作交于点 . 由（1）知 ， 所以.因为 是等边三角形， 所以 . 因为 是等边三角形， 所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 所以，所以 . 因为，所以 ， 所以 ， 即 的长是定值，为1. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $$