第一章 因式分解 综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年八年级上册数学同步课件（鲁教版五四制）
2024-07-22
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教辅
内容正文：
数 学
八年级上册 LJ
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第一章 因式分解
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全章综合训练
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考点1 因式分解
1.【2023浙江杭州中考】分解因式： ( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .故选A.
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2.【2023湖南益阳中考】下列因式分解正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【解析】 ，故A选项符合题意；
，故B选项不符合题意； ，
故C选项不符合题意； ，故D选项不符
合题意.故选A.
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3.【2023湖南长沙中考】分解因式： ________________.
【解析】 .故答案为 .
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4.【2023山东淄博中考】分解因式： _________________.
【解析】 .故答案为
.
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5.【2023山东东营中考】因式分解： ____________.
【解析】 .
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6.【2023湖北黄石中考】因式分解： ______________.
【解析】 .
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7.【2023黑龙江绥化中考】因式分解： ______________.
【解析】 原式.故答案为 .
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考点2 因式分解的应用
8.【2023河北中考】若为任意整数，则 的值总能( )
B
A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除
【解析】，为任意整数， 其值总能被3整除.故选B.
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9.【2023江苏苏州中考】已知一次函数的图象经过点和 ，
则 ____.
【解析】 将点和代入 得
.故
答案为 .
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10.【2023山东济宁中考】已知实数满足 ，则
___.
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【解析】 ， ，
.
故答案为8.
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11.【2023湖北十堰中考】若，，则 的值是___.
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【解析】 ，， .故答案为6.
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12. 【2023四川成都中考】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数 ，
的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， ，
16就是一个智慧优数，可以利用 进行研究.若将智慧优
数从小到大排列，则第3个智慧优数是____；第23个智慧优数是____.
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【解析】 令，则 ，令智慧优数
且为整数，，3，4，5，6，7， .
当时，（偶数），可以取1，2，3，4，5，6，7，8， ， 每取
一个数，所得的数都为智慧优数.当时，（奇数），当 时，
（偶数），当时，（奇数），当 时，
（偶数），当时，（奇数）， .
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智慧优数
8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，
15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，
24，32，40，48，56，64，72，80，88，
35，45，55，65，75，85，95，
48，60，72，84，96，
去掉重复的智慧优数，将前23个智慧优数按从小到大的顺序排列为8，12，15，16，
20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，
57， 第3个智慧优数为15，第23个智慧优数为57.
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13.【2023河北中考】现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图
（1）所示 .某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），
如图（2）和图（3），其面积分别为， .
图（1）
图（2）
图（3）
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（1）请用含的式子分别表示，.当时，求 的值.
【解】依题意得，三种长方形卡片的面积分别为，， ，
， ，
， 当 时，
.
（2）比较与 的大小，并说明理由.
【解】 .理由：， ，
，
， .
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14.【2023浙江嘉兴、舟山中考】观察下面的等式： ，
，，， .
（1）写出 的结果；
【解】 .
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示， 为正整数）；
【解】 由题意可得， .
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
【解】 ，
正确.
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关键点拨
用含 的代数式表示出两个连续奇数是解题的关键，然后用因式分解进行推理说明.
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15.【2022青海西宁中考】八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
.
解法二：原式 .
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为
若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分
组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的
作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
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（1）请用分组分解法将 因式分解；
【解】 .
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【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解；
【解】 .
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【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定
理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方
形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是 和
，斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将 因式分解，再求值．
【解】 原式
由题意得， ，
原式 ．
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章测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列各式从左到右是分解因式的是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】A选项， 不是多项式，故A不符合题意；B选项，没把一个多项式转
化成几个整式乘积的形式，故B不符合题意；C选项，是整式的乘法，故C不符合题
意；D选项，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D符合题意.故选D．
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2.【2023山东东营校级期中】将多项式 因式分解时，应提取的公
因式是( )
A
A. B. C. D.
【解析】，则应提取的公因式是 ．
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3.【2023山东烟台芝罘区期中】若
，则 的值是( )
A
A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023
【解析】 ，又
，
， ．故选A.
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4.【2024河北邯郸大名期末】若 能用完全平方公式因式分解，
则 的值为( )
C
A. B. C.或11 D.13或
【解析】能用完全平方公式因式分解， ，解得
或11.故选C.
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5.【2023山东济宁校级期中】若 ，则 的值是( )
A
A.12 B.10 C.8 D.9
【解析】 ，
，， ．
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6.【2024河北保定调研】若，则 的值为( )
D
A.100 B.101 C.200 D.204
【解析】 ，
.故选D.
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7.【2024四川乐山沐川期末】已知，，是 三条边的长，且满足条件
，则 的形状是( )
A
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】， ，
，
，， ，
，，，， 是等边三角形.故选A.
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8.对于任意整数，多项式 都能( )
A
A.被8整除 B.被整除 C.被整除 D.被 整除
【解析】
,所以
该多项式肯定能被8整除.
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思路分析
将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除.
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9.【2024山东济南济阳区期中】已知 ，求
的值是( )
D
A.2 023 B.2 024 C.1 D.0
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思路分析 代数式化简求值问题
【解析】， ，
.故选D.
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10.【2024浙江宁波镇海区校级质检】若关于的不等式组 有解且至多
有4个整数解，且多项式 能在有理数范围内因式分解，则符合条件的
整数 的个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由不等式组有解得.又 不等式组
至多有4个整数解，，解得.又 多项式
能在有理数范围内因式分解，，，， 符合条
件的整数的值为，0，即符合条件的整数 的个数为2.故选B.
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思路分析
先根据不等式组有解解出不等式组的解集，然后根据不等式组至多有4个整数解，
即可求得的取值范围，再根据多项式 能在有理数范围内因式分解，
可知，然后即可写出符合条件的整数 的值.
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二、填空题（每小题3分，共12分）
11.【2024山西临汾调研】若，则____， ____.
【解析】 ， ，
，解得，.故答案为， .
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12.【2024山东威海乳山调研】甲、乙两人在对 进行因式分解时，甲看
错了，得到的结果为；乙看错了，得到的结果为 ，则
因式分解的正确结果为______________.
【解析】 ，
， ，则
.故答案为 .
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13.【2024山东泰安东平期中】已知， ，
，则多项式 的值为___.
3
【解析】 ，
，，， ，
， .故答案为3.
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14. 开放性试题【2023山东济宁期末】在日常生活中如取款、上网等都需要
密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式
，因式分解的结果是，若取， 时，则各
个因式的值是，， ，于是就可以把“180162”
作为一个六位数的密码.对于多项式，取， 时，用上述方
法产生的密码是______________________（写出一个即可）．
104020（答案不唯一）
【解析】 ，当， 时，
, ,故密码可以是104020，答案不唯一．
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思路分析
将多项式提取后再利用平方差公式分解因式，将与 的值分别代入每
一个因式中计算得到各自的结果，根据阅读材料中取密码的方法，即可得出所求
的密码．
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三、解答题（共58分）
15.分解因式：
（1） ．
【解】 .
（2） .
【解】 .
（3） ．
【解】 .
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（4） ．
【解】 ．
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16.【2024广东深圳校级期末】如图，将一张大长方形纸板按
图中虚线裁剪成9块，其中有2块边长为 的大正方形，2块
边长为的小正方形，5块长为，宽为 的相同的小
长方形，且 .
（1）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 _____________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________.
【解】通过
观察图形可以得出大长方形的面积是 ，大长方形的长是
，宽是，由此可得 .故
答案为 .
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（2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为 .
①求 的值；
【解】 根据大长方形的周长为，可得 ，
，， .
答： 的值为5.
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②求图中空白部分的面积.
【解】 空白部分的面积为.根据①得 阴影部分的面积为
，且阴影部分的面积为，故 .
，，， .
答：空白部分的面积为 .
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17.【2024天津河西区期末】小王和小陈同学对一些四位数之中的规律产生了好奇
并展开探究.
（1）小王尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现其和都为11的倍数.
如：， .
①若设一个四位数为，其中，，， 均为不超过9的正整数，那么这个四
位数可用含，，， 的代数式表示为________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________；
【解】四位数为，是千位数字，是百位数字，是十位数字，是个位数字，四位数表示为.故答案为.
②请你试着仿照小王的想法再举一个例子：_________________________________
_________________________________________________________；
举例.故答案为（答案不唯一）.
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③你认为上述结论对于一般的情况 也成立吗？请说明理由.
【解】 成立.理由如下：
.
又是整数， 为11的倍数.
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（2）小陈发现，如果一个四位数的四个数字之和是9的倍数，那么这个四位数也
是9的倍数.如：，， .
①请仿照小陈的想法再举一个例子：_______________________________________
________________；
.故答案为（答案不唯一）.
②你认为上述结论对于一般的情况（其中， 是整数）也
成立吗？请说明理由.
【解】 成立.理由如下：
.
又是整数， 为9的倍数.
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18.【2024山东济南莱芜区期中】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方
法叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式
能对一些多项式进行因式分解.
例如：
.
根据以上材料，解答下列问题：
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（1）分解因式： ；
【解】 .
（2）求多项式 的最小值；
【解】 .
，， 多项式的最小值为 .
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（3）已知，，是 的三边长，且满足
，求 的周长.
【解】 ，
，即
，
.
，，，，，，
的周长为 .
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